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Calcul Scientifique pour les Sciences de lIngénieur Bruno Koobus Franck Nicoud.

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1 Calcul Scientifique pour les Sciences de lIngénieur Bruno Koobus Franck Nicoud

2 Organisation du module Date Horaire IntervenantLieuSéance 12/03/09 9h-12h F. NicoudBat. 16 TD 02 Cours 1 19/03/09 9h-12h F. NicoudBat. 18 TD 02 Cours 2 23/03/09 9h-12h F. NicoudBat. 9 TD 33 Cours 3 25/03/09 8h-11h B. KoobusBat. 9 TD 32 Cours 4 30/03/09 8h-11h B. KoobusBat. 9 TD 33 Cours 5 02/04/09 15h-18h B. KoobusBat. 6 A préciser Cours 6

3 MD "Calcul Scientifique"3 Trois familles de méthodes Éléments finis (B. Koobus) Volume finis (non abordés dans ce module) Méthodes aux différences finies (F. Nicoud)

4 MD "Calcul Scientifique"4 Eléments finis en quelques mots A chaque instant, on cherche la solution de lEDP sous la forme Les fonctions forment une base de lespace de dimension N dans lequel on cherche à approximer la vraie solution f par f h. Les coefficients f i sont déterminés en imposant à f h dêtre la meilleure approximation de f dans lespace de dimension N choisi.

5 MD "Calcul Scientifique"5 Éléments finis en quelques mots Un choix classique est de prendre linéaire par morceaux et égale à 1 au nœud i du maillage, nulle partout ailleurs Linéaire 1 0 Nulle

6 MD "Calcul Scientifique"6 Éléments finis en quelques mots On cherche à résoudre E(f)=0 Avec lapproximation on commet une erreur E(f h ) La méthode de Galerkin consiste à dire que cette erreur et orthogonale aux fonctions de forme N équations, N inconnues …

7 MD "Calcul Scientifique"7 Volumes finis en quelques mots Bien adaptés à des problèmes conservatifs du type On intègre léquation sur chaque cellule du maillage et on utilise le théorème de la divergence Les inconnues sont les valeurs moyennes de f sur chaque cellules à linstant n+1, soit

8 MD "Calcul Scientifique"8 Volumes finis en quelques mots Les flux sur les faces de sont calculés à partir des valeur de f dans les cellules voisines

9 MD "Calcul Scientifique"9 Différences finies Contrairement aux éléments et volumes finis, cette technique nest pas adaptée aux maillages non cartésiens Mais elle est très intuitive En 1D, les trois méthodes sont équivalentes Permet dappréhender beaucoup de concepts ou problèmes numériques communs aux différentes méthodes

10 MD "Calcul Scientifique"10 Différences finies Lidée est de remplacer les dérivées partielles aux points de maillage par des développement de Taylor Plutôt que de chercher f(x), on cherche les valeurs de f aux nœuds du maillage, soit f i =f(x i )

11 MD "Calcul Scientifique"11 DERIVEES PREMIERES

12 MD "Calcul Scientifique"12 Dérivées premières Développement de Taylor au nœud i: Ces développements font apparaître les dérivées de f au nœud i uniquement

13 MD "Calcul Scientifique"13 Si les nœuds sont régulièrement espacés Dérivées premières

14 MD "Calcul Scientifique"14 Si les nœuds sont régulièrement espacés, la dérivée de f au nœud i est approximée par Erreur dapproximation est Schéma centré dordre 2 Dérivées premières

15 MD "Calcul Scientifique"15 On peut manipuler les développements limités pour obtenir dautres approximations de la dérivée première Dérivées premières

16 MD "Calcul Scientifique"16 Maillage non uniforme Développement de Taylor au nœud i:

17 MD "Calcul Scientifique"17 Maillage non uniforme Développement de Taylor au nœud i:

18 MD "Calcul Scientifique"18 Maillage régulier En conservant plus de termes dans les développements on obtient les schémas à lordre 4 et 6 suivants Ordres plus élevés

19 MD "Calcul Scientifique"19 ordre 1 aval ordre 1 amont ordre 2 aval ordre 2 amont Formules décentrées

20 MD "Calcul Scientifique"20 Problème modèle 1D: Eq. de convection Conditions limites et initiale: Comparaison des schémas

21 MD "Calcul Scientifique"21 Exemple de résolution analytique Equation de convection diffusion 1D dans un domaine infini

