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NF04 - Automne - UTC1 Version 09/2006 (E.L.) Cours 7 Problèmes dordre 2 en temps : Analyse modale Domaines dapplication Calcul des modes propres et fréquences.

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1 NF04 - Automne - UTC1 Version 09/2006 (E.L.) Cours 7 Problèmes dordre 2 en temps : Analyse modale Domaines dapplication Calcul des modes propres et fréquences propres Application Décomposition modale

2 NF04 - Automne - UTC2 Version 09/2006 (E.L.) Intérêts « industriels » Vibration - acoustique Couplage fluide-structure Protection séisme Ouvrage génie civil «Tacoma narrows bridge » …

3 NF04 - Automne - UTC3 Version 09/2006 (E.L.) Deux approches possibles … Approche modale : domaine fréquentiel Recherche des fréquences propres et modes de déformés associés Acoustique Approche instationnaire « pas-à-pas » : domaine temporel Crash-tests Dynamiques rapides (choc …) Analyse de transitoire (démarrage moteur …) Propagations dondes (airbag …) Approche qualitative ! Approche quantitative !

4 NF04 - Automne - UTC4 Version 09/2006 (E.L.) La forme générale dun système déquations au 2 ème ordre en temps sécrit : Avec : [M ] : matrice globale de masse [C ] : matrice globale damortissement ( =[0] en NF04 !) [K ] : matrice globale de rigidité (voir précédents cours de NF04) {F } : vecteur global des sollicitations (idem) Particularités de lanalyse modale : 1. On considère toujours {F } = {0} ! 2. Analyse modale = approche qualitative : conditions aux limites inutiles ! Problèmes de dynamiques

5 NF04 - Automne - UTC5 Version 09/2006 (E.L.) Application : système à 2 masses et 2 ressorts Modèle physique : Equations du mouvement : Modèle discret : X (m) U 1 (t) U 2 (t) k1k1 k2k2 m2m2 m1m1

6 NF04 - Automne - UTC6 Version 09/2006 (E.L.) Application : cas dune barre élastique Maillage : deux éléments finis linéaires Forme forte : Forme faible : X (m) F(t) E : module de Young [N/m 2 ] : masse volumique [kg/m 3 ] A : section [m 2 ] u(x,t) : déplacement [m]

7 NF04 - Automne - UTC7 Version 09/2006 (E.L.) Modèle éléments finis Matrices élémentaires : telles que : avec : Assemblage : (L (1) = L (2) = L e ) Condition de Dirichlet : Elimination ligne et colonnes.

8 NF04 - Automne - UTC8 Version 09/2006 (E.L.) Analyse modale Objectifs : déterminer les fréquences propres de vibration ainsi que les modes de déformées propres associés « Ingrédients » : matrices de masse [M] et de rigidité [K] Méthode : calcul de valeurs et de vecteurs propres associés

9 NF04 - Automne - UTC9 Version 09/2006 (E.L.) Ecriture dun problème aux valeurs propres Forme générale « temporelle » : On pose une solution de la forme : Ce qui conduit à : Ecriture générale dun problème au valeur propre ! (au sens mécanique du terme)

10 NF04 - Automne - UTC10 Version 09/2006 (E.L.) Calcul des valeurs propres Le calcul des valeurs propres sobtient par la recherche des solutions non triviales de : soit à vérifier : Sur le plan pratique (Matlab) : >> [V, D]=eig(vkg,vmg) Matrice des vecteurs propre Matrice diagonale des valeurs propre Matrice de masse Matrice de rigidité

11 NF04 - Automne - UTC11 Version 09/2006 (E.L.) Application : système 2 masses et 2 ressorts Simplifications : m 1 =m 2 =m, k 1 =k 2 =k Soient : Equation caractéristique : Calcul des racines : Calcul des vecteurs propres : k=1, m=1

12 NF04 - Automne - UTC12 Version 09/2006 (E.L.) Interprétations graphiques VECTEURS PROPRES = MODES PROPRES DE DEFORMEE VALEURS PROPRES : Mode 1 Mode 2

13 NF04 - Automne - UTC13 Version 09/2006 (E.L.) Les modes propres (c-à-d les vecteurs propres) sont définis à une constante près en raison de : Cette condition stipule que linverse de la matrice nest pas unique ! Une constante pour les modes propres peut être déterminée par les conditions dorthogonalisation : Utilité : permettre la comparaison des résultats entre différentes équipes, outils … Propriétés dorthogonalisation des vecteurs M -orthonormalisation K -orthogonalisation

14 NF04 - Automne - UTC14 Version 09/2006 (E.L.) Application : décomposition modale (1) Idée : utiliser les propriétés dorthogonalisation des vecteurs propres pour diagonaliser le système couplé : Principe : les vecteurs propres sont tous indépendants et par conséquent, ils définissent une base au sens mathématique du terme. On note la base des vecteurs propres : On applique le changement de variables :

15 NF04 - Automne - UTC15 Version 09/2006 (E.L.) Application : décomposition modale (2) Injection des formes dans le système déquations : Multiplication « par la gauche » par [X ] T : Pour aboutir à N équation différentielles « scalaires découplées » : Résolution classique ! Application du changement de variables aux deux conditions initiales telles que : Coefficients de participation modale des efforts Quels modes sont sollicités ?


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