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NF04 - Automne - UTC1 Version 09/2006 (E.L.) Cours 4-b Méthode des éléments finis 2D Notion délément de référence Notion de patch-test Notion de convergence.

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1 NF04 - Automne - UTC1 Version 09/2006 (E.L.) Cours 4-b Méthode des éléments finis 2D Notion délément de référence Notion de patch-test Notion de convergence Application à la mécanique des fluides : calcul dun écoulement plan 2D par la fonction de Courant

2 NF04 - Automne - UTC2 Version 09/2006 (E.L.) Rappels La forme intégrale associée à léquation de la chaleur est décomposée : Sur des éléments triangulaires Sur des éléments barre pour Neumann et Cauchy Où lintégrale élémentaire pour un élément T3 sécrit :

3 NF04 - Automne - UTC3 Version 09/2006 (E.L.) Constats Il y a autant de fonctions Ni à calculer que déléments T3 Impossibilité de généraliser le calcul du vecteur sollicitation avec les Ni calculées sur lélément réel (difficulté de définir les bornes dintégration) Idée : utiliser un élément de référence unique avec des bornes dintégrations simples

4 NF04 - Automne - UTC4 Version 09/2006 (E.L.) Illustration de lélément de référence Elément de référence unique Eléments « réels » Coordonnées (réf°) Coordonnées réelles

5 NF04 - Automne - UTC5 Version 09/2006 (E.L.) Approche généralisable à dautres topologies Elément barre : Elément quadrilatère :

6 NF04 - Automne - UTC6 Version 09/2006 (E.L.) Changement de variables Le passage dun élément « réel » vers un élément de « référence » implique un changement de variables pour les calculs dintégrations. De manière générale, on a : Les bornes dintégrations sont :

7 NF04 - Automne - UTC7 Version 09/2006 (E.L.) Définition du « jacobien » Définition : |J | est appelé le jacobien de la transformation. Il correspond au déterminant de la matrice jacobienne [J ]. La matrice jacobienne est définie par la relation mathématique suivante : Cette matrice traduit les relations entre les dérivées partielles en espace entre (x,y) et (, ). Pour la calculer, il est alors nécessaire de disposer dune approximation pour les variables x et y !

8 NF04 - Automne - UTC8 Version 09/2006 (E.L.) Calcul des Ni Le calcul des fonctions dapproximation consiste à : 1. Choisir une forme dapproximation pour les Ni 2. Poser les systèmes déquations associés 3. Résoudre !

9 NF04 - Automne - UTC9 Version 09/2006 (E.L.) Rappel : la matrice jacobienne est définie par : Les variables x et y sont approximées au sens des éléments finis : Soit : On définit aussi : Calcul de la matrice jacobienne [J ]

10 NF04 - Automne - UTC10 Version 09/2006 (E.L.) Calcul des intégrales élémentaires Le changement de variables conduit à : Les termes de gradient se discrétisent par :

11 NF04 - Automne - UTC11 Version 09/2006 (E.L.) Suite La forme élémentaire sécrit donc : Soit : Avec :

12 NF04 - Automne - UTC12 Version 09/2006 (E.L.) Notion de convergence Nombre dinconnues Illustration autour dun problème de mécanique : Tracé de la courbe de convergence Objectif : Rechercher lindépendance de la solution par rapport au maillage

13 NF04 - Automne - UTC13 Version 09/2006 (E.L.) Application T3 : écoulement plan 2D Application valable dès que le fluide remplit les conditions suivantes : Incompressible : Eau Air si Mach < 0.3 (vitesse < km/h) Non visqueux : aucun fluide nest visqueux mais hypothèse réaliste si le domaine est grand et que lon ne sintéresse pas à ce qui se passe précisément au voisinage des parois. Stationnaire : constant en tout point du domaine dans le temps.

14 NF04 - Automne - UTC14 Version 09/2006 (E.L.) Modèle mathématique Un écoulement incompressible se traduit par : où u et v sont les composantes de la vitesse du fluide Un écoulement non visqueux est dit irrotationnel, soit : On introduit la fonction de Courant définie par : … dans eq(2) pour aboutir à : Cette équation est identique à léquation de la chaleur en 2D avec k =1 et en labsence de terme de production ! x y Frontières

15 NF04 - Automne - UTC15 Version 09/2006 (E.L.) Interprétation Une différence de la fonction entre deux points A et B, traduit un débit perpendiculaire entre ces deux points : De manière générale, on a : A B AB A B H

16 NF04 - Automne - UTC16 Version 09/2006 (E.L.) H Condition de frontière imperméable Une frontière « imperméable » est donc définie par : Il en résulte que pour tracer les lignes de courant (= trajectoires en stationnaire), il suffit de tracer les lignes disovaleurs de

17 NF04 - Automne - UTC17 Version 09/2006 (E.L.) Exemples dapplication (mini-projet) Calcul du champ de vitesse stationnaire dans un lac Calcul de lécoulement autour dun profil porteur

18 NF04 - Automne - UTC18 Version 09/2006 (E.L.) Mise en œuvre informatique Génération dun maillage composé de T3 Préparation du fichier de données : Aucune propriété physique particulière : k = 1 Annulation du terme source : f = 0 Identification des nœuds associés aux conditions de Dirichlet : kcond, vcond Assemblage du système et résolution : script Matlab « blin.m » Affichage des iso-valeurs : script Matlab « isoval.m » (Prochaine séance TP sous Matlab)


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