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Analyse des circuits électriques -GPA220- Cours #10: Systèmes de deuxième ordre Enseignant: Jean-Philippe Roberge Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014.

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1 Analyse des circuits électriques -GPA220- Cours #10: Systèmes de deuxième ordre Enseignant: Jean-Philippe Roberge Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

2 Cours #10 Retour sur le cours #9: Réponse à léchelon des circuits RL et RC Proposition dune méthode générale de résolution Quiz #3 Théorie du cours #10: Système de deuxième ordre: Circuit RLC en parallèle: réponse naturelle ( Prochain cours: réponse à léchelon ) 2 Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

3 3 Retour sur le cours #9

4 Retour sur le cours #9 (1) Système de premier ordre Typiquement, voici à quoi ressemble généralement la réponse dun système dordre 1 à une entrée de type échelon: Jean-Philippe Roberge - Janvier Constante de temps? Gain statique? Temps de réponse?

5 Retour sur le cours #9 (2) Dynamique réponse à léchelon – circuits RL Dynamique de la réponse à léchelon dun circuit RL: Jean-Philippe Roberge - Janvier 20145

6 Retour sur le cours #9 (3) Dynamique réponse à léchelon – circuits RC Jean-Philippe Roberge - Janvier Dynamique de la réponse à léchelon dun circuit RC:

7 Retour sur le cours #9 (4) Proposition dune méthode générale de résolution Jean-Philippe Roberge - Janvier Première étape: On se pose la question est-ce quil faut ajouter ou enlever une source? Deuxième étape: On se pose ensuite la question quelles sont les conditions initiales sur linductance ou le condensateur?

8 Retour sur le cours #9 (5) Proposition dune méthode générale de résolution Jean-Philippe Roberge - Janvier Troisième étape: On substitue dans léquation appropriée: Réponse naturelle: Circuit RL Circuit RC Réponse à léchelon: Circuit RL Circuit RC

9 Jean-Philippe Roberge - Janvier Quiz #3

10 Jean-Philippe Roberge - Janvier Cours #10

11 Jean-Philippe Roberge - Janvier Systèmes de deuxième ordre (1) Un système de deuxième ordre est un système dont la dynamique sexprime à laide dune équation où intervient la dérivée deuxième dune variable. La forme générale: Si les coefficients a, b, c & d sont constants, on parle encore dune équation différentielle linéaire à coefficients constants dordre 2. Si d=0, on parle alors dune équation différentielle homogène. Les systèmes dordre 2 sont très répandus dans le domaine du génie! Exemple : Si d=0, et que a, b et c sont constants (invariants), alors la solution de cette équation est plus simple à trouver. Ce sera le cas dans le cadre du cours.

12 Jean-Philippe Roberge - Janvier Systèmes de deuxième ordre (2) Autre exemple de système dordre 2: Soit u le couple appliqué au bras afin de positionner la tête de lecture et y le déplacement angulaire qui en résulte: Exemