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1 Equation détat dun modèle de transport- diffusion. Applications Gilles Roussel, Eric Ternisien LASL (EA2600) / ULCO Calais.

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1 1 Equation détat dun modèle de transport- diffusion. Applications Gilles Roussel, Eric Ternisien LASL (EA2600) / ULCO Calais

2 2 Plan I Contexte II Sans Modèle / Avec Modèle ? III Modélisation IV Discrétisation, codage détat V Propriétés VIApplications VII Conclusion

3 3 I.Contexte Problématique Inverse pour la surveillance de la pollution Mesures aux capteurs de concentration déterminer : »Le flux à la (aux) source(s) (déconvolution, séparation) »La position de la source (localisation) »les paramètres du modèle (identification) Domaines applicatifs Surveillance de la pollution atmosphérique Développer une aide au diagnostic des pics démission canalisée d'origine industrielle en identifiant la cause (flux, position) Surveillance de la pollution fluviale ou phréatique Localiser les sources de pollution liée à des rejets ou fuites Localisation des essais nucléaires (Traité du CTBTO) Détection des explosions 1Ktonne eqTNT à partir des données de concentration en xénon Localiser les sources de pollution liée à des rejets ou fuites

4 4 II. Sans modèle / avec modèle ? Méthodes sans modèle source - capteurs : –Interpolation spatiale à partir des concentrations observées nb capteurs ? sensibilité aux paramètres ? portabilité du comportement à dautres sites ?. –Prédiction temporelles à partir des séries déconvolution ? localisation ? sensibilité au paramètres ? Conclusion : combinaison espace - temps difficile Méthodes avec modèle source - capteurs : –Modèle de comportement choix ? prise en compte des paramètres physiques ? portabilité ? localisation? –Modèle de connaissances

5 5 Modèle de connaissances : –phénomènes physiques caractéristiques –précision évolutive –prend en compte les variables pertinentes –modélisation espace-temps explicite Souhaits pour le modèle directe –simplicité, fidélité : choix ? –faire apparaitre explicitement la (les) source(s) et les variables observables –garder la dimension spatiale et temporelle (mesures spatialement réparties, cas multisources) –possibilité de se placer dans un cadre discret (mesures échantillonnées) II. Avec modèle /sans modèle ?

6 6 Pourquoi le modèle de transport-diffusion ? –Modèle (historique) de dispersion de la pollution dans lair –bonne approximation de la propagation horizontale –hypothèses sur la dispersion turbulentes verticales –Modèle directe dynamique –solution en statique classique : équation panache Le modèle de transport-diffusion (2D) –il satisfait en tout point la conservation de la masse : III. Modélisation advection diffusion (x,y,t) : concentration au point (x,y) à l instant t : vent : diffusion

7 7 Hypothèses –Domaine atmosphérique non borné –Réduction à un domaine de calcul (de surveillance) borné de contour artificiel –conditions aux limites III. Modélisation Vue de dessus Atmosphère Ex. conditions de Dirichlet Ex. conditions de Neuman : continuité aux limites artificielles Vent Source Vent Terre

8 8 Conditions aux limites (locales) –Limites artificielles non réfléchissantes continuité (Pearson) – x, y célérité équivalente –Limites physiques réfléchissantes exemples =0 sur –à une source : au point (x s,y s ) Conditions initiales : pollution de fond Modèle elliptique linéaire III. Modélisation Sur

9 9 IV. Discrétisation On discrétise les signaux S(x s,y s,t) et (x,y,t) avec le même pas d'échantillonnage temporel T On discrétise l'espace avec les pas d'échantillonnage directionnels h et k Les méthodes de discrétisation: –différences finies, – élements finis

10 10 IV. Discrétisation Dérivation par les différences finies en un point i: –dérivée première temporelle : –dérivée première spatiale centrée espace, schéma de Lax : effet de lissage décentré en espace (upwind): –calcul effectué que pour les points "au vent –tenir compte du sens du vent –Cette méthode ajoute un terme de viscosité négligeable si le nombre de Reynolds de maille R h : XO i-1 n i n i+1 n

11 11 –Dérivée spatiale seconde explicite : i n+1 =f 1 ( i n, v n ), v potentiel au voisinage de i –Markovien, implicite : i n+1 =f 2 ( i n, i n+1, v n+1 ) –schéma stabilisant, –résolution numérique supplémentaire à chaque n –non Markovien Crank-Nicolson : i n+1 = f 1 (.) + (1- )f 2 (.) –idem implicite IV. Discrétisation

