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NF04 - Automne - UTC1 Version 09/2006 (E.L.) Cours 3-b Méthode des éléments finis 1D Notion de maillages : connectivité Notion délément de référence Technique.

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1 NF04 - Automne - UTC1 Version 09/2006 (E.L.) Cours 3-b Méthode des éléments finis 1D Notion de maillages : connectivité Notion délément de référence Technique dassemblage Résolution et post-traitement Algorithme général

2 NF04 - Automne - UTC2 Version 09/2006 (E.L.) Cas général : plusieurs éléments Exemple de maillage : 3 éléments finis à deux noeuds 4 noeuds Un maillage éléments finis est décrit à laide de deux tables : … des coordonnées : … des connectivités :

3 NF04 - Automne - UTC3 Version 09/2006 (E.L.) Remarque 1 : la numérotation des nœuds peut être aléatoire. Un maillage éléments finis est dît non structuré ! Remarques sur le maillage Remarque 2 : les éléments peuvent être de longueurs différentes

4 NF04 - Automne - UTC4 Version 09/2006 (E.L.) Discrétisation de la forme intégrale La forme intégrale (thermique 1D) sécrit (voir précédent cours) : Le découpage du domaine en un maillage se traduit par un découpage du signe intégral : Soit :

5 NF04 - Automne - UTC5 Version 09/2006 (E.L.) Notion délément de référence Pour pallier à cette hétérogénéité, on définit un élément de référence commun sur lequel effectuer lintégration. Chaque intégrale « élémentaire » est définie par des bornes distinctes, doù : des fonctions dapproximation N 1 et N 2 différentes dun élément à un autre. Nécessité de recalculer les fonctions pour chaque élément !

6 NF04 - Automne - UTC6 Version 09/2006 (E.L.) Notion délément de référence Méthode : changement de variables soit : Les fonctions dapproximation sur lélément de référence sont linéaires et définies par : soit :

7 NF04 - Automne - UTC7 Version 09/2006 (E.L.) Solution globale : reconstruction élémentaire La superposition des approximations locales conduit à une approximation GLOBALE de la solution par éléments finis

8 NF04 - Automne - UTC8 Version 09/2006 (E.L.) Discrétisation des intégrales élémentaires Le calcul des matrices et vecteurs « élémentaires » est alors analogue à celui dun seul élément de longueur L e (voir précédent cours). On retrouve ainsi la démarche suivante : Approximation par éléments finis : Calculs élémentaires : [K e ] : matrice de rigidité élémentaire {F e } : vecteur des sollicitations élémentaire

9 NF04 - Automne - UTC9 Version 09/2006 (E.L.) Phase dassemblage Après calcul de toutes les contributions élémentaires, nous obtenons : 3. La phase dassemblage consiste à « assembler » : toutes les matrices élémentaires en une seule matrice globale [K] tous les vecteurs élémentaires en un seul vecteur global {F} tels que : Deux techniques dassemblage possibles !

10 NF04 - Automne - UTC10 Version 09/2006 (E.L.) Assemblage par extension (peu utilisé) Le principe est simple : augmenter les dimensions des matrices et vecteurs élémentaires aux dimensions de la matrice global et du vecteur global. Exemple :

11 NF04 - Automne - UTC11 Version 09/2006 (E.L.) Assemblage par projection Principe : il consiste à localiser la « zone » de la matrice globale où sera projetée la matrice élémentaire. Constat : cette « zone » possède les mêmes dimensions que la matrice élémentaire. Outil de mise en œuvre : la table des connectivité « conec » Le procédé est identique pour lassemblage dun vecteur élémentaire ! N° ligne = numéro de lélément Contenu des colonnes = liste des nœuds de lélément = liste des lignes et colonnes de la matrice globale !