22 MD "Calcul Scientifique"22 Exemple de résolution analytique Si la concentration est initialement de la forme on peut obtenir la solution analytique …

23 MD "Calcul Scientifique"23 Exemple de résolution analytique Effet de la diffusion

24 MD "Calcul Scientifique"24 Équation semi-discrète On calcule les f i entre t=0 et t=5 s à partir des deux schémas Test numérique amont ordre 1 centré ordre 2

25 MD "Calcul Scientifique"25 Test numérique amont ordre 1 centré ordre noeuds200 noeuds100 noeuds

26 MD "Calcul Scientifique"26 Ordre 2 centré / Ordre 1 amont Ordre 1 introduit de la diffusion … (cf solution analytique avec Re=2) Ordre 2 centré « exact » avec 400 points Ordre 2 centré déforme le signal si le nombre de points est plus petit Ordre 2 meilleur que ordre 1

27 MD "Calcul Scientifique"27 Test numérique aval ordre 1 centré ordre noeuds200 noeuds100 noeuds

28 MD "Calcul Scientifique"28 Ordre 2 centré / Ordre 1 aval Ordre 1 aval ne permet pas dobtenir de solution « acceptable » à t=5 Lamplitude obtenue est très grande Le signal nest pas la forme dune Gaussienne

29 MD "Calcul Scientifique"29 Test numérique centré ordre 4 centré ordre noeuds200 noeuds100 noeuds

30 MD "Calcul Scientifique"30 Ordre 2 centré / Ordre 4 centré Ordre 4 « exact » dans tous les cas considérés ici Ordre 2 centré « exact » avec 400 points Ordre 4 meilleur que ordre 2

31 MD "Calcul Scientifique"31 Test numérique amont ordre 2 centré ordre noeuds200 noeuds100 noeuds

32 MD "Calcul Scientifique"32 Ordre 2 centré / Ordre 2 amont Ordre 2 centré et amont « exacts » avec 400 points Ordre 2 centré et amont déforment le signal si le nombre de points est plus petit, mais pas de la même manière Ordre 2 amont amortit plus le signal Lordre ne dit pas tout sur un schéma …

33 MD "Calcul Scientifique"33 Consistance/convergence/stabilité Tous les schémas testés sont consistants (ordre strictement supérieur à 0) Presque tous sont stables (solution bornée), à part le schéma aval dordre 1 Le théorème déquivalence de Lax permet alors dassurer que mis à part le schéma aval dordre 1, tous les schémas testés sont convergents

34 MD "Calcul Scientifique"34 ANALYSE SPECTRALE

35 MD "Calcul Scientifique"35 Analyse spectrale Cas dune fonction harmonique Schéma centré dordre 2 Lerreur commise est

36 MD "Calcul Scientifique"36 Signification de k x Sinusoïde de période L décrite avec N points x = L / N, k = 2 /L donc k x = 2 / N (exact)

37 MD "Calcul Scientifique"37 Analyse spectrale Tout se passe comme si on résolvait léquation Les différentes longueurs donde ne se déplacent pas à la même vitesse centré ordre 2 exact

38 MD "Calcul Scientifique"38 Analyse spectrale Équation effective SCHEMA Centré ordre 2 Amont ordre 1 Amont ordre 2 Centré ordre 4

39 MD "Calcul Scientifique"39 Analyse spectrale

40 MD "Calcul Scientifique"40 Lien avec lordre du schéma Dans la limite k x 0, la vitesse de propagation tend vers U 0 La vitesse avec laquelle lerreur tend vers zéro dépend de lordre du schéma Au voisinage de 0, Re(E(k x)) = 1+O((k x) n ), avec n lordre du schéma Au voisinage de 0, Im(E(k x)) = O((k x) n ), avec n lordre du schéma Les schémas centrés sont non dissipatifs: Im(E(k x)) = 0 Les schémas stables sont tels que: Im(E(k x)) 0

41 MD "Calcul Scientifique"41 Dispersion La vitesse de propagation effective nest égale à la vitesse théorique que dans la limite k x 0 Une perturbation peut donc être propagée trop lentement ou trop vite Les fonctions et ne sont pas propagées à la même vitesse en général Que se passe-t-il lorsque lon convecte ?

