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MIAS 2 - Chap III - page 1 III Phénomène de propagation III.1 Définition On dit quune grandeur f scalaire ou vectorielle fonction des variables despace.

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1 MIAS 2 - Chap III - page 1 III Phénomène de propagation III.1 Définition On dit quune grandeur f scalaire ou vectorielle fonction des variables despace (x, y, z) et du temps (t) se propage si sa valeur en un point de lespace (x 0, y 0, z 0 ) à linstant (t 0 ) se retrouve en un point quelconque (x, y, z) à linstant (t) et en vérifiant : De plus f vérifie léquation dAlembert : Léquation (7) sappelle aussi équation de propagation ou équation donde : f est aussi appelée fonction donde

2 MIAS 2 - Chap III - page 2 Dans léquation donde : c représente la vitesse de propagation de londe f. s(x, y, z, t), appelé second membre, matérialise la source locale génératrice de f. Dans tous les problèmes on se place loin des sources ce qui permet de ramener le problème à une équation homogène [c-à-d s(x, y, z, t) =0 ]. Afin de simplifier notre étude nous nous placerons toujours dans ce cas pour la suite du chapitre. Dans le chapitre précédent, nous avons vu lécriture la plus simple de léquation (7) appelé cas unidimensionnel : On a donc une onde si :

3 MIAS 2 - Chap III - page 3 III.2 Résolution de léquation de propagation En choisissant convenablement x 0 et t 0 : Remarque : dans les problèmes de propagation les éléments physiques (oscillateur, corde,...) ne se déplace pas, ils ne font qu'osciller autour de leur position déquilibre. Léquation de propagation générale (7) est impossible à résoudre de façon analytique. On peut tout de même remarquer que léquation est linéaire par rapport à f. PRINCIPE DE SUPERPOSITION toute combinaison linéaire de solutions est elle même solution de léquation homogène. Remarque : il est très important de bien prendre connaissance de toutes les conditions aux limites(spatiales et temporelles) afin de simplifier au maximum le problème.

4 MIAS 2 - Chap III - page 4 III.2.1 Equation de propagation à une dimension III Coordonnées cartésiennes Léquation dAlembert (7) sans second membre sécrit : On fait le changement de variable suivant : Il faut donc réécrire léquation (8) avec les nouvelles variables u et v :

5 MIAS 2 - Chap III - page 5 Donc léquation (8) devient: La solution pourrait aussi sécrire :

6 MIAS 2 - Chap III - page 6 III Coordonnées sphériques Ce système de coordonnées est très souvent utilisé dans les problèmes physiques, notamment pour décrire lémission dune source ponctuelle dans lespace par exemple. Le Laplacien a une écriture différente dans ce système de coordonnées : Donc en se limitant à une dimension (7) devient : Pour intégrer léquation (9) on fait le changement de variable suivant :

7 MIAS 2 - Chap III - page 7 On se ramène donc à la même équation que précédemment, les solutions sont : III.2.2 Solution générale : solution à variables séparées Dans ce cas on recherche une solution où les variables despace sont découplées du temps, mathématiquement on peut écrire :

8 MIAS 2 - Chap III - page 8 Dans légalité précédente les différents termes sont des fonctions de variables indépendantes. Par conséquent, ils ne peuvent être égaux qua une même constante. Notons cette constante et examinons les différentes possibilités : Les solutions de léquation (10.a) sont connues et sont dépendante de : G 1 et G 2 sont des constantes. On veut décrire des phénomènes physiques donc les solutions ne peuvent pas diverger G 2 =0. G(t) est alors décrite par une fonction évanescente sans grand intérêt. G(t) ne peut pas diverger donc a=0, mais limiter G(t) à une constantes est un trop restrictif. La solution =0 sans grand intérêt.