12 12 Equation d'advection - diffusion (cas 2D, K=cste) conditions limites –aux frontières artificielles (condition de continuité) –aux sources –obstacle (sans turbulence) Paramètres (pour Ux, Uy positifs) Précision e=O(T)+O(h 2 )+O(k 2 )+ O(h)+O(k) IV. Discrétisation

13 13 IV. Discrétisation i=1 Contour artificiel non réfléchissant Obstacle source i,j * * * * i,j+1 i,j-1 i-1,ji+1,j J=L i= l c1 c2 c3 capteurs Schéma numérique –en

14 14 IV. Discrétisation Modèle détat vecteur détat Equation détat Les bruits –W n : bruit détat modélise lincertitude sur létat (turbulence non prise en compte par le modèle, topographie) moyenne parfois non nulle, trace(E(W n.W n T )) faible indépendant de S n et V n –V n : bruit de mesure moyenne souvent nulle trace(E(V n.V nT )) faible A caractérise lévolution libre du système de dispersion B modélise limplantation des sources dim(B)= lL*n s C modélise l implantation des capteurs dim(C)= n c *lL

15 15 Stabilité du schéma numérique –condition nécessaire de convergence de la solution i,j n. –peut sétudier à partir des valeurs propres de la matrice A –rayon spectral (A)=max| k | 1 k Ll+1 –on peut montrer (Gershgörin-Hadamard) –comme (A matrice de Markov) –alors –finalement, on peut montrer d'où la condition sur la période déchantillonnage T pour un pas spatial (h,k) donné IV. Discrétisation

16 16 Simulations sans advection avec advection

17 17 Observabilité –Observabilité stricte, cest la possibilité de résoudre : –O doit être de rang = l.L = dimension de –un nombre de mesures égale à : cas monocapteur : dim(Y) l.L cas n c capteurs : dim(Y) (l.L/nc) –si (rang(O)=r )< l.L seulement (l.L-r) noeuds ne peuvent être estimés. –Observabilité théorique: –Le rang est meilleur dans le cas multicapteurs –numériquement : –le rang renseigne sur la qualité de restauration de V. Propriétés

18 18 Evolution de rang(O) pour 1 capteur, seuil de rang :1e-25 Evolution de rang(O) pour 2 capteurs, dont1 fixe en (8,8), seuil de rang :1e-25 Conclusion : –plus le capteur est éloigné de la source dans la direction du vent, meilleur est l'observabilité –plus il y a de capteurs, meilleur est l'observabilité

19 19 Commandabilité (Excitabilité des nœuds) –Existe t-il une commande vérifiant : La réponse est oui si rang(C) = l.L, sinon il y a (rang(C)-l.L) nœuds non excités. –On peut montrer: –De façon logique, le rang(C) augmente avec le nombre de source. –Un état X(k f ) peut être atteint en n coups (n

20 20 Commandabilité (suite) –En pratique, le rang(C) dépend du seuil de sélection des valeurs propres considérées non nulles. –Pour un seuil d'excitabilité donné, le rang indique le nombre de nœuds excitables. Evolution de rang(C) en fonction de la position de S, à seuil fixé Conclusion : Pour une direction de vent donnée, plus la source est au vent, plus il y a d'état excités. V. Propriétés

21 21 Identifiabilité –C.N. : Commandabilité et Observabilité on augmente la probabilité d'identifier le modèle si : le capteur est placé sous le vent, le plus loin de la source le nombre de capteurs augmente Ouf !!! V. Propriétés

22 22 Principe Majeur : –Considérer la relation source-capteur comme un filtre de convolution VI Applications H 1 (z) H 2 (z) Source S(n) v 1 (n) v 2 (n) Y 1 (n) Y 2 (n) Position Bruit capteur mesures H i (z)=C(zI-A) -1 B = f [position(S), position(capteurs i ), K, U] i

23 23 Différentes formes du modèle : –forme d'état A( 1 ), B ( 2 ), C –réponses impulsionnelles –matrice de Hankel –matrice de filtrage Différents problèmes inverses : –Estimation des paramètres physiques 1 –Localisation de source(s) : estimation de 2 (i.e. B) –Déconvolution / séparation de sources : estimation de S n –Prédiction temporelle Informations : –Mesures capteurs, estimation de bruit, entrées –Mesures capteurs, estimation de bruit, info a priori VI Applications M = ordre RIF 1 = paramètres physiques 2 = paramètre de localisation

24 24 Exemple : Estimation des réponses impulsionnelles par méthode spectrale paramétrique (séparation des sous-espaces source et bruit) VI Applications

25 25 Modélisation d'un phénomène de transport- diffusion par une représentation d'état. réutilisabilité de la méthodologie ? Point de départ pour bon nombre de problèmes d'estimation Aspects applicatifs : surveillance de points sources VII Conclusion


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