42 MD "Calcul Scientifique"42 Déformation du signal On peut décomposer cette fonction comme une somme de fonctions harmoniques (en rendant f périodique éventuellement) La solution théorique après t s de simulation est Numériquement le mode devient La solution numérique est donc

43 MD "Calcul Scientifique"43 DERIVEES SECONDES

44 MD "Calcul Scientifique"44 Maillage régulier On utilise le fait que En appliquant lopérateur à Dérivées secondes

45 MD "Calcul Scientifique"45 Si les nœuds sont régulièrement espacés Problème de localité La dérivée seconde approximée de cette fonction est nulle !!

46 MD "Calcul Scientifique"46 Déduire la dérivée seconde des développements de Taylor Dérivées secondes

47 MD "Calcul Scientifique"47 Si les nœuds sont régulièrement espacés Problème de localité La dérivée seconde approximée de cette fonction est non nulle, mais pas infinie …

48 MD "Calcul Scientifique"48 Analyse spectrale Cas dune fonction harmonique Schéma centré dordre 2 à 2 Lerreur commise est

49 MD "Calcul Scientifique"49 Analyse spectrale Schéma centré dordre 2 à 4 Lerreur commise est

50 MD "Calcul Scientifique"50 Analyse spectrale Les erreurs sont réelles uniquement, donc pas de convection numérique

51 MD "Calcul Scientifique"51 Si les nœuds sont régulièrement espacés Utile pour les coefficients de diffusivité variables Interprétation volumes finis

52 MD "Calcul Scientifique"52 Retour sur le schéma amont ordre 1 Rappel: ce schéma introduit beaucoup de dissipation par comparaison avec le centré dordre 2 En effet: Utiliser ce schéma revient donc à résoudre avec un schéma centré dordre 2

53 MD "Calcul Scientifique"53 Laplacien

54 December, 2007VKI Lecture54 Another consequence of dispersion In practical computations, the solution may be polluted by high frequency numerical perturbations In practice, the numerical perturbations are not single harmonics Consider a simple wave packet : x 2 /K 2 /k

55 December, 2007VKI Lecture55 Group velocity Solve the 1D convection equation numerically, viz. With k<

56 December, 2007VKI Lecture56 Group velocity SCHEME 2 nd order centered 4th order centered Wiggles can propagate upstream ! The more accurate the scheme, the largest the group velocity, the smallest the dissipation of artificial waves … 2nd 4th

57 December, 2007VKI Lecture57 Numerical test t=2 t=4 Smooth wave Wave packet x xxx 2 nd order 4 th order

58 December, 2007VKI Lecture58 Numerical test 1D convection equation (D=0) Initial and boundary conditions: Zero order extrapolation

59 December, 2007VKI Lecture59 Numerical test t=3 t=6 t=9 t=12 t=15 t=18 t=21 t=24 t=27

60 MD "Calcul Scientifique"60 INTEGRATION TEMPORELLE

61 MD "Calcul Scientifique"61 Schéma en temps La solution est évaluée en une succession de temps discrets Le pas de temps t est le plus souvent constant Itération n: passer de t n à t n+1

62 MD "Calcul Scientifique"62 Différences finies Même démarche que pour les dérivées en espace: développements de Taylor en temps Euler explicite: Euler implicite:

63 MD "Calcul Scientifique"63 Equation semi-discrète Problème aux valeurs initiales: Algorithme exact Comment estimer lintégrale de K ?

64 MD "Calcul Scientifique"64 Intégrations classiques en temps Crank-Nicolson: Adams-Bashforth Runge-Kutta dordre p

65 MD "Calcul Scientifique"65 Intégration en temps Méthode à un pas: Méthode dordre p si:

66 MD "Calcul Scientifique"66 Augmentation de lordre Il suffit de prendre un développement de Taylor plus grand … Et de définir comme

67 MD "Calcul Scientifique"67 Passage pratique à lordre 2 Plutôt que destimer des dérivées dordre élevées, il est préférable de mieux choisir les endroits où on évalue K On part de Par identification jusquà lordre 1 inclus

68 MD "Calcul Scientifique"68 Runge-Kutta dordre 2 Schéma à deux « étapes » (A 1 =0, A 2 =1):

69 MD "Calcul Scientifique"69 Passage pratique à lordre p On part de Par identification on obtient les coefficients qui permettent dobtenir lordre p

70 MD "Calcul Scientifique"70 Passage pratique à lordre p Nombre de coefficients à fixer: Système non-linéaire sous déterminé

71 MD "Calcul Scientifique"71 Runge-Kutta ordre 4 Problème aux valeurs initiales:

72 MD "Calcul Scientifique"72 ANALYSE SPECTRALE

73 MD "Calcul Scientifique"73 Facteur damplification Forme de la solution Comment lamplitude dune perturbation de nombre donde k évolue-t-elle en temps ?

