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NF04 - Automne - UTC1 Version 09/2006 (E.L.) Cours 2 Méthode des différences finies Approche stationnaire Technique de discrétisation en 1D Construction.

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1 NF04 - Automne - UTC1 Version 09/2006 (E.L.) Cours 2 Méthode des différences finies Approche stationnaire Technique de discrétisation en 1D Construction du système Prise en compte des conditions aux limites Notion de convergence Extension au 2D

2 NF04 - Automne - UTC2 Version 09/2006 (E.L.) Méthode des différences finies Méthode : écrire sous forme discrète (i-1, i, i+1 …) tous les termes de dérivées présents dans léquation déquilibre appliquée en i ainsi que dans les C.L. Objectif : transformer une équation « continue » valable sur un domaine continu en un système à N équations pour N inconnues associées à un domaine discret appelé maillage

3 NF04 - Automne - UTC3 Version 09/2006 (E.L.) Différences finies 1D : méthode générale Reprenons lexemple de thermique 1D régi par : 1. On discrétise le domaine en « N » nœuds (maillage) : 2. On applique alors cette équation au nœud « i » : A ce stade, il nous faut donc discrétiser le terme de dérivée seconde ! A domaine discret, équation « discrète » !

4 NF04 - Automne - UTC4 Version 09/2006 (E.L.) Discrétisation des termes de dérivées Utilisation des développements limités : On combine ces deux équations. Par exemple, la somme de (1) et de (2) : permet disoler : notation indicielle représentatif de lordre de tous les termes tronqués

5 NF04 - Automne - UTC5 Version 09/2006 (E.L.) Principales formes discrètes à connaître En combinant de différentes manières, on obtient ainsi les approximations discrètes suivantes : Termes tronqués Type Précision du schéma Nouvelle notation : T(i+1)=T i+1

6 NF04 - Automne - UTC6 Version 09/2006 (E.L.) Interprétation graphique Discrétisation centrée : relation dans laquelle les contributions des valeurs nodales de part et d'autre du point considéré (noeud i) sont équivalentes. Discrétisation décentrée : relation dans laquelle les contributions des valeurs nodales de part et d'autre du point considéré (noeud i) ne sont pas équivalentes.

7 NF04 - Automne - UTC7 Version 09/2006 (E.L.) Construction globale du système La relation discrète finalement obtenue sécrit : Elle est applicable seulement aux nœuds i=2, …, N-1 : ou encore : Écriture sous forme matricielle

8 NF04 - Automne - UTC8 Version 09/2006 (E.L.) Condition à la limite de type DIRICHLET Méthode : on ajoute : 1.un terme unité « 1 » sur la diagonale du nœud concerné 2.la valeur connue dans le 2 nd membre On a la condition suivante :

9 NF04 - Automne - UTC9 Version 09/2006 (E.L.) Avec noeud fictif : plus long mais précis ! Méthode : on discrétise le terme de dérivée présent dans la condition à la limite (aussi appelée condition de type « flux »). Condition à la limite de type CAUCHY (1/2) On a la condition suivante : avec noeud fictif ! On applique la relation déquilibre discrète en N car le nœud N+1 existe :

10 NF04 - Automne - UTC10 Version 09/2006 (E.L.) Sans noeud fictif : rapide mais perte en précision ! On a recours à une formule décentrée pour la CL : conduisant ainsi à : Condition à la limite de type CAUCHY (2/2) sans noeud fictif ! + : rapide à mettre en oeuvre - : on diminue la précision globale du schéma (précis ordre 1)

11 NF04 - Automne - UTC11 Version 09/2006 (E.L.) Système final à résoudre Rem : ce système est basé sur le traitement de la CL avec nœud fictif

12 NF04 - Automne - UTC12 Version 09/2006 (E.L.) Affichage et post-traitement de la solution Pour des systèmes de tailles supérieures à 3-4, on a généralement recours à des outils informatiques dédiés à la résolution et laffichage. Apprentissage de loutil Matlab lors des séances TP de NF04

