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I. Définition II. Énergie de déformation III. Théorèmes énergétiques.

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2 I. Définition II. Énergie de déformation III. Théorèmes énergétiques

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4 F2F2 F1F1 état final état initial déformation élastique de la poutre I. Définition Théorème de lénergie cinétique += 0 travail des forces extérieures W ext travail des forces intérieures W int Énergie de déformation : W d = - W int = W ext

5 Exemple : cas dune sollicitation de traction - effort de traction variable - proportionnalité entre leffort et lallongement Hypothèses : Aire du triangle OAB Travail de leffort de traction

6 - Équilibre dun tronçon de longueur dx Soit lallongement du tronçon dx Loi de HOOKE Énergie de déformation élémentaire soit

7 D une manière générale II. Énergie de déformation Effort normal : traction/compression Effort tranchant : T y ou T z Moment fléchissant : M y ou M z Moment de torsion : M x

8 effort normal + effort tranchant + moment fléchissant + moment de torsion

9 III. Théorèmes énergétiques III.1. Théorème de Clapeyron FiFi CjCj FiFi CjCj Déplacements U i Rotations j Travail des forces extérieures

10 III.2. Théorème de réciprocité de Maxwell - Betti P exex eyey AB a C P exex eyey AB l C S1S1 S2S2 Flèche dans la section S 1 due à la charge P en S 2 Flèche dans la section S 2 due à la charge P en S 1 =

11 III.3. Théorème de Castigliano Théorème : le déplacement du point dapplication dune force dans sa direction (ou la rotation dun couple) est égale à la dérivée partielle de lénergie de déformation par rapport à cette force (ou à ce couple) : FiFi ABC

12 III.4. Théorème de Ménabréa Structure hyperstatique d inconnues surabondantes R i W d = f(R i ) Théorème : la dérivée partielle de lénergie de déformation par rapport à chacune des inconnues surabondantes est nulle, à condition que les points dapplication des forces ne bougent pas (U i = 0) ou que les sections ne tournent pas ( i = 0)

13 III.5. Calcul du déplacement d un point non chargé Poutre sur 2 appuis Flèche en G ? Théorème de CASTIGLIANO P ABCG Q = 1 exex eyey - charge fictive unitaire Q travaillant dans le déplacement U y (G) - détermination de léquation de la déformée

14 Pour une meilleure compréhension voir corrigés en pdf Quelques Compléments intéressants

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16 Moment Statique Le moment statique S dune section par rapport à un axe est égal au produit de l aire de la section par la distance entre son centre de gravité G et l axe. S y = z dA S z = y dA

17 Centre de gravité Le centre de gravité G d une section est le point tel que le moment statique de la section par rapport à n importe quel axe passant par ce point est nul.

18 Centre de gravité Propriétés :Si la section possède un axe de symétrie, le centre de gravité G est situé sur cet axe. A défaut d axes de symétrie: - Choisir un axe de référence Oxy - Calculer le moment statique S de la section par rapport à cet axe - Calculer l aire totale de la section - Utiliser la propriété du moment statique Sy = Zg. A

19 Centre de gravité Exemple: Zg = (A1.d1 +A2.d2+A3.d3) / (A1+A2+A3) Zg = (Σ des Moments statiques) /(Σ des surfaces)

20 Les moments dinertie I z and I y dune aire sont I z = y 2 dA I y = z 2 dA y z dy y MOMENTS DINERTIE Etudions le cas dun rectangle

21 Moment d inertie ou quadratique Moment quadratique de section connues: Rectangle Par rapport à un axe passant par G Iy = (b.h 3 )/12 Iz = (h.b 3 )/12 b h yzG

22 Moment d inertie ou quadratique Définition: Le moment d inertie d une surface infiniment petite par rapport à un axe éloigné de cette surface est égale au produit de son aire par le carré de la distance à l axe. Il est toujours positif et s exprime en mm4

23 Moment d inertie ou quadratique Moment quadratique de sections connues: Cercle Iy = Iz = (π.D 4 ) /64 Couronne Iy = Iz = (π.(D 4 -d 4 ))/64 y z y z

24 Moment d inertie ou quadratique Théorème de Huygens: Le moment d inertie d une section par rapport à un axe quelconque Δ est égal au moment d inertie de la section par rapport à l axe passant par son centre de gravité et parallèle à Δ augmenté du produit de l aire de la section par le carré de la distance entre les deux axes.

25 y x Moment dinertie polaire J O = r 2 dA La distance depuis O jusqua lélément daire dA et r. on sait que r 2 =x 2 + y 2, on peut écrire la relation J O = I x + I y x y r A dA O Compléments

26 Le rayon de gyration dune surface A selon laxe x est défini par k x, où I x = i x ^2. A. Similairement on peut trouver k y selon laxe y i x = 2 IxAIxA i y = IyAIyA i O = JOAJOA Compléments

27 Ce théoreme peut etre utilisé pour le moment dinertie polaire. J O = J C + Ad 2 d c Le théoreme de laxe parallele est utilisé trés efficacement pour calculer le moment dinertie dune aire composée selon un axe donné. o Compléments

28 x y x y O Le produit dinertie dune aire A est défini comme I xy = xy dA I xy = 0 si la surface A est symmetrique selon un ou plusieurs axes. Le théoreme de laxe parallele pour le produit dinertie est I xy = I xy + xyA Compléments

29 x y x y O Les relations entre les moments sont: I x = + - I xy sin 2 I x + I y 2 I x - I y 2 cos 2 I y = - + I xy sin 2 I x + I y 2 I x - I y 2 cos 2 I xy = sin 2 + I xy cos 2 I x - I y 2 Compléments

30 29 Approche système: Méthode des fonctions de singularité

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37 36 The M-file can be written as function beam(x) xx = linspace(0,x); n=length(xx); for i=1:n uy(i) = -5/6.*(sing(xx(i),0,4)-sing(xx(i),5,4)); uy(i) = uy(i) + 15/6.*sing(xx(i),8,3) + 75*sing(xx(i),7,2); uy(i) = uy(i) + 57/6.*xx(i)^ *xx(i); end plot(xx,uy) function s = sing(xxx,a,n) if xxx > a s = (xxx - a).^n; else s=0; end This function can be run to create the plot, >> beam(10)

38 37 Visite Labo 1A: Présentation UF / activités denseignements Présentation DMSM / Activités de recherche


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