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Equations différentielles CHAPITRE 10. Equations différentielles F ( t, y(t), y(t)) = 0, t e I F ( t, y(t), y(t), y (t)) = 0, t e I Temps position vitesse.

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III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…) II. Nombres entiers, rationnels, réels et complexes ; suites de réels.

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1 Equations différentielles CHAPITRE 10

2 Equations différentielles F ( t, y(t), y(t)) = 0, t e I F ( t, y(t), y(t), y (t)) = 0, t e I Temps position vitesse accélération ordre 1 ordre 2

3 Equations linéaires dordre 1 y (t) = a(t) y(t) + b(t), t e I (a et b fonctions continues de I dans R ou C) Condition « initiale » : y(t 0 ) = y 0 (t 0 e I, y 0 e R ou C) +

4 Lapproche numérique : méthode dEuler Se fixer des conditions initiales t 0, y 0 Se fixer des conditions initiales t 0, y 0 Choisir un pas de temps t Choisir un pas de temps t Choisir T = « durée de vie » tel que [t 0, T] soit inclus dans I Choisir T = « durée de vie » tel que [t 0, T] soit inclus dans I u t,0 = y 0 u t,n+1 = u t,n + t ( a(t 0 + n t ) u t,n + b(t 0 +n t ) ) (tant que t 0 + n t b T) (tant que t 0 + n t b T) approximation de y(t 0 + n t )

5 Le théorème de Cauchy Hypothèses : - I intervalle ouvert de R - a et b fonctions continues de I dans R (ou C) - t 0 e I y 0 e R ou C (données initiales) Conclusion : Il existe une unique fonction y : I R (ou C) telle que : y (t)= a(t) y(t) + b(t) pour t dans I y (t)= a(t) y(t) + b(t) pour t dans I y(t 0 ) = y 0 (condition initiale) y(t 0 ) = y 0 (condition initiale) Il existe une unique courbe intégrale de léquation différentielle y(t)= a(t) y(t) + b(t) passant par le point (t 0,y 0 )

6 Lattaque du problème : étape 1 : résolution de léquation homogène y (t) = a(t) y(t) + b (t) A (t) = a(t) dt ! t0t0t0t0 t fonction auxiliaire : Y (t) = y(t) exp (-A (t)) Y = 0 Y = constante y (t) = C exp (A (t)) 1 degré de liberté

7 Lattaque du problème : étape 2 : recherche dune solution particulière de léquation complète y (t) = a(t) y(t) + b (t) y (t) = C(t) exp (A (t)) variation de la constante ( C(t) + a(t) C(t) ) exp(A(t)) = a(t) C(t) exp (A(t)) + b(t) C (t) = b(t) exp (-A (t)) C(t) = C + ! b(u) exp (-A(u)) du t t0t0t0t0 y part (t) = exp(A(t))

8 Le bilan final Solutions de léquation y(t)=a(t) y(t)+ b(t) : y(t) = exp(A(t)) ( C + ! b(u) exp(-A(u)) du ) t0t0t0t0 t Condition initiale : y(t 0 ) = y 0 z0z0z0z0 avec condition initiale : y(t 0 ) = y 0 z 0 =y 0 exp(-A(t 0 ))=y 0

9 Les équations de J. Bernouilli y(t) = a(t) y(t) + b(t) [y(t)] a ( a e R \ {0,1}) ( a e R \ {0,1}) Condition initiale : y(t 0 ) = y 0 > 0 Fonction auxiliaire : z(t) = [y(t)] 1- a z(t) = (1- a ) a(t) z(t) + (1- a ) b(t) z(t 0 ) = y 0 1- a

10 Equations linéaires dordre 2 y (t) = a(t) y(t) + b(t) y(t) + c(t), t e I (a,b,c fonctions continues de I dans R ou C) Conditions « initiales » : y(t 0 ) = y 0 y(t 0 )=v 0 y(t 0 )=v 0 (t 0 e I, y 0, v 0 e R ou C) +