13 NF04 - Automne - UTC13 Version 09/2006 (E.L.) Pour résumer … Mailler le domaine Discrétiser léquation déquilibre et les conditions aux limites : En remplaçant toutes les dérivées par leur forme discrète Construire le système global En appliquant les équations discrètes sur les nœuds concernés Résoudre le système (voir TP et TD encadrés sous Matlab) Post-traiter : Tracer la solution Calculer les variables dérivées : flux (thermique), contrainte (méca) …

14 NF04 - Automne - UTC14 Version 09/2006 (E.L.) Fiabilité du modèle : notion de convergence Erreur introduite en négligeant les termes des développements limités à partir dun certain ordre Modèle mathématique (continu) Modèle numérique (algébrique) Question : comment sassurer que léquation discrète est représentative, en termes de phénomènes physiques, de léquation de départ ? Méca. Flu., thermique : transport, diffusion … MMC : traction, flexion, dynamique … Idée : le comportement du modèle numérique doit converger vers le comportement du modèle mathématique (censé être proche du réel …).

15 NF04 - Automne - UTC15 Version 09/2006 (E.L.) Notion de convergence Méthode : sassurer de la propriété de CONVERGENCE de léquation discrète. Convergence = consistance + stabilité Théorème de LAX : Comportement numérique proche du « réel » Absence doscillations parasites

16 NF04 - Automne - UTC16 Version 09/2006 (E.L.) Notion de consistance Définition : on appelle erreur de troncature lensemble des termes négligés dans les développements limités lors de lobtention dune équation (ou schéma) discrète Définition : un schéma est dit consistant si son erreur de troncature tend vers 0 lorsque le pas x tend vers 0 Il est en effet possible décrire : Équation continue = Équation discrète +

17 NF04 - Automne - UTC17 Version 09/2006 (E.L.) Exemple de calcul de lerreur de troncature Considérons les développements limités suivants : que lon injecte dans léquation discrète. Conclusion : le schéma est bien consistant avec léquation de départ Remarque : la solution par différences finies sera mathématiquement exacte dans ce cas précis. La solution math. est quadratique doù = 0 ! Ce qui conduit à : soit :

18 NF04 - Automne - UTC18 Version 09/2006 (E.L.) Effets « visibles » de lerreur de troncature Le schéma est dit DISPERSIF si des dérivées impaires apparaissent. Effets néfastes pouvant entraîner linstabilité des résultats Le schéma est dit DIFFUSIF si des dérivées paires apparaissent. Effets bénéfiques mais pouvant diminuer la précision des résultats Le comportement graphique de la solution est un indicateur des effets de lerreur de troncature

19 NF04 - Automne - UTC19 Version 09/2006 (E.L.) « Notion » sur la stabilité dun schéma Définition : la stabilité est la propriété de contrôler toute perturbation (numérique dans notre cas) introduite de manière accidentelle. Concrètement, apparition doscillations parasites (changement du signe de la pente dun nœud à lautre). (Létude de la stabilité sera développée ultérieurement.) Un schéma est dit STABLE si la perturbation diminue ou mieux, disparaît. Un schéma est dit INSTABLE si la perturbation augmente.

20 NF04 - Automne - UTC20 Version 09/2006 (E.L.) Extension à 2 dimensions (2D) Thermique : exemple dune plaque rectangulaire soumises à différentes conditions aux limites. Rem : est le flux normal à la paroi (normale vers lextérieur) Définition du contour du domaine et génération dun maillage quadrillé :

21 NF04 - Automne - UTC21 Version 09/2006 (E.L.) Différences finies 2D : Léquation de la chaleur 2D est la suivante : La loi de comportement est : Insertion de éq.(2) dans éq.(1) :

22 NF04 - Automne - UTC22 Version 09/2006 (E.L.) Construction du système Balayer les lignes les unes après les autres et appliquer léquation discrète si possible Appliquer les conditions aux limites discrètes Résoudre et post-traiter les solutions K F


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