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Master - Automatique - Chap. VII : 1 Chapitre VII :Commande par retour détat VII-1 Introduction VII-2 Méthode de placement des Pôles VII-3 Régulation et.

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1 Master - Automatique - Chap. VII : 1 Chapitre VII :Commande par retour détat VII-1 Introduction VII-2 Méthode de placement des Pôles VII-3 Régulation et asservissement par retour détat VII-4 Reconstructeur détat

2 Master - Automatique - Chap. VII : 2 VII-1 Introduction La commande par retour d'état consiste à utiliser le vecteur détat en contre réaction pour améliorer le comportement propre du processus. Dans le cas dun commande analogique le schéma général pourra être le suivant : Système quelconque s(t) C(p) e(t) ou consigne L Exemple Prenons le cas dun moteur à courant continu approximé au premier ordre (la constante de temps électrique étant négligée)

3 Master - Automatique - Chap. VII : 3 Si nous effectuons une correction classique avec un correcteur proportionnel par exemple, nous constatons que le correcteur permet de régler la pulsation caractéristique en imposant le facteur damortissement ou vice-versa. - + Examinons maintenant le cas où lon conserve le correcteur proportionnel et lon rajoute une contre réaction tachymétrique : L Dans cette configuration, on saperçoit que la pulsation caractéristique na pas changé et surtout quil est possible à laide des paramètres L et K C de choisir indépendant les caractéristiques du système (facteur damortissement, temps de réponse, …)

4 Master - Automatique - Chap. VII : 4 La loi de commande u(t) peut être une combinaison linéaire des variables détat et de la consigne (ou entrée). Partant dun système dordre n (p entrées et q sorties) : On lui adresse : Principe Équations du système bouclé La matrice L naltère que la matrice dynamique. L permettra donc de régler la dynamique pure du système La matrice V naltère que la matrice de commande. V permettra de changer les entrées mais généralement on prend V=I 1 - Problème dobservabilité : On a besoin du vecteur détat : est-il observable? Sinon, peut-on le reconstruire? IL FAUT DONC SASSURER QUE LE SYSTEME EST OBSERVABLE Remarques : Si lon veut utiliser ce type de commande, on doit répondre à deux questions

5 Master - Automatique - Chap. VII : Problème de commandabilité : Est-il possible de commander le vecteur détat à partir de lentrée? IL FAUT DONC SASSURER QUE LE SYSTEME EST COMMANDABLE VII-2 Méthode de placement des Pôles But : fixer ou déplacer les valeurs propres dun système suivant les caractéristiques voulues. Cas Monovariables Remarque : nous supposerons que les systèmes sont observable et commandable. Système quelconque - + L Le système schématisé ci-contre est décrit par les équations suivantes : la loi de commande est la suivante : La transmittance de la boucle ferméeest :

6 Master - Automatique - Chap. VII : 6 Donc les pôles de F b (p) sont les racines du polynôme : Le système étudié F(p) peut se mettre sous la forme : Si on écrit la première réalisation compagne du système : La nouvelle matrice compagne du système en boucle fermé est :

7 Master - Automatique - Chap. VII : 7 Par conséquent la transmittance en boucle fermé est: Après avoir choisi les pôles de F b (p 1, p 2, …, p n ), il suffira didentifier les deux expressions suivantes pour déterminer les l i : Cas Multivariables : exemple du déplacement dune valeur propre Au départ on a : Le système possède n valeurs propres 1 à n.

8 Master - Automatique - Chap. VII : 8 On se place en représentation diagonale, détat z : M : matrice modale de A La loi de commande sécrit : Le système en boucle fermée est : La matrice b na aucune raison dêtre diagonale. On veut déplacer i en i. Pour résoudre ce problème i devrait apparaître dans b. Ceci est possible si B d LM ne possède quune colonne non nulle à la position i Le déterminant de b reste égale au produit des termes de la diagonale.

9 Master - Automatique - Chap. VII : 9 On veut que B d LM ne possède quune seule colonne non nulle à la position i : Il suffit donc que LM ne possède quune seule colonne non nulle à la position i On sait que : i ème position i ème ligne de I Finalement :

10 Master - Automatique - Chap. VII : 10 Solution du problème : Placer i en i On cherche un vecteur k i tel que : une infinité de solution en k, donc on impose n-1 composantes de k On choisit finalement : Cas particulier mono-variable k est scalaire

11 Master - Automatique - Chap. VII : 11 VII-3 Régulation et asservissement par retour détat Pour un système à q sorties s i, on crée un vecteur consigne ou entrée e de taille q. Dans la loi de commande doit apparaître la quantité e-s. On se place dans une représentation ou les sorties sont les premières variables détats : Principe On utilise la loi de commande : Avec V égale aux q premières colonnes de L Structure de commande Système quelconque A, B, C L

12 Master - Automatique - Chap. VII : 12 Cas monovariable (u et e sont des scalaires) Le retour détat na aucun pouvoir sur les qualités dun système. Solution : On place autant dintégrateur que derreur stationnaires à annuler On obtient finalement un système augmenté dune variable détat. Système quelconque A, B, C L Intégrateur Calcul de L Etat augmenté :

13 Master - Automatique - Chap. VII : 13 On calcule la matrice de dynamique du système augmenté bouclé : La loi de commande sécrit : Finalement on identifie Det(pI-A b ) au dénominateur de son choix.

14 Master - Automatique - Chap. VII : 14 VII-4 Reconstructeur détat Dans les paragraphes précédents la connaissance du vecteur détat x est nécessaire pour le fonctionnement des différentes méthodes, malheureusement il nest pas toujours accessible ou avec une précision suffisante. La solution est de "Reconstruire" le vecteur détat à dun dispositif appelé "Reconstructeur d'état" ou encore "Observateur" L'observation d'un système d'ordre n d'équations est un système linéaire dont les entrées sont u et s, et la sortieest une estimation de x arbitrairement proche de x Si z est l'état de l'observateur : D O peut exister si certaines composantes de s sont des variables d'états. Dans certains cas si les s i sont variables d'états il n'y a que n-q x i à estimer. Observateur d'ordre ou de taille réduite On dit que l'observateur est d'ordre plein si toutes les variables d'état sont à estimer. n = dim(x) = dim(z)

15 Master - Automatique - Chap. VII : 15 Observateur identité : On prend C O = I L'état estimé est celui de l'observateur Observateur identité d'ordre plein (de Luenberger) : Pas d'équation d'observation : L'état estimé peut s'écrire : On a aussi : x, u et sont indépendantes : B O constitue l'organe de réglage de l'observateur

16 Master - Automatique - Chap. VII : 16 u + B s BOBO A + + C - + Simulation du système à observer L'observateur est une simulation du système à observer recevant la même entrée u et dont la sortie est asservie (en commande proportionnelle de gain B O ) à la sortie s du système. L'erreur d'observation : On règle B O de manière a ce queait des valeurs propres : Et de manière à ce que l'observateur soit plus rapide que le système à observer.

17 Master - Automatique - Chap. VII : 17 Exemple cas continu : Soit le système du 2 nd ordre : Simulation du système à observer : u - 1/2 s /4 + +

18 Master - Automatique - Chap. VII : 18 Réglage de l'observateur, détermination de et : On veut que cet observateur soit 10 fois plus rapide que le système à observer. Détermination des temps caractéristiques du système à observer: Système apériodique de constante de temps 2 sec et 4 sec. On peut choisir par exemple pour l'observateur, qui est un 2 nd ordre, 1 pôle double associé à une constante de temps de 0.2 sec. Observateur désiré

19 Master - Automatique - Chap. VII : 19 Réalisation de l'observateur : On calcul sa matrice de transfert : Ceci nous permet de ne sortir ou estimer seulement que la variable + + s u La simulation peut se faire analogiquement ou numériquement


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