11 Un exemple de motivation : une cellule electronique dordre 2 f(t) = U A –U B (t) y(t) = U c –U D (t) Lc y (t) + R c y(t) + y(t) = f(t) i i (U A – U C ) (t) = R i(t) + L di/dt c (U C -U D ) (t) = i (t)

12 Lapproche numérique : méthode dEuler Se fixer des conditions initiales t 0, y 0, v 0 Se fixer des conditions initiales t 0, y 0, v 0 Choisir un pas de temps t Choisir un pas de temps t Choisir T = « durée de vie » tel que [t 0, T] soit inclus dans I Choisir T = « durée de vie » tel que [t 0, T] soit inclus dans I u t,0 = y 0, u t,1 =y 0 + t v 0 u t,n+2 = u t,n ( t 2 b(t 0 +n t ) – t a(t 0 +n t )-1 ) + u t,n+1 ( t a(t 0 + n t ) + 2 ) + t 2 c(t 0 +n t ) + u t,n+1 ( t a(t 0 + n t ) + 2 ) + t 2 c(t 0 +n t ) (tant que t 0 + n t b T) (tant que t 0 + n t b T) approximation de y(t 0 + n t )

13 Le théorème de Cauchy Hypothèses : - I intervalle ouvert de R - a, b, c fonctions continues de I dans R (ou C) - t 0 e I y 0, v 0 e R ou C (données initiales) Conclusion : Il existe une unique fonction y : I R (ou C) telle que : y (t)= a(t) y(t) + b(t) y(t) + c(t) pour t dans I y(t 0 ) = y 0, y(t 0 )=v 0 (conditions initiales) y(t 0 ) = y 0, y(t 0 )=v 0 (conditions initiales) Il existe une unique courbe intégrale de léquation différentielle y(t)= a(t) y(t) + b(t) y(t) + c(t) passant par le point (t 0,y 0 ) et ayant au point (t 0,y 0 ) une tangente de pente v 0

14 Le cas « à coefficients constants » Hypothèses : - I intervalle ouvert de R - a, b e R ou C, c fonction continue de I dans R (ou C) - t 0 e I y 0, v 0 e R ou C (données initiales) Conclusion : Il existe une unique fonction y : I R (ou C) telle que : y (t)= a y(t) + b y(t) + c(t) pour t dans I y(t 0 ) = y 0, y(t 0 )=v 0 (conditions initiales) y(t 0 ) = y 0, y(t 0 )=v 0 (conditions initiales) Il existe une unique courbe intégrale de léquation différentielle y(t)= a y(t) + b y(t) + c(t) passant par le point (t 0,y 0 ) et ayant au point (t 0,y 0 ) une tangente de pente v 0

15 Lattaque du problème : étape 1 : résolution de léquation homogène y(t) – a y (t) – b y(t) = 0, t e R a, b e C X 2 – a X – b = 0 (équation caractéristique) y(t) = exp ( w t) solution ? ? w 2 – a w – b = 0 cas 1 : a b non nul cas 1 : a b non nul w 1 et w 2 distinctes y = C 1 exp(w 1 t) + C 2 exp (w 2 t) OK cas 2 : a b = 0 cas 2 : a b = 0 w 1 = w 2 =w y = C 1 exp(w t) + C 2 t exp (w t) OK = (X- w 1 ) (X-w 2 ) = (X- w 1 ) (X-w 2 )

16 Lattaque du problème : résolution de léquation homogène (cas complexe (2)) a, b complexes + conditions initiales (y 0, v 0 e C) cas 1 : a b non nul cas 1 : a b non nul w 1 et w 2 distinctes y = C 1 exp(w 1 t) + C 2 exp (w 2 t) OK cas 2 : a b = 0 cas 2 : a b = 0 w 1 = w 2 =w y = C 1 exp(w t) + C 2 t exp (w t) OK y 1 (t) y 1 (t) y 2 (t) y 2 (t) C 1 y 1 (t 0 ) + C 2 y 2 (t 0 ) = y 0 C 1 y 1 (t 0 ) + C 2 y 2 (t 0 ) = v 0 système de Cramer ! solution (C 1,C 2 ) unique !!

17 Lattaque du problème : léquation homogène dans le cas réel (1) y(t) – a y (t) – b y(t) = 0, t e R a, b e R X 2 – a X – b = 0 (équation caractéristique) cas 1 : a b > 0 cas 1 : a b > 0 l 1 et l 2 réels distincts y = C 1 exp( l 1 t) + C 2 exp ( l 2 t) OK cas 2 : a b = 0 cas 2 : a b = 0 l racine réelle double y = C 1 exp( l t) + C 2 t exp ( l t) OK = (X- l 1 ) (X- l 2 ) = (X- l 1 ) (X- l 2 ) cas 3 : a b < 0 cas 3 : a b < 0 y = exp( l t) (C 1 cos( w t) + C 2 sin ( w t)) OK racines l +/- i w l = a/2 >0 : oscillations amplifiées l = a/2 <0 : oscillations amorties inf( l j )>0 : « explosion » sup( l j )<0 : « extinction » l >0 : « explosion » l <0 : « extinction »

18 Lattaque du problème : résolution de léquation homogène (cas réel (2)) a, b réels + conditions initiales (y 0, v 0 e R) cas 1 : a b > 0 cas 1 : a b > 0 y = C 1 exp( l 1 t) + C 2 exp ( l 2 t) OK cas 2 : a b = 0 cas 2 : a b = 0 y = C 1 exp( l t) + C 2 t exp ( l t) OK y 1 (t) y 1 (t) y 2 (t) y 2 (t) C 1 y 1 (t 0 ) + C 2 y 2 (t 0 ) = y 0 C 1 y 1 (t 0 ) + C 2 y 2 (t 0 ) = v 0 système de Cramer ! solution (C 1,C 2 ) unique !! y 2 (t) y 2 (t) cas 3 : a b < 0 cas 3 : a b < 0 y = C 1 exp( l t) cos ( w t) + C 2 exp ( l t) sin ( w t) OK y 1 (t) y 2 (t)

19 Recherche dune solution particulière de léquation « avec second membre » I. Méthode de « variation des constantes y(t)=a y(t) + b y(t) + c(t) y(t) = C 1 y 1 (t) + C 2 y 2 (t) C 1 (t) C 2 (t) + c(t) OK dès que : { C 1 y 1 + C 2 y 2 = 0 C 1 y 1 + C 2 y 2 = c système de Cramer ! Solution unique (C 1,C 2 ) y 2 (u) c(u) y 2 (u) c(u) C 1 (u) = (y 1 y 2 – y 2 y 1 )(u) (y 1 y 2 – y 2 y 1 )(u) y 1 (u) c (u) y 1 (u) c (u) C 2 (u) = (y 1 y 2 – y 2 y 1 )(u) (y 1 y 2 – y 2 y 1 )(u) C 1 (t) ! t0t0t0t0 t du ! t0t0t0t0 t C 2 (t) du y part (t)

20 Bilan : la solution du problème de Cauchy (cond. initiales : y 0,v 0 ) y (t) = C 1 y 1 (t) + C 2 y 2 (t) + ! t0t0t0t0 t c(u) ( y 1 (u) y 2 (t) – y 2 (u) y 1 (t) ) du y 1 (u) y 2 (u) – y 2 (u)y 1 (u) y 1 (u) y 2 (u) – y 2 (u)y 1 (u) C 1 y 1 (t 0 ) + C 2 y 2 (t 0 ) = y 0 C 1 y 1 (t 0 ) + C 2 y 2 (t 0 ) = v 0 solution générale de léquation y(t) – a y(t) – by(t)=0 solution particulière de léquation y (t) – a y(t) – b y(t) = c(t)

21 Remarque II. Une autre méthode pour la recherche dune solution particulière de y(t) – a y(t) – by(t) = c(t) Si le second membre c est de la forme : P(t) exp( w t), w e C P(t) cos ( w t), w e R P(t) sin ( w t), w e R On cherche une solution particulière de la forme : y part (t) = Q (t) exp ( w t), deg (Q) b deg (P) +2 (par exemple par identification)

22 Fin du chapitre 10


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