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NF04 - Automne - UTC1 Version 09/2006 (E.L.) Cours 4-a Méthode des éléments finis 2D Généralités Technique daffaiblissement en 2D et 3D Approximation dun.

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1 NF04 - Automne - UTC1 Version 09/2006 (E.L.) Cours 4-a Méthode des éléments finis 2D Généralités Technique daffaiblissement en 2D et 3D Approximation dun élément triangulaire simple : T3 Intégration des termes de contour Application à la thermique : ailette de refroidissement

2 NF04 - Automne - UTC2 Version 09/2006 (E.L.) Passage 3D 2D 1D 1 dimension caractéristique = 2 négligeables 2 dimensions caractéristiques = 1 négligeable 3 dimensions caractéristiques = aucune négligeable 2D-Plan ou 2D-axi Basique et/mais simple Réaliste mais complexe Le choix dépend du degré de réalisme recherché mais aussi du phénomène que lon souhaite étudier, car tout est 3D dans la nature !

3 NF04 - Automne - UTC3 Version 09/2006 (E.L.) Équation de la chaleur en 2D A (Aire) Équation déquilibre thermique : Conditions aux limites : Domaine :

4 NF04 - Automne - UTC4 Version 09/2006 (E.L.) Formes intégrales en 2 dimensions (2D) Démarche identique au cas 1D Pondération et intégration : Intégration par parties : Important : à lissue de ces 2 étapes, vérifier que chacun des termes de W est toujours un scalaire ! Normale extérieure au domaine Propriété k isotrope (simplification volontaire) Car 2D On lélimine par la suite

5 NF04 - Automne - UTC5 Version 09/2006 (E.L.) Termes de contour : C. aux L. naturelles Écriture formelle de W : Où : Triangle à 3 nœuds : T3 Barre Cauchy Barre Neumann Terme qui sera éliminé par la prise en compte des conditions de Dirichlet !

6 NF04 - Automne - UTC6 Version 09/2006 (E.L.) Maillage 2D : exemple Convention : sens de lecture des nœuds = sens trigonométrique Eléments barre

7 NF04 - Automne - UTC7 Version 09/2006 (E.L.) Formes intégrales élémentaires Avec :

8 NF04 - Automne - UTC8 Version 09/2006 (E.L.) Élément triangulaire à 3 nœuds : T3 AeAe Sens de lecture des nœuds !

9 NF04 - Automne - UTC9 Version 09/2006 (E.L.) Choix des fonctions dapproximation Approximation par éléments finis : Fonctions dapproximation linéaires : (équation dun plan) Astuce : utiliser le triangle de Pascal pour choisir la forme de lapproximation

10 NF04 - Automne - UTC10 Version 09/2006 (E.L.) Calcul des fonctions dapproximation On applique la relation générale : Soient les 3 systèmes à 3 équations suivants à résoudre :

11 NF04 - Automne - UTC11 Version 09/2006 (E.L.) Calcul des fonctions dapproximation Après résolution des 3 systèmes : Avec : (Aire de lélément)

12 NF04 - Automne - UTC12 Version 09/2006 (E.L.) Calcul de la surface élémentaire La surface élémentaire dun triangle quelconque se calcule à laide dun simple produit vectoriel

13 NF04 - Automne - UTC13 Version 09/2006 (E.L.) Illustration des fonctions dapproximation

14 NF04 - Automne - UTC14 Version 09/2006 (E.L.) Reconstruction globale à partir dapproximations élémentaires Lapproximation par éléments finis T3 assure la continuité inter-éléments sur la variable inconnue mais pas sur ses dérivées !

15 NF04 - Automne - UTC15 Version 09/2006 (E.L.) Calcul des formes intégrales discrètes Pour rappel, la forme élémentaire à discrétiser est : Le terme de gradient est déduit de lapproximation sur T : avec [B] : matrice gradient De même pour le gradient de la fonction-test.

16 NF04 - Automne - UTC16 Version 09/2006 (E.L.) Suite … La forme élémentaire sécrit alors : Si f =f(x,y), on considèrera : Pour lélément T3, la matrice [B] est composée de constantes, doù : Avec : Intégration rendue possible (!!) soit : Par changement de variables (prochain cours) Intégration numérique (prochain cours)

17 NF04 - Automne - UTC17 Version 09/2006 (E.L.) Traitement des termes de contour : Neumann La ou les conditions de Neumann sont « classiquement » intégrées en ayant recours à un élément de contour linéaire de type barre à 2 nœuds. Les fonctions sont (cf cours « Eléments finis 1D ») : Soit : S : abscisse curviligne

18 NF04 - Automne - UTC18 Version 09/2006 (E.L.) La ou les conditions de Cauchy sont aussi « classiquement » intégrées en ayant recours à un élément de contour linéaire de type barre à 2 nœuds. Soit : S : abscisse curviligne Traitement des termes de contour : Cauchy

19 NF04 - Automne - UTC19 Version 09/2006 (E.L.) Assemblage

20 NF04 - Automne - UTC20 Version 09/2006 (E.L.) Traitement des termes de contour : Dirichlet Ces conditions sont introduites dans le système en TOUTE DERNIERE ETAPE : Par la méthode du terme unité sur la diagonale ou Par la méthode du terme diagonal dominant ou Par élimination de la ligne et colonne correspondante (hors NF04). Ces méthodes sont analogues au cas 1D (cf cours « Eléments finis 1D »)

21 NF04 - Automne - UTC21 Version 09/2006 (E.L.) Application : ailette de refroidissement Modèle physique + maillage f=0 Flux nul Table des coordonnées : Table des connectivités :

22 NF04 - Automne - UTC22 Version 09/2006 (E.L.) Calcul des matrices et vecteurs élémentaires Elément T3 n°1 : Elément T3 n°2 :

23 NF04 - Automne - UTC23 Version 09/2006 (E.L.) Calcul des matrices et vecteurs élémentaires Elément Neumann n°3 : Elément Cauchy n°4 :

24 NF04 - Automne - UTC24 Version 09/2006 (E.L.) Phase dassemblage Connectivités : Matrice globale : Vecteur global :

25 NF04 - Automne - UTC25 Version 09/2006 (E.L.) Application : ailette de refroidissement Résolution et post-traitement Affichage des champs de couleurs


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