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Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux. Une figure F quelconque présente une certaine symétrie s'il existe une ou plusieurs opérations qui, appliquées.

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1 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux

2 Une figure F quelconque présente une certaine symétrie s'il existe une ou plusieurs opérations qui, appliquées aux éléments de la figure, la transforme en une figure F' indiscernable de F. Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux Opération de symétrie Translation Opération de symétrie effectuée par translation dun vecteur Ce vecteur doit être une combinaison linéaire des vecteurs de base du réseau pour vérifier la condition dinvariance Dans un réseau cristallin, les translations ne sont des opérations de symétrie que si le réseau est infini

3 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux Opération de symétrie Rotation Laxe de symétrie dordre n est noté C n. Après n rotations autour de C n, on retrouve la situation initiale. Opération de symétrie effectuée par rotation d'un angle de =2 /n autour d'un axe de symétrie défini par un vecteur n est toujours un nombre entier, c'est l'ordre de l'axe La rotation est notée : =2 /n

4 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux Opération de symétrie Rotation La matrice associée à la rotation R(u, ) sécrit dans un repère orthonormé : Le réseau cristallin doit être invariant par toute opération de symétrie Nimporte quel vecteur de ce réseau est transformé en un autre vecteur du réseau Avec u, v, w, u, v, w nombres entiers La trace, Tr(R( )) doit être un nombre entier

5 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux Opération de symétrie Rotation Tr(R( ))=1+2cos =m, avec m entier -1

6 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux Opération de symétrie Linversion I transforme un vecteur en son opposé. Seul le centre dinversion est invariant. Inversion P P Lobjet final est limage dans un miroir de lobjet initial On dit que ces deux objets sont énantiomorphes

7 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux Opération de symétrie Produits dopérations élémentaires Inversion rotatoire : produit dune rotation et dune inversion Linversion rotatoire R correspond à une rotation de 2 /n suivie d'une inversion dans un centre situé sur l'axe de rotation. Ce produit est commutatif Les objets finaux et initiaux sont énantiomorphes =2 /n On note cette opération de symétrie par les symboles 2, 3, 4, 6 selon lordre de la rotation

8 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux Opération de symétrie Produits dopérations élémentaires Le miroir : produit dune rotation dordre 2 et dune inversion Le produit dune rotation dordre 2 par une inversion dont le centre est situé sur laxe de rotation est une symétrie par rapport à un plan. On parle de plan miroir Ce produit est commutatif Plan miroir

9 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux Opération de symétrie Produits dopérations élémentaires Axe hélicoïdal : produit dune rotation et dune translation parallèle à laxe de rotation =2 /n Le produit dune rotation dordre quelconque n par une translation dont le vecteur est co- linéaire à laxe de rotation est un « axe hélicöidal » (ou un « vissage »)

10 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux Opération de symétrie Catégories d'opérations de symétrie - Congruence - Chiralité Opérations de première espèce: Une opération de symétrie est dite de première espèce si la position relative des points de la figure ne change pas lorsque entre lobjet initial est lobjet transformé par lopération de symétrie considérée Seules, la rotation et la translation sont des opérations de première espèce Toute autre opération est dite de seconde espèce

11 Figures énantiomorphes : Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux Opération de symétrie Catégories d'opérations de symétrie - Congruence - Chiralité Figure non superposables par une opération de première espèce Chiralité : Absence daxe dinversion

12 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux Opérations de symétrie, éléments de symétrie et réprésentation Les différentes opérations de symétries dun cristal sont représentées à laide de la projection stéréographique de ses éléments de symétrie On appelle « élément de symétrie » lensemble des éléments invariants (points, droites ou plans) lors dune opération de symétrie Quelques exemples Rotation dordre 2 Projection stéréographique 2 =2 /3 Rotation dordre 3 Projection stéréographique 3

13 Plan miroir Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux Opérations de symétrie, éléments de symétrie et réprésentation Quelques exemples Projection stéréographique m Association dopérations de symétrie Projection stéréographique 3m Le plan miroir contient laxe de rotation

14 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux Groupes ponctuels cristallographiques Un ensemble G d'éléments X, Y, Z, … est un groupe si et seulement si : Structure de groupe, rappels Groupe de symétrie : lorsqu'une figure possède un ou plusieurs éléments de symétrie, les opérations de symétrie forment un groupe au sens mathématique On peut le doter d'une loi de composition interne associative qui au couple ordonné (X,Y) fait correspondre un autre élément de G, appelé produit et noté X.Y Si le produit est commutatif, le groupe est dit abélien G contient un élément neutre I tel que X G, I.X=X=X.I A tout élément X de G on peut associer son inverse X -1 tel que X.X -1 =I=X -1.X

