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Sur le problème de la stabilité de Lyapunov des systèmes discrets non- linéaires non-stationnaires dans le cadre des ensembles asymptotiquement contractifs.

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1 Sur le problème de la stabilité de Lyapunov des systèmes discrets non- linéaires non-stationnaires dans le cadre des ensembles asymptotiquement contractifs. Bouyekhf Rachid-Lyuboumir Gruitch Laboratoire SeT UTBM

2 2 Plan de la présentation Historique Position du problème Solution du problème Conclusion

3 3 Problème de la stabilité des systèmes discrets non-linéaires dans le cadre des ensembles asymptotiquement contractifs. 1960: Hahn Etat de l'art 1962: Weiss1964: Kalman et Bertram1964: Halanay Systèmes étudiés Limitation de la méthode de Lyapunov Elle n'est pas applicable dans le cadre des ensembles dépendants du temps

4 4Exemple Soitune fonction de Lyapunov candidate pour le système Critère de Lyapunov : Sil existe un voisinage connexe S de x=0 et une fonction définie positive sur S tels que Alors le point déquilibre est stable Problématique Problème de la stabilité des systèmes discrets non-linéaires dans le cadre des ensembles asymptotiquement contractifs.

5 5 Conclusion : Le point d'équilibre x=0 est stable. Problématique Question Pourquoi les critères de Lyapunov ne sont pas applicables dans ce cas?

6 6 Problème de la stabilité des systèmes discrets non-linéaires dans le cadre des ensembles asymptotiquement contractifs. La cause L'ensemble S(k) dans lequel est asymptotiquement contractifProblématiqueConséquence L'ensemble S(k) nest pas positivement invariant par rapport à c-à-d il nexiste aucun tel que

7 7 Interprétation géométrique

8 8 Problème posé Indiquer si la méthode de Lyapunov résout réellement la question de la stabilité dans le cadre des ensembles asymptotiquement contractifs. Problème de la stabilité des systèmes discrets non-linéaires dans le cadre des ensembles asymptotiquement contractifs.

9 9 Réponse au problème Proposition de deux approches différentes Méthode de Lyapunov Approche 1: Méthode de Lyapunov Deux critères Critère 1: Utilisation de deux fonctions définit la frontière de l'ensemble considéré une fonction définie positive Critère 2 Si lensemble est invariant par rapport à seule cette fonction est nécessaire pour le test de la stabilité asymptotique

10 10 Principe : Critère 1 On choisit une fonction définie positive v(k,x) et on calcule Δ v(k,x) Si Δ v(k,x) 0 dans un ensemble S(k) et si On construit alors la fonction frontière ω(k,x) de S(k) Si Δ ω(k,x) 0 dans S(k) alors Conclusion : Le point déquilibre est asymptotiquement stable

11 11 Principe : Critère 2 On choisit une fonction définie positive v(k,x) et on calcule Δ v(k,x) Si Δ v(k,x) 0 dans un ensemble S(k) et si On vérifie si Conclusion : Le point déquilibre est asymptotiquement stable

12 12 Principe : Critère 2, version 2 On choisit une fonction globalement définie positive v(k,x) et on calcule Δ v(k,x) Si Sil existe un ensemble A tel que et Δv(k,x) 0 dans A A Conclusion : Le point déquilibre est asymptotiquement stable Si la stabilité asymptotique est globale

13 13 Problème de la stabilité des systèmes discrets non-linéaires dans le cadre des ensembles asymptotiquement contractifs. Utilisation du concept des fonctions Approche 2 : Utilisation du concept des fonctions génératrices génératrices Ces fonctions définissent les frontières des ensembles non-stationnaires et jouent le même rôle que celui des fonctions de Lyapunov Principe :Avantage : La définition positive des fonctions génératrices n'est plus nécessaire.

14 14 Principe: Approche 2 On choisit une fonction quelconque g(k,x) et on construit l'ensemble qui lui est associé Lattractivité de léquilibre est assurée si On vérifie ensuite l'asymptotique contractivité de sa fermeture La stabilité est assurée sil existe un ensemble invariant tel que

15 15 Problème de la stabilité des systèmes discrets non-linéaires dans le cadre des ensembles asymptotiquement contractifs. Exemple Soit g nest pas définie positive Stabilité de x=0 : Si Attractivité de x=0 : Le pont déquilibre x=0 est asymptotiquement stable et est une estimation de son domaine de la stabilité asymptotique

16 16 Problème de la stabilité des systèmes discrets non-linéaires dans le cadre des ensembles asymptotiquement contractifs. Généralisation du concept des fonctions génératrices à des ensembles non-asymptotiquement contractifs Résultats -- Elaboration de nouveaux critères pour juger de la stabilité asymptotique des systèmes discrets non-linéaires -- Détermination exacte du domaine de la stabilité asymptotique du point d'équilibre Pourquoi? Construction dune approche alternative pour l'étude de la stabilité des systèmes discrets non-linéaires sans passer par les fonctions définies positives.

17 17 Principe de la généralisation et La stabilité asymptotique est assurée sil existe 2 ensembles invariants tels que On choisit une fonction quelconque g(k,x) et on construit l'ensemble qui lui est associé Si est le domaine exacte de la SA

18 18 Fonction quelconque g(k,x) Il existe 2 ensembles invariants tels que Méthode de Lyapunov 1892 Notre approche v(k,x) définie positive et « décrescente » sur un ensemble invariant S Δv(k,x) < 0 sur S

19 19 Merci pour votre attention


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