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NF04 - Automne - UTC1 Version 09/2006 (E.L.) Cours 5-b Problèmes spatio-temporels dordre 1 en temps Calcul des matrices de masse (1D et 2D) Schémas explicite.

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1 NF04 - Automne - UTC1 Version 09/2006 (E.L.) Cours 5-b Problèmes spatio-temporels dordre 1 en temps Calcul des matrices de masse (1D et 2D) Schémas explicite et implicite Approche globale de la stabilité Approche locale de la stabilité : décomposition de Neumann notion de positivité

2 NF04 - Automne - UTC2 Version 09/2006 (E.L.) Le problème étudié est désormais variable en temps et en espace. La forme générale dun système déquations au 1 er ordre en temps sécrit : Avec : [M] : matrice globale de masse [K] : matrice globale de rigidité (voir précédents cours de NF04) {F} : vecteur global des sollicitations (idem) Ces matrices résultent de techniques de discrétisation telles les : Différences finies Eléments finis … Problèmes spatio-temporels

3 NF04 - Automne - UTC3 Version 09/2006 (E.L.) Calcul de la matrice masse [ M ] (1 dimension) Equation « de la chaleur » en 1D Forme faible associée : Fonction-test ne dépendant que de x bien que le problème soit instationnaire ! Pas dintégration par parties sur le terme instationnaire ! [K ]{T } {F } Neumann Cauchy

4 NF04 - Automne - UTC4 Version 09/2006 (E.L.) Matrice masse : thermique 1D Approximation par éléments finis : RAPPEL : les fonctions dapproximation ne dépendent pas du temps ! doù : Le terme temporel sécrit ainsi : Avec : La procédure dassemblage reste identique !

5 NF04 - Automne - UTC5 Version 09/2006 (E.L.) Calcul de la matrice masse [ M ] (2 dimensions) Equation « de la chaleur » en 2D Forme faible associée : Fonction-test ne dépendant que de x,y bien que le problème soit instationnaire ! Pas dintégration par parties sur le terme instationnaire ! [K ]{T } {F } Neumann Cauchy

6 NF04 - Automne - UTC6 Version 09/2006 (E.L.) Matrice masse : thermique 2D Approximation par éléments finis : Soit : Le terme temporel sécrit ainsi : Avec :

7 NF04 - Automne - UTC7 Version 09/2006 (E.L.) Phase dassemblage + conditions aux limites De manière générale : Avec : A lissue de la phase dassemblage : Lintroduction des conditions aux limites de type Dirichlet seffectue dans la boucle temporelle.

8 NF04 - Automne - UTC8 Version 09/2006 (E.L.) Discrétisation temporelle La discrétisation du terme temporel est analogue au cas scalaire : 1. Schéma EXPLICITE : 2. Schéma IMPLICITE :

9 NF04 - Automne - UTC9 Version 09/2006 (E.L.) Stabilité Lanalyse de la stabilité du schéma temporel (explicite, implicite …) dun système déquation peut être traitée selon deux approches : 1. Approche globale : utilisation des matrices [M] et [K] 2. Approche locale : équation scalaire discrète en temps et en espace Pour cette dernière approche, deux techniques possibles : Stabilité au sens de la décomposition de Neumann (approche mathématique) Concept de positivité (approche « physique ») (+) généralisable (-) « lourde », condition de stabilité avec oscillation (+) facile, rapide, stabilité sans oscillation (-) pas toujours généralisable

10 NF04 - Automne - UTC10 Version 09/2006 (E.L.) Approche globale de la stabilité (1) Quel que soit le schéma utilisé, explicite, implicite … il est toujours possible de ramener le système sous la forme récurrente suivante : Par analogie avec létude de la stabilité dune équation scalaire, on définit : [G] : matrice damplification du schéma {…} : autres termes du système ne faisant intervenir ni {T } n, ni {T } n+1 Définition : la stabilité sans oscillation du schéma est alors assurée si Taille du système

11 NF04 - Automne - UTC11 Version 09/2006 (E.L.) Approche globale de la stabilité (2) Application au cas dun schéma EXPLICITE soit : La matrice damplification est : On pose l i, les valeurs propres de la matrice, avec Nous avons donc : Schéma STABLE si Matrice identité CONDITION DE STABILITE Car [M] et [K] définies positives !

12 NF04 - Automne - UTC12 Version 09/2006 (E.L.) Approche globale de la stabilité (3) Application au cas dun schéma IMPLICITE soit : La matrice damplification est : On pose l i, les valeurs propres de la matrice, avec Nous avons donc : Schéma STABLE si TOUJOURS VERIFIE !

13 NF04 - Automne - UTC13 Version 09/2006 (E.L.) Approche locale de la stabilité La démarche consiste cette fois-ci à analyser la stabilité dune équation discrète et non plus du système dans sa globalité Où trouver léquation ? Deux possibilités : 1. Extraire la j ème ligne du système : 2. Obtenir léquation discrète par différences finies Remarque : un schéma aux différences finies centrées en 1D est identique à celui obtenu par une approche éléments finis linéaire 1D où la matrice de masse serait diagonalisée.

14 NF04 - Automne - UTC14 Version 09/2006 (E.L.) Application à la thermique 1D Equation de « la chaleur » en 1D Phase de discrétisation en espace : Phase de discrétisation en temps : La stabilité requiert lécriture sous la forme : Question : que faire des variables indicées en j-1 et j+1 ? Indice temporel Indice spatial Même indice en espace !

15 NF04 - Automne - UTC15 Version 09/2006 (E.L.) Stabilité au sens de Neumann Objectif : exprimer toutes les variables indicées en j-1 et j+1 en fonction de la variable indicée en j pour aboutir à : Méthode : décomposition en séries de Fourier (voir principe sur transparent suivant) Principe : si la solution est stable, alors chacun de ses modes est aussi stable. Application : on considère donc un seul mode m quelconque On montre alors que :

16 NF04 - Automne - UTC16 Version 09/2006 (E.L.) Décomposition en séries de Fourier Principe : « nimporte quel signal, aussi bien en temps quen espace, est décomposable en séries de Fourier » Séparation des variables : Illustrations : Fonction de lespace Fonction du temps Reconstruction du signal pour un nombre de modes croissant m=1 m=2m=5m=50

17 NF04 - Automne - UTC17 Version 09/2006 (E.L.) Stabilité de Neumann pour un schéma EXPLICITE Le schéma explicite en temps pour léquation de « la chaleur » en 1D est : On introduit : Soit : La stabilité est assurée pour toujours vérifié !

18 NF04 - Automne - UTC18 Version 09/2006 (E.L.) Concept de POSITIVITE Ecriture générale du schéma discret dun problème spatio-temporel : Un tel schéma est dit POSITIF sil vérifie : La démonstration est basée sur le choix de profils de type choc en n : Application : le schéma explicite (ther. 1D) est positif si A0 B0C0


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