15 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux Groupes ponctuels cristallographiques Structure de groupe, rappels Quelques exemples Groupe {I, C 2 } I : identité ; C 2 : rotation dordre 2 (dangle ) Groupes cycliques Groupe {A, A.A=A 2, A 3 …, A n = I} On note que lensemble des rotations dordre n autour dun axe donné constituent un groupe cyclique Groupe {A, A 2, A 3 …, A n, A n =B 2 =I, B.A=A n-1.B} Groupes diédraux D n

16 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux Groupes ponctuels cristallographiques Tous les éléments de symétrie d'une figure finie se coupent au moins en un point Les groupes ponctuels cristallographiques sont ceux qui sont compatibles avec la symétrie du réseau cristallin On distingue 2 types de groupes ponctuels : On parle de groupe ponctuel Les groupes propres : ne contiennent que des rotations (déterminants des matrices égaux à +1) Les groupes impropres : contiennent que des rotations (déterminants des matrices égaux à +1) et des inversions rotatoires (déterminants des matrices égaux à –1)

17 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux Groupes ponctuels cristallographiques Théorèmes : 1 - Si un axe d'ordre pair est perpendiculaire à un plan de symétrie, l'intersection est un centre 2 - Si une figure n'a qu'un axe de symétrie, tout plan de symétrie doit contenir l'axe ou lui être perpendiculaire 3 - Lorsqu'un axe d'ordre X est dans un plan de symétrie, il existe X plans de symétrie formant entre eux des angles de /X ( et réciproquement) 4 - S'il n'existe qu'un seul axe d'ordre supérieur à 2, tout axe d'ordre 2 doit nécessairement lui être perpendiculaire 5 - Si un axe d'ordre 2 est perpendiculaire à un axe d'ordre X, il existe X axes d'ordre 2 formant entre eux des angles /X, dans un plan perpendiculaire à l'axe d'ordre X 6 - Il n'existe que peu de manières d'assembler en un groupe ponctuel, plusieurs axes d'ordre supérieur à 2. Les seules associations possibles sont 23, 432, 532.

18 11 groupes impropres contenant l'inversion Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux Groupes ponctuels cristallographiques Lors du dénombrement des groupes ponctuels cristallographiques on a trouvé : 11 groupes propres Groupes propres Notation Schönfies Notation Hermann-Mauguin Groupes impropres contenant linversion Notation Schönfies C2C2 2C 2h 2/m C4C4 4C 4h 4/m C6C6 6C 6h 6/m D2D2 222D 2h mmm D4D4 422D 4h 4/mmm D6D6 622D 6h 6/mmm T23ThTh m3 O432OhOh m3m C1C1 1CiCi 1 C3C3 3C 3i 3 D3D3 32D 3d 3m Notation Hermann-Mauguin G i =G p +I.G p Le produit de linversion par un axe C 2n fait apparaître un miroir normal à laxe de symétrie

19 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux Groupes ponctuels cristallographiques 32 groupes ponctuels cristallographiques 10 groupes impropres ne contenant pas l'inversion Groupes impropres ne contenant linversion Notation Schönfies Notation Hermann-Mauguin C 2v mm2 C 3v 3m D 4v 4mm C 6v 6mm S1S1 2 = m S3S3 6 D 2d 42m S4S4 4 TdTd 43m D 3h 62m

20 Chacun des 32 groupes ponctuels cristallographiques forme une classe cristalline Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux Classes, systèmes et réseaux cristallins Il importe de ne pas confondre la classe de symétrie d'un cristal, liée à la nature de son réseau, avec la symétrie éventuelle des objets qui constituent le motif. Chacun des 7 systèmes est caractérisé par une métrique particulière qui correspond à la symétrie du réseau. Parmi les 32 groupes ponctuels cristallographiques, il en existe 7 qui sont associés à un système cristallin. Les groupes ponctuels cristallographiques étant connus, les groupes ponctuels de réseau sont des groupes ponctuels munis de propriétés particulières (inversion, translation). Classes cristallines