9 MIAS 2 - Chap III - page 9 Maintenant que laspect temporel a été traité, regardons laspect spatial du problème. Léquation (10.b) vérifiée par F s'écrit donc : Cette solution parait très satisfaisante car une fonction sinusoïdale est bornée donc aucun problème de divergence. De plus on peut remarquer que le cas =0 est aussi décrit par cette solution cela revient à prendre =0. Cette équation ne peut être résolue analytiquement dans le cas général. La solution générale s'écrit :

10 MIAS 2 - Chap III - page 10 III.3 Ondes planes Les ondes planes sont les ondes les plus simples que lon peut rencontrer. Elles sont solutions de léquation donde unidimensionnelle : Daprès le paragraphe précédent, nous savons que les solutions de cette équation sont : On peut remarquer que la fonction F reprend à labscisse x+l et à linstant t+l/c la valeur quelle avait à labscisse x et linstant t. Londe représentée par F se propage dans le sens des x croissants à la vitesse c. Le même raisonnement conduirait à montrer que londe représentée par la fonction G se propage dans le sens des x décroissants.

11 MIAS 2 - Chap III - page 11 III.3.1 Surfaces donde Définition : On appelle surface donde, les surfaces pour lesquelles la fonction F (par exemple) prend la même valeur. Elles sont définie par la relation : Déterminons donc les surfaces donde des ondes planes : A un instant t fixé, léquation précédente représente des plans normaux à laxe xx. La propagation de F peut être vue comme le déplacement de ces plans dans lespace. Ondes Planes III.3.2 Ondes sinusoïdales On parle dondes planes progressives ou régressives sinusoïdales ou harmoniques si leur fonction associée sécrit :

12 MIAS 2 - Chap III - page 12 F possède donc une double périodicité, une dans le temps (de période T) et une dans lespace (de période ). représente, à un instant donné, la distance séparant deux plans donde. T représente la durée nécessaire pour quun plan donde remplace le précédent. On peut aussi dans les calculs utiliser la notation complexe pour simplifier lécriture. On associe donc à la fonction réelle F, la fonction complexe : Grandeurs caractérisant les ondes planes sinusoïdales : La longueur donde (période spatiale) La période temporelle

13 MIAS 2 - Chap III - page 13 III.3.3 Généralisation dune onde plane On peut montrer facilement que toute fonction de la forme : est une solution de léquation dAlembert. Pour revenir au cas particulier précédent on peut prendre Ox pour la direction de propagation. Définition : On appelle vitesse de phase, la vitesse avec laquelle les surfaces dondes (plans ici) se déplacent dans le milieu.

14 MIAS 2 - Chap III - page 14 III.4 Ondes sphériques Dans ce cas on veut décrire une onde se propageant de façon isotrope depuis une source ponctuelle O. Il est forcément plus intéressant de prendre les coordonnées sphériques. Léquation donde unidimensionnelle est : Surface donde Donc à un instant t donné les surfaces donde sont des sphères de centre O. Vitesse de phase

15 MIAS 2 - Chap III - page 15 III.5 Ondes stationnaires Les ondes stationnaires sont les solutions de léquation donde à variables séparées. Comme leur nom lindique, elles ne se propagent pas. Elles sécrivent généralement : Comme nous lavons vu précédemment la solution générale est : Dans le cas à une dimension (ou ondes planes), la partie spatiale vérifie léquation suivante : La solution est : Ondes stationnaires Remarque :

16 MIAS 2 - Chap III - page 16 III.5.1 Noeuds de vibration On appelle noeud de vibrations les points où lamplitude de londe est nulle : Entre deux noeuds il y a donc: III.5.2 Ventres de vibration On appelle ventre de vibrations les points où lamplitude de londe est maximum : Entre deux ventres il y a donc:

17 MIAS 2 - Chap III - page 17 III.5.3 Ondes stationnaires et ondes progressives Une onde plane stationnaire est définie par : En utilisant les relations trigonométriques connues on obtient :

18 MIAS 2 - Chap III - page 18 Onde plane stationnaire Superposition de deux ondes planes progressives se propageant en sens différents Il vient aussi quune plane progressive est la superposition de ondes stationnaires : III.6 Modes Propres Prenons comme exemple une corde de longueur finie (L) et fixée à ses deux extrémités. Léquation régissant les vibrations transversales de la corde (voir chapitre II) est : y y(x,t) équilibre L

