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NF04 - Automne - UTC1 Version 09/2006 (E.L.) Cours 3-a Méthode des éléments finis 1D Notion daffaiblissement : formes forte et faible Approximation par.

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1 NF04 - Automne - UTC1 Version 09/2006 (E.L.) Cours 3-a Méthode des éléments finis 1D Notion daffaiblissement : formes forte et faible Approximation par éléments finis Traitement des conditions aux limites Résolution

2 NF04 - Automne - UTC2 Version 09/2006 (E.L.) Étude comparative : différences finies et éléments finis Différences finies (rappels) Équation déquilibre + C. aux L. Obtention de léquation discrète Formules « toutes faites » Idem pour les C. aux L. Construction du système Générer le maillage du domaine Nœuds équidistants Résolution du système Post-traitement Éléments finis = Forme FORTE Obtention forme faible intégrale Maillage Nœuds Éléments (connectivité) Discrétisation de la forme intégrale sur chaque élément (matrice et vecteur élémentaires) = Assemblage

3 NF04 - Automne - UTC3 Version 09/2006 (E.L.) Formes forte et faible Particularité de la méthode des éléments finis (MEF) : Discrétiser, non pas la relation déquilibre, mais une forme « affaiblie » de cette équation. affaiblir pour réduire certaines contraintes mathématiques (discontinuités …) empêchant l'utilisation d'outils classiques pour sa résolution. Motivation : Vocabulaire : cette forme est appelée sous des noms divers: Forme faible Forme intégrale Forme variationnelle … la solution dune forme faible correspond à une solution approchée ou « faible » en termes de continuité. Conséquence :

4 NF04 - Automne - UTC4 Version 09/2006 (E.L.) Illustration du principe daffaiblissement Solution « forte » : traits pleins noirs Solution « faible » : traits pointillés rouges Discontinuité sur la dérivée exacte Continuité sur la dérivée « affaiblie » Avec affaiblissement : dérivées ordre 1 et 2 sont désormais continues et donc discrétisables et intégrables ! Continuité sur la forme « affaiblie » Continuité sur la forme « affaiblie »

5 NF04 - Automne - UTC5 Version 09/2006 (E.L.) Technique daffaiblissement par la Méthode des résidus pondérés Reprenons lexemple de thermique 1D régi par : Définition : nous appelons résidu (noté Res), lexpression mathématique de la forme forte du problème étudié. Soit, dans notre cas : Ce résidu sannule quand T(x) est solution.

6 NF04 - Automne - UTC6 Version 09/2006 (E.L.) Méthode des résidus pondérés 1.Pondération du résidu par une fonction-test 2.Intégration sur le domaine 3.Intégration par parties 4.Introduction des conditions aux limites Méthode générale :

7 NF04 - Automne - UTC7 Version 09/2006 (E.L.) Application : équation de la chaleur en 1D 1. Pondération du résidu par une fonction-test :2. Intégration sur le domaine

8 NF04 - Automne - UTC8 Version 09/2006 (E.L.) 3. Intégration par parties : Avantages : 1.Réduction de lordre maximum des dérivées présentes 2.Introduction « naturelle » des conditions aux limites Rappels : intégrations par parties en 1D

9 NF04 - Automne - UTC9 Version 09/2006 (E.L.) Technique daffaiblissement par la Méthode des résidus pondérés 4. Introduction des conditions aux limites : Traitement de : 1.Introduction du flux inconnu en x=0 : 2.Élimination en choisissant : Deux possibilités :

10 NF04 - Automne - UTC10 Version 09/2006 (E.L.) Discrétisation par éléments finis Lintégration requiert une approximation des variables : et de leurs dérivées : Maillage avec un seul élément fini à deux noeuds : Forme faible (ou intégrale) :

11 NF04 - Automne - UTC11 Version 09/2006 (E.L.) Approximation par éléments finis (Galerkin) Définition : une approximation au sens des éléments finis dune variable T(x) sur un élément à deux nœuds, sécrit : Vocabulaire : sont appelées fonctions dapproximation ou fonctions de forme (fonctions polynomiales) Propriétés : les fonctions de formes vérifient la relation générale : Application : pour un élément fini à deux noeuds Utile pour les calculer

12 NF04 - Automne - UTC12 Version 09/2006 (E.L.) Calcul des fonctions N i : élément à deux noeuds 1. Choisir lordre dapproximation : deux nœuds ordre 1 2. Construction des deux systèmes déquations 3. Résolution :

13 NF04 - Automne - UTC13 Version 09/2006 (E.L.) Approximation de la fonction-test Plusieurs formulations sont possibles : 1. Collocation par points ou par sous domaines 2. Moindres carrés 3. Galerkin Hors programme NF04 Méthode des éléments finis La fonction-test est approximée avec les mêmes Ni que T(x)

14 NF04 - Automne - UTC14 Version 09/2006 (E.L.) Discrétisation de la forme intégrale Réécriture des approximations sous la forme : La fonction-test est approximée de la même manière : Les dérivées se calculent selon : Vecteur ligne Vecteur colonne Vocabulaire : si la variable inconnue et la fonction-test utilisent les mêmes fonctions Ni, lapproximation est alors dite de type GALERKIN.

15 NF04 - Automne - UTC15 Version 09/2006 (E.L.) Discrétisation de la forme intégrale Rappel : Introduction des approximations dans la forme intégrale : soit

16 NF04 - Automne - UTC16 Version 09/2006 (E.L.) Obtention du système Soit : Pour le terme des conditions aux limites : En regroupant les deux expressions :

17 NF04 - Automne - UTC17 Version 09/2006 (E.L.) Doù : avec : Prise en compte de la condition à la limite : T(x=0)=T 1 =30 Obtention du système Vocabulaire : [K] = matrice de « rigidité » {F} = vecteur des sollicitations externes {R} = vecteur des réactions (ou flux) externes inconnus {R} disparaît avec cette méthode !

18 NF04 - Automne - UTC18 Version 09/2006 (E.L.) Affichage et post-traitement de la solution Résolution : outil informatique Matlab (séances TP de NF04) Post-traitement : Affichage de la température Calcul des réactions ou flux externes (ie inconnus) Calcul du flux à lintérieur du domaine Premier élément de validation : Respect ou non des conditions aux limites ?

19 NF04 - Automne - UTC19 Version 09/2006 (E.L.) Pour résumer … Mailler le domaine Obtention de la forme faible : En pondérant par une fonction-test quelconque En intégrant par parties avec les conditions aux limites Approximation des variables et des dérivées au sens éléments finis Calcul des fonctions dapproximations Discrétisation de la forme intégrale et calcul des matrices et vecteurs Résoudre le système (voir TP et TD encadrés sous Matlab) Post-traiter : Tracer la solution Calculer les variables dérivées : flux (thermique), contrainte (méca) …


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