21 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux Classes, systèmes et réseaux cristallins SystèmeGroupeElémentsMétrique Triclinique 1 1 centre a b c /2 Monoclinique2/m 1 direction binaire a b c /2, /2 Orthorhombiquemmm 3 directions binaires a b c /2 Trigonal 3m 1 direction ternaire a =b=c /2 Quadratique4/mmm 1 direction quaternaire a =b c /2 Hexagonal 6/mmm 1 direction sénaire a =b c /2, /3 Cubiquem3m 4 directions ternaires a =b = c /2 Classes cristallines

22 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux Classes, systèmes et réseaux cristallins Triclinique 1, 1 Monoclinique2, m, 2/mOrthorhombique222, mm2, mmmTrigonal 3, 3, 32, 3m, 3m Quadratique4, 4, 4/m, 4mm, 422, 42m, 4/mmm Hexagonal 6, 6, 6/m, 6mm, 622, 62m, 6/mmmCubique23, m3, 432, 43m, m3m Classement des groupes ponctuels en systèmes cristallins

23 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux Classes, systèmes et réseaux cristallins Holoédries et mériédries Triclinique 1, 1 Monoclinique2, m, 2/m Orthorhombique222, mm2, mmm Trigonal 3, 3, 32, 3m, 3m Quadratique 4, 4, 4/m, 4mm, 422, 42m, 4/mmm Hexagonal 6, 6, 6/m, 6mm, 622, 62m, 6/mmm Cubique 23, m3, 432, 43m, m3m Les 7 classes ayant le même groupe que le réseau de leur système sont dites classes holoédres Les autres classes qui ont donc une symétrie inférieure à celle du réseau sont dites classes mériédres Si la mériédrie est un sous-groupe dordre 2 de lholohédrie, cest une hémiédrie.

24 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux Classes, systèmes et réseaux cristallins Classes de Laue Parmi les différentes classes cristallines certaines ne diffèrent les unes des autres que par la présence ou labsence de linversion. On peut regrouper ces classes cristallines ensemble. On obtient alors les classes de Laue. 1, 1 2, m, 2/m 222, mm2, mmm 3, 3 4, 4, 4/m 622, 62m, 62m, 6/mmm 23, m3 32, 3m, 3m 6, 6, 6/m 4mm, 422, 42m, 4/mmm 432, 43m, m3m On dénombre 11 classes de ce type

25 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux Classes, systèmes et réseaux cristallins Réseaux de Bravais L'ensemble des opérations de symétrie de translation forme un groupe. L'ensemble des points (nœuds) forme le réseau, avec ses rangées, plans, mailles … Les réseaux tridimensionnels peuvent être construits en juxtaposant des parallélépipèdes pour lesquels il n'existe que 7 symétries différentes (les systèmes cristallins) On démontre que les symétries des 7 parallélépipèdes sont réalisées par 14 modes de réseau : les 14 réseaux de Bravais. 7 de ces modes sont bien décrits par les mailles primitives ( mode P) Pour les 7 autres, c'est une maille multiple qui présente toute la symétrie du réseau. Mode F: toutes les faces sont centrées (maille quadruple) Mode I: un nœud au centre de la maille (maille double) Ces mailles multiples sont de 3 sortes: Mode C (ou A, ou B): 2 faces opposées sont centrées (maille double)

26 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux Classes, systèmes et réseaux cristallins Réseaux de Bravais On peut voir, notamment, qu'une maille ayant deux faces centrées est obligatoirement du mode F.deux faces centrées obligatoirementmode F De même, une maille qui serait à la fois I et C peut toujours être ramenée à une maille C conventionnelle.I et Cmaille C Système triclinique : un seul mode P. Système monoclinique : deux modes: P et C On convient de choisir b parallèlement à l'axe binaire du prisme Alors le mode B (nœuds au centre des faces obliques) n'offre pas plus de symétrie que le mode Pmode B Les modes I et F se réduisent au mode C par un choix judicieux des axesIF

27 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux Classes, systèmes et réseaux cristallins Réseaux de Bravais Système orthorhombique : quatre modes: P, I, C et F Les mailles multiples ont plus de symétrie que la maille primitive. Système hexagonal : un seul mode: P On utilise quelquefois une maille triple, hexagonale (choix des axes) Système rhomboédrique : un seul mode: P

28 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux Classes, systèmes et réseaux cristallins Réseaux de Bravais CC n'a pas plus de symétrie que P et F pas plus que I. A ou B ne sont pas quadratiquesF Système quadratique : deux modes : P et I Système cubique : trois modes : P, F et I

29 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux Groupes despace maillemotifréseau Unité asymétrique motif Figure périodique infinie Translations du réseau Opérateurs du groupe ponctuel Lopération la plus générale qui, dans un cristal, permet de passer dun point quelconque à un autre point équivalent peut être décrite comme le produit dune opération de symétrie ponctuelle R par une translation T On appelle groupe despace du cristal, lensemble G E = {(R, T)} des opérations de symétrie qui transforment un point quelconque du cristal en un point équivalent

30 maille motif réseau Unité asymétrique A un point de l'unité asymétrique correspond un certain nombre de points équivalents dans le motif, et une infinité dans la figure périodique. Les points équivalents du motif dérivent du premier point par l'application des opérations de symétrie du groupe ponctuel. Le nombre de points équivalents dans le motif est la multiplicité, caractéristique du groupe d'espace. La multiplicité est la plus grande lorsque le point occupe une position générale, en dehors des éléments de symétrie. S'il est en position spéciale, sur un élément de symétrie, la multiplicité est plus faible. Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux Groupes despace

31 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux Groupes despace Axes hélicoïdaux et miroirs de glissement =2 /n Axes hélicoïdaux des groupes despaces T=[R].t T doit être une translation du réseau nt=kc Translation élémentaire caractéristique du cristal Axe binaire : n=2 k = 0 ou 1 k=0 axe binaire normal2 k=1 axe binaire hélicoïdal 2121 Notation

32 Axes ternaires : n=3 k = 0, 1 ou 2 k=0 axe ternaire normal3 k=1 ou 2 axes ternaires hélicoïdaux 3 1, 3 2 Notation Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux Groupes despace Axes hélicoïdaux et miroirs de glissement Axes quaternaires : n=4 k = 0, 1, 2 ou 3 k=0 axe quaternaire normal4 k=1, 2 ou 3 axes quaternaires hélicoïdaux 4 1, 4 2, 4 3 Axes sénaires : n=6 k = 0, 1, 2, 3, 4 ou 5 k=0 axe sénaire normal6 k=1, 2, 3, 4 ou 5 axes sénaires hélicoïdaux 6 1, 6 2, , 6 5 Axes hélicoïdaux des groupes despaces

33 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux Groupes despace Axes hélicoïdaux et miroirs de glissement Miroir parallèle à un plan particulier et translation t parallèle à une rangée cristallographique dont la périodicité est d Les plans de glissement avec t = a/2, b/2, c/2 sont notés a, b ou c, respectivement t = p/2 d Pour que la périodicité du réseau soit maintenue, on doit avoir 2 t = p d avec p entier, soit Avec p entier, on peut avoir t = 0, d/2, d, 3/2 d, … et seules les deux premières sont distinctes. Or t = 0 correspond au plan miroir, donc seule t = ½ d est possible. Les plans de glissement oblique avec t=(a+b)/2, (a+c)/2, (b+c)/2 ou (a+b+c)/2 sont notés n Dans une maille multiple, t peut être un autre vecteur de réseau, on notera d. Exemple: t=(a+b+c)/4 appelé miroir diamant Miroirs de glissement

34 Symboles internationaux de Hermann - Maugin On fait précéder le nom du groupe ponctuel dune lettre majuscule qui indique le type de réseau: (P, A, B, C, I, F, R) Symbole dans la classe cristalline Symboles dans le groupe despace 22, , 3 1, , 4 1, 4 2, , 6 1, 6 2, 6 3, 6 4, 6 5 mm, a, b, c, n, d Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux Groupes despace Dans la notation du groupe ponctuel, on remplace éventuellement les symboles 2, 3, 4, 6 et m par les symboles correspondant aux opérations de symétrie translatoire dans le groupe despace considéré:

35 On compte 230 groupes despace – Tables internationales de cristallographie Ils se répartissent ainsi dans les différents systèmes Système triclinique2Système tétragonal68 Système monoclinique13Système hexagonal27 Système orthorhombique59Système cubique36 Système rhomboédrique25 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux Groupes despace

36 Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux Groupes despace

37 Ensemble des structures cristallines 230 groupes despace (symétries de position) 14 modes de Bravais32 classes cristallines mériédriesholoédries 7 mailles de Bravais 7 systèmes cristallins RéseauxSymétries dorientation Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux Groupes despace Classements des structures selon la cristallographie géométrique


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