74 MD "Calcul Scientifique"74 Stabilité Von Neumann On sintéresse désormais à léquation complètement discrétisée, y compris pour le terme temporel signal amorti exact instabilité

75 MD "Calcul Scientifique"75 Exemple 1 Convection pure: Schéma centré ordre 2 en espace Euler explicite en temps

76 MD "Calcul Scientifique"76 Exemple 1 - suite Pour une perturbation du type Ce schéma est (inconditionnellement) instable

77 MD "Calcul Scientifique"77 Exemple 2 Décentré amont dordre 1 en espace Euler explicite en temps Ce schéma est (conditionnellement) stable

78 MD "Calcul Scientifique"78 Exemple 3 Centré ordre 2 en espace Runge-Kutta dordre 2 en temps Ce schéma est inconditionnellement instable

79 MD "Calcul Scientifique"79 Exemple 3 - suite Centré ordre 2 en espace Runge-Kutta dordre 2 en temps Ce schéma est inconditionnellement instable

80 MD "Calcul Scientifique"80 Exemple 4 Centré ordre 2 en espace Runge-Kutta dordre 3 en temps Ce schéma est conditionnellement stable

81 MD "Calcul Scientifique"81 Centré ordre 2 en espace Runge-Kutta dordre 4 en temps Ce schéma est conditionnellement stable Exemple 5

82 MD "Calcul Scientifique"82 Exemple 6 Diffusion pure: Schéma centré ordre 2 en espace Euler explicite en temps

83 MD "Calcul Scientifique"83 Exemple 6 - suite Pour une perturbation du type Ce schéma est conditionnellement stable

84 MD "Calcul Scientifique"84 Zone de stabilité Dans le cas général dune équation linéaire On définit lopérateur associé à K Le schéma induit une équation du type

85 MD "Calcul Scientifique"85 Zone de stabilité On trace la courbe dans le plan complexe RK1RK2 RK3RK4

86 MD "Calcul Scientifique"86 Zone de stabilité Le schéma complet est stable ssi la trajectoire de est contenue dans la zone de stabilité RK1 RK2 RK3 RK4 Convection pure Diffusion pure

87 MD "Calcul Scientifique"87 Effet de lordre RK1 RK2 RK3 RK4 Convection pure ordre 2 Convection pure ordre 4 Convection pure ordre 6

88 December, 2007VKI Lecture88 Stabilizing computations

89 December, 2007VKI Lecture89 Non linear stability Ensuring the linear stability is sometimes not enough, especially when performing LES or DNS of turbulent flows Recall the budget of TKE in isotropic turbulence So in the inviscid limit, in absence of external forcing, the TKE should be conserved Most of the numerical schemes do not meet this property

90 December, 2007VKI Lecture90 A 1D model example Consider the 1D Burgers equation in a L-periodic domain Multiply by u, integrate over space:

91 December, 2007VKI Lecture91 Numerical test Solve the Burgers equation in a 1D periodic domain with random initialization Use a small time step to minimize the error due to time integration (RK4) Plot TKE versus time for different schemes –Upwind biased –Centered, divergence form –Centered, advective form

92 December, 2007VKI Lecture92 Upwind biased Divergence form Advective form div iteration adv upwind Expected behavior Numerical test

93 December, 2007VKI Lecture93 iteration Numerical test Centered, hybrid form: div adv upwind 1/3adv+2/3div Expected behavior obtained by mixing adv and div

94 December, 2007VKI Lecture94 Explanation Divergence formAdvective form For 2 x Divergence form + Advective form, the sum is zero …

95 December, 2007VKI Lecture95 Generalization to Navier-Stokes The same strategy can be applied to Navier-Stokes, The convection term are then discretized under the skew-symmetric form CFL / LxL periodic domain Random initial velocity Error in TKE at time L/Ko 1/2 t 3 behavior Conservative mixed scheme (Divergence form unstable)


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