12 NF04 - Automne - UTC12 Version 09/2006 (E.L.) Technique dassemblage par projection Démarche générale : On boucle sur tous les éléments : 1. Calcul de [K e ] et {F e } 2. Extraction de la connectivité de lélément (numéros des nœuds) 3. On isole dans [K] et {F} les lignes et colonnes correspondantes 1. On y « projette » [K e ] dans [K] 2. On y « projette » {F e } dans {F} Retour de boucle Introduction des conditions aux limites

13 NF04 - Automne - UTC13 Version 09/2006 (E.L.) Applications : maillage à 3 éléments Assemblage de lélément 1 : Conec(1,[1 2])=[1 2] Assemblage de lélément 2 : Conec(2,[1 2])=[2 3] Assemblage de lélément 3 : Conec(3,[1 2])=[3 4] N° délément Liste des noeuds Remarque : pour simplifier L (1) = L (2) = L (3) = L e N° des colonnes

14 NF04 - Automne - UTC14 Version 09/2006 (E.L.) Applications : maillage à 3 éléments Assemblage de lélément 1 : Conec(1,[1 2])=[1 2] Assemblage de lélément 2 : Conec(2,[1 2])=[2 3] Assemblage de lélément 3 : Conec(3,[1 2])=[3 4] N° délément Liste des noeuds

15 NF04 - Automne - UTC15 Version 09/2006 (E.L.) Prise en compte des conditions aux limites (1/3) Traitement de la condition de Dirichlet (1/2) : Méthode du terme unité sur la diagonale Remarque : à lissue de cette phase, le vecteur des réactions vaut {R }={0 } et napparaît donc plus ! N+1 opérations !

16 NF04 - Automne - UTC16 Version 09/2006 (E.L.) Prise en compte des conditions aux limites (2/3) Traitement de la condition de Dirichlet (2/2) : Méthode du terme diagonal dominant 2 opérations ! Remarque : à lissue de cette phase, le vecteur des réactions {R } est négligeable et napparaît donc plus ! avec Grand = x max(K)

17 NF04 - Automne - UTC17 Version 09/2006 (E.L.) Prise en compte des conditions aux limites (3/3) Traitement de la condition de Cauchy : Attention au signe !

18 NF04 - Automne - UTC18 Version 09/2006 (E.L.) Cas particulier dassemblage : liste des nœuds non consécutives Exemple : conec(e, [1 2]) = [ 1 3] Technique : on « dispatche » en conservant les positions relatives respectives !

19 NF04 - Automne - UTC19 Version 09/2006 (E.L.) Cas particulier dassemblage : liste des nœuds inversée Exemple : conec(e, [1 2]) = [ 4 2] Technique : on « dispatche » en inversant les lignes et les colonnes !

20 NF04 - Automne - UTC20 Version 09/2006 (E.L.) Analyse de la validité des résultats Vérifications de base : programmation, préparation des données Conditions aux limites de Dirichlet Condition de Neumann et Cauchy Requiert le calcul du gradient Calcul des réactions Permet de vérifier : léquilibre statique en mécanique La conservation des flux en thermique : flux entrants=flux sortants Calcul de convergence : Parvenir à lindépendance de la solution par rapport au maillage

21 NF04 - Automne - UTC21 Version 09/2006 (E.L.) Post-traitement : calcul du gradient Utile pour : Calculer un flux thermique : Calculer un effort de traction mécanique : Méthode : Question : comment choisir une valeur de flux au nœud « i » ?

22 NF04 - Automne - UTC22 Version 09/2006 (E.L.) Calcul du gradient aux noeuds Constat : une approximation linéaire de la solution : Assure la continuité de la solution inter-éléments ; Nassure pas la continuité des dérivées de la solution ! Solutions envisageables : Utiliser un élément fini à 3 nœuds dapproximation quadratique ! (hors NF04) Moyenner la solution aux nœuds !

23 NF04 - Automne - UTC23 Version 09/2006 (E.L.) Post-traitement : calcul des réactions externes Utile pour : Calculer la valeur du flux thermique externe sur une condition de Dirichlet et vérifier léquilibre des flux entrants et sortants (seulement si f=0). Calculer un effort de réaction mécanique externe et vérifier léquilibre global du système Méthode : Exemple : colonne sous effet de gravité (sera traité lors du TD3) On doit vérifier : Modèle réel Modèle éléments finis Poids Réaction liaison La solution éléments finis le vérifie telle ?

24 NF04 - Automne - UTC24 Version 09/2006 (E.L.) Calculs de convergence Objectif : Vérifier quil existe une taille de maillage minimale à partir de laquelle, la solution devient indépendante du maillage.

25 NF04 - Automne - UTC25 Version 09/2006 (E.L.) Cas particulier : solutions élément finis et analytiques confondues ! Solutions confondues sur la variable T mais pas sur la variable flux ! Valeur convergée Valeur non convergée ! Flux Température


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