19 MIAS 2 - Chap III - page 19 La corde étant fixée à ses extrémités, la solution de léquation précédente doit vérifier les conditions aux limites. Les points de fixation apparaissent naturellement comme des noeuds, donc nous allons chercher une solution sous la formes dondes stationnaires. La solution générale est : Les conditions aux limites sécrivent : Ces conditions doivent être vérifies à tous instant :

20 MIAS 2 - Chap III - page 20 Etant donné que la constante A est indéterminée, on peut toujours rebaptiser A par -A.sin( ). Donc lorsque les relations précédentes seront vérifiées on sera en présence dun mode propre de pulsation : Le mode fondamental correspond à n=1

21 MIAS 2 - Chap III - page 21 III.7 Décomposition spectrale : Série et Transformée de Fourier En vertu du théorème de Fourier, toute fonction périodique f, à condition quelle soit continue par morceaux, peut être considérée comme une série de fonction sinusoïdales de périodes sous multiples entières de la période T de f. On peut la représenter de différentes manières : III.7.1 Décomposition spectrale dune fonction périodique : Séries de Fourier

22 MIAS 2 - Chap III - page 22 Cette série, complexe ou sinusoïdale, est unique. Les coefficients étant donné par les relations suivantes : Pour une fonction réelle, ce qui est le cas le plus fréquent en physique seuls les C n sont complexes, à lexception de C 0. C n et C -n sont conjugués. Lensemble des A n constitue alors le spectre damplitude de la fonction f(t) et lensemble des n constitue le spectre de phase. Remarque : la borne inférieure d'intégration t 0 peut être quelconque puisque lintégration porte sur une période entière

23 MIAS 2 - Chap III - page 23 La moyenne de f est donné par : Le terme suivant de C n tel que n 0, sappelle le fondamentale. Le fondamentale a la fréquence la plus basse et de même période que la fonction f. Chacun des autres termes, caractérisé par lentier n, est appelé harmonique dordre n. Quelques propriétés intéressantes Fonction paire : Fonction impaire :

24 MIAS 2 - Chap III - page 24 Exemple : La fonction créneau

25 MIAS 2 - Chap III - page 25 On peut considérer une fonction non périodique comme un fonction périodique pour laquelle sa période T tendrait vers linfini. On doit donc pouvoir la décomposer elle aussi en une somme de fonctions sinusoïdales, dont les coefficients sont calculés non sur une période mais sur son domaine de définition. III.7.2 Décomposition spectrale dune fonction non périodique : Transformée de Fourier Pour que la transformée de Fourier existe il faut que la fonction f soit de carré sommable Dans ce cas là on parle non plus de série de Fourier mais de transformée de Fourier et elle est définie : La fonction inverse ou transformée de Fourier inverse est définie :

26 MIAS 2 - Chap III - page 26 Remarque : Les spectres damplitude et de phase sont continus à la différence de ceux des fonctions périodiques Il existe aussi dautres écritures : Exemple : La fonction créneau

27 MIAS 2 - Chap III - page 27 Pour la transformée de Fourier on trouve : (Série de Fourier)

28 MIAS 2 - Chap III - page 28 III.7.3 Conséquences de lanalyse de Fourier On vient de voir que toute fonction peut être décomposer en une superposition de fonction sinusoïdales, à condition quelle soit périodiques ou de carré sommable. Appliquons ces résultats au fonction dargument (i.e. des ondes) Si F est périodique : Représentable sous forme de série de Fourier Toute onde plane progressive périodique est une superposition dondes planes progressives sinusoïdales Si F nest pas périodique : Représentable sous forme dune intégrale de Fourier F est donc la somme dune infinité de fonctions sinusoïdales Spectre damplitude de FSpectre de phase de F

29 MIAS 2 - Chap III - page 29 Conclusion : Solution générale en ondes planes = superposition dondes sinusoïdales damplitude et de fréquences différentes, et se propageant dans un sens ou dans lautre. Lorsque les ondes se propagent dans un même sens on parle dun groupe ou dun paquet dondes. Le train dondes est un paquet dondes ayant un intervalle spectral plus restreint. Excitation de la corde Spectre de lexcitation Décomposition sur les modes propres


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