Cours 3-a Méthode des éléments finis 1D

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1 Cours 3-a Méthode des éléments finis 1D
Notion d’affaiblissement : formes forte et faible Approximation par éléments finis Traitement des conditions aux limites Résolution Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

2 Étude comparative : différences finies et éléments finis
Différences finies (rappels) Équation d’équilibre + C. aux L. = Forme FORTE Obtention forme faible intégrale Générer le maillage du domaine Nœuds équidistants Maillage Nœuds Éléments (connectivité) Obtention de l’équation discrète Formules « toutes faites » Idem pour les C. aux L. Discrétisation de la forme intégrale sur chaque élément (matrice et vecteur élémentaires) Construction du système = Assemblage Résolution du système Post-traitement Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

3 Formes forte et faible Particularité de la méthode des éléments finis (MEF) : Discrétiser, non pas la relation d’équilibre, mais une forme « affaiblie » de cette équation. Vocabulaire : cette forme est appelée sous des noms divers: Forme faible Forme intégrale Forme variationnelle … affaiblir pour réduire certaines contraintes mathématiques (discontinuités …) empêchant l'utilisation d'outils classiques pour sa résolution. Motivation : la solution d’une forme faible correspond à une solution approchée ou « faible » en termes de continuité. Conséquence : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

4 Illustration du principe d’affaiblissement
Discontinuité sur la dérivée exacte Continuité sur la dérivée « affaiblie » Continuité sur la forme « affaiblie » Continuité sur la forme « affaiblie » Solution « forte » : traits pleins noirs Solution « faible » : traits pointillés rouges Avec affaiblissement : dérivées ordre 1 et 2 sont désormais continues et donc discrétisables et intégrables ! Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

5 Technique d’affaiblissement par la Méthode des résidus pondérés
Reprenons l’exemple de thermique 1D régi par : Définition : nous appelons résidu (noté Res), l’expression mathématique de la forme forte du problème étudié. Soit, dans notre cas : Ce résidu s’annule quand T(x) est solution. Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

6 Méthode des résidus pondérés
Méthode générale : Pondération du résidu par une fonction-test Intégration sur le domaine Intégration par parties Introduction des conditions aux limites Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

7 Application : équation de la chaleur en 1D
1. Pondération du résidu par une fonction-test : 2. Intégration sur le domaine Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

8 3. Intégration par parties :
Avantages : Réduction de l’ordre maximum des dérivées présentes Introduction « naturelle » des conditions aux limites Rappels : intégrations par parties en 1D Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

9 Technique d’affaiblissement par la Méthode des résidus pondérés
4. Introduction des conditions aux limites : Traitement de : Deux possibilités : Introduction du flux inconnu en x=0 : Élimination en choisissant : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

10 Discrétisation par éléments finis
Maillage avec un seul élément fini à deux noeuds : Forme faible (ou intégrale) : L’intégration requiert une approximation des variables : et de leurs dérivées : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

11 Approximation par éléments finis (Galerkin)
Définition : une approximation au sens des éléments finis d’une variable T(x) sur un élément à deux nœuds, s’écrit : Vocabulaire : sont appelées fonctions d’approximation ou fonctions de forme (fonctions polynomiales) Propriétés : les fonctions de formes vérifient la relation générale : Utile pour les calculer Application : pour un élément fini à deux noeuds Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

12 Calcul des fonctions Ni : élément à deux noeuds
Choisir l’ordre d’approximation : deux nœuds ordre 1 Construction des deux systèmes d’équations Résolution : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

13 Approximation de la fonction-test
Plusieurs formulations sont possibles : Collocation par points ou par sous domaines Moindres carrés Galerkin Hors programme NF04 Méthode des éléments finis La fonction-test est approximée avec les mêmes Ni que T(x) Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

14 Discrétisation de la forme intégrale
Réécriture des approximations sous la forme : La fonction-test est approximée de la même manière : Les dérivées se calculent selon : Vecteur ligne Vecteur colonne Vocabulaire : si la variable inconnue et la fonction-test utilisent les mêmes fonctions Ni, l’approximation est alors dite de type GALERKIN. Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

15 Discrétisation de la forme intégrale
Rappel : Introduction des approximations dans la forme intégrale : soit Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

16 Obtention du système Soit : Pour le terme des conditions aux limites :
En regroupant les deux expressions : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

17 Obtention du système D’où : avec :
Prise en compte de la condition à la limite : T(x=0)=T1=30 Vocabulaire : [K] = matrice de « rigidité » {F} = vecteur des sollicitations externes {R} = vecteur des réactions (ou flux) externes inconnus {R} disparaît avec cette méthode ! Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

18 Affichage et post-traitement de la solution
Résolution : outil informatique Matlab (séances TP de NF04) Post-traitement : Affichage de la température Calcul des réactions ou flux externes (ie inconnus) Calcul du flux à l’intérieur du domaine Premier élément de validation : Respect ou non des conditions aux limites ? Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

19 Pour résumer … Mailler le domaine Obtention de la forme faible :
En pondérant par une fonction-test quelconque En intégrant par parties avec les conditions aux limites Approximation des variables et des dérivées au sens éléments finis Calcul des fonctions d’approximations Discrétisation de la forme intégrale et calcul des matrices et vecteurs Résoudre le système (voir TP et TD encadrés sous Matlab) Post-traiter : Tracer la solution Calculer les variables dérivées : flux (thermique), contrainte (méca) … Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC