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La méthode dEuler Objectif : résoudre une équation différentielle de façon numérique Applications en physique (en Terminale S): -Résoudre une équation.

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1 La méthode dEuler Objectif : résoudre une équation différentielle de façon numérique Applications en physique (en Terminale S): -Résoudre une équation différentielle du premier ordre (radioactivité, charge-décharge condensateur, chute avec frottement, etc.) -… mais on peut résoudre aussi des équations différentielles dordre supérieur (voir TP Mercure) Intérêt : trouver une solution numérique quand la solution analytique est compliquée ou inaccessible

2 La méthode dEuler : lidée A partir de la connaissance de la valeur de la fonction pour une valeur de la variable - ex : pour x i, on connaît y i = f(x i ) – on calcule la valeur suivante en utilisant la valeur de la dérivée..il faut donc connaître un point (x 0,y 0 ) et la dérivée

3 La méthode dEuler pas à pas Au départ, il y a : - une équation différentielle du premier ordre* y(t) = d(y(t))/dt = fonction de y(t) quon ne sait pas nécessairement résoudre... - une condition initiale : cest à dire une valeur que lon connaît : Par exemple : y(0) = y 0 * Mais ça marche aussi pour un ordre plus élevé !

4 Par définition, y(t) = lim t-->0 ([ y(t+ t) - y(t)]/ t) Un peu de math... En physique, pour un intervalle de temps t suffisamment petit (mais fini et défini) : y(t) [y(t+ t) - y(t)]/ t d où y(t+ t) y(t) + y(t). t on note y(t) = y(t + t) - y(t) y(t) y(t). t

5 y(t) = y(t + t) - y(t) y(t + t) = y(t) + y(t) Soit donc : Tout cela à chaque instant t... y(t) = y(t). t Attention : quand le mathématicien écrit le physicien écrit = mais il ne faut pas perdre de vue que le résultat est approché !

6 y(t) = y(t). t y(t + t) = y(t) + y(t) Rappel : on connaît une équation différentielle du premier degré (caractéristique du phénomène physique étudié) donc... y(t) = fonction de y(t) On connaît aussi a priori une valeur de y(t) : cest la condition initiale : y(0) = y 0

7 y(t) = y(t). t y(t + t) = y(t) + y(t) y(t) = fonction de y(t) On connait y(0) => calcul de y(0) On a calculé y(0), => calcul de y(0) Soit t (« petit »): le pas On a calculé y(0) et y(0)=>calcul y(0+ t) On a ainsi y(t 1 ) avec t 1 = 0 + t Condition initiale y(0)

8 On répète les opérations :

9 y(t i ) y(t i ) y(t i + t) A partir de x i, y i, y i = f(x i ) on calcule y(t i+1 ) avec t i+1 = t i + t Et ainsi de suite … cest une méthode itérative

10 Le mieux est encore dutiliser un un exemple concret La décharge dun condensateur chargé

11 La loi des tensions permet d'écrire à chaque instant que u C + u R = 0 (avec les conventions du schéma) soit u C + RC du C /dt = 0

12 u C (t) = u C (t). t y(t + t) = y(t) + y(t) u C (t) = - (1/RC).u C (t) u C (0)= - (1/RC).u C (0) u C (0) = - (1/RC).u C (0). t Pas : t (« petit ») u C (0+ t) = u C (0) - (1/RC).u C (0). t t 1 = 0 + t u C (t 1 ) est connu Condition initiale u C (0) pas « petit » par rapport à quoi ?

13 Exigences du baccalauréat : Savoir appliquer la méthode dEuler dans différents contextes - Dans un tableur - Savoir calculer (avec calculette) quelques étapes de la méthode Epreuve expérimentale (E.C.E) Epreuve écrite


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