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Soit lapplication f de, définie et continue sur un intervalle [a,b]. La dérivée de f au point est définie par D éfinition B. Rossetto, EuroMed Management,

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1 Soit lapplication f de, définie et continue sur un intervalle [a,b]. La dérivée de f au point est définie par D éfinition B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT Conséquences. Géométriquement, la dérivée est le coefficient directeur (la pente) de la tangente à f(x) en. En physique, elle exprime la vari - ation locale (ou instantanée lorsque x désigne le temps) de la fonction f. 1 h tangente sécante Notation :

2 E xemple. B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT 2 h E quation de la tangente. 1.Elle passe par le point 2.Son coefficient angulaire est On trouve tangente

3 E xemple 1. B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT 3 La croissance exponentielle de la population. Soit y(t) la population (en milliers) etle taux de croissance (par milliers et par an). On a léquation différentielle (la relation entre y et sa dérivée): On sépare les variables : Cette croissance est très rapide (lexponentielle croît plus vite que ). Par exemple : La population double tous les Cas où >0 et y(0) = 0. On intègre membre à membre :

4 E xemple 2. B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT 4 Décroissance exponentielle de la population. Si < 0, la population décroît La population a diminuée de moitié lorsque Cas où < 0 La tangente recoupe laxe horizontal pour

5 E xemple 3. B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT 5 Intervention extérieure par apport de population. Pour remédier à cette situation, on apporte milliers dindividus par an Létat stationnaire (encore appelé état permanent) correspond à Cas où 0. soit

6 B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT 6 R ésolution. La solution de léquation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec une entrée extérieure b est Si, la solution sécrit : Cas où a et b > 0 et où y(0) = 0 Preuve : on vérifie quelle obéit à léqua. diff. et quelle vérifie la C.I.

7 B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT 7 R ésolution. Soit léquation différentielle linéaire dordre 2 à coefficients constants sans entrée extérieure (sans second membre) On pose y(t) = e r t. On obtient ainsi léquation caractéristique : 1. Si z > 1, les racines r 1 et r 2 sont réelles. Les solutions sont de la forme : 2. Si z < 1, complexes conjuguées: 3. Si z =1, on a une racine double. La solution est de la forme :

8 B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT 8 M ise sous forme matricielle. Soit léquation différentielle linéaire dordre 2 à coefficients constants sans entrée extérieure (sans second membre) On pose Les valeurs propres de la matrice 2x2 des 4 coefficients [a ij ] sont aussi les racines de léquation caractéristique de léquation différentielle.

9 E xemple 5. B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT 9 Système linéaire prédateur-proie. soit Soit y 1 (t) la population dune proie et y 2 (t) celle dun prédateur. Ce dernier prélève individus par milliers (de prédateurs) et par an. Cette nutrition amène un supplément de a 21 prédateurs par milliers de proies et par an. Les taux de croissance respectifs sont a 11 et a 22. On obtient un système déquations différentielles linéaire homogène du second ordre à coefficients constants, avec a 12 0 dans un système prédateur – proie, que lon sait résoudre mathématiquement :

10 S ystèmes linéaires du second ordre. B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT10 On pose S = a 11 +a 22 et P = a 11 a 22 - a 12 a 21 et on cherche les racines de léquation caractéristique suivante, qui sont aussi les valeurs propres de la matrice 2x2 des 4 coefficients [a ij ] : 2 – S+ P = 0 1.COL. Lorsque P<0, les racines (les valeurs propres) 1 et 1 sont réelles et de signe contraire. Le point singulier (point déquilibre, point de repos), localisé en lorigine, est un col. Un col est toujours instable. 2.NŒUD. Lorsque P>0 et S 2 -4P>0, les racines sont réelles et de même signe. Le point singulier est un nœud, stable si S 0. 3.FOYER. Si P>0 et S 2 -4P 0. 4.CENTRE. Si P>0 et S 2 -4P=0, les racines sont imaginaires pures et de signe contraire. Lamplitude de loscillation est constante. Le point singulier est un centre.

11 S ystèmes linéaires du second ordre. B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT11 1.COL dans le plan des phases. Les valeurs propres sont réelles et de signe contraire. Un col est toujours instable : quelles que soient les C. I. y 1 (0 et y 2 (0) - excepté sur lune des séparatrices du col, ce qui conduit aussi à un parcours très instable - la solution va à linfini.

12 S ystèmes linéaires du second ordre. B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT12 2. NŒUD dans le plan des phases. Les valeurs propres sont réelles et de même signe. Le nœud est - instable si S>0, - stable si S<0 (cas de la figure)

13 S ystèmes linéaires du second ordre. B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT13 3. FOYER dans le plan des phases. Les valeurs propres sont complexes conjuguées. Le foyer est - instable si S>0, - stable si S<0 (cas de la figure)

14 E xemple 6. B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT 14 Equations de Volterra-Lotka. Nous avons vu que le prélèvement est proportionnel à la population des prédateurs y 2, mais il est justifié de considérer quil est aussi proportionnel au nombre de proies y 1. Les taux de croissance respectifs sont inchangés : a 11 et a 22. Ces hypothèses conduisent à un système différentiel non linéaire homogène du second ordre, que lon ne sait pas résoudre mathématiquement: Le tracé du portrait en phase des solutions de léquation de Volterra- Lotka permet une étude qualitative globale des solutions.

15 E xemple 6. B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT 15 Equations de Volterra-Lotka. 1.Points singuliers Ce sont les points d équilibre, définis par :. On trouve : 2. Matrice Jacobienne Léquation aux variations y 1 et y 2 autour dun point y 1 et y 2 est un système linéaire à coefficients constants que lon sait résoudre :

16 E xemple 6. B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT 16 Equations de Volterra-Lotka. 3. Nature des points singuliers Ci-contre : les solutions de léquation de Volterra - Lotka dans le plan des phases pour léquilibre dun système phytoplancton – zooplancton.

17 B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT 17 T héorème. La solution de léquation différentielle linéaire dordre n à coefficients constants avec une entrée extérieure (second membre) est la somme de deux termes : 1.La solution complète de léquation sans second membre (ssm), qui dépend dune constante si n=1 ou de deux constantes si n=2, à déterminer après la 2 ème étape grâce aux conditions initiales (C.I.) 2. Une solution particulière de léquation complète, qui est à re - -chercher sous la forme dune combinaison linéaire de sinus et de cosinus si f(t) est sinusoïdal, dune exponentielle si f(t) est exponentielle ou dun polynôme si f(t) est un polynôme.

18 E xemple 4. B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT 18 Apport de population dépendant du temps. La solution de cette équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants est, pour T=2 et y(0)=0 On tient compte des variations saisonnières de lapport de la population par une fonction sinusoïdale de période T=1an. a=1, b=1 et =1 Lamplitude de la solution asymptotique, cest-à-dire de la partie qui ne décroît pas lorsque le temps croît indéfiniment, est dautant plus faible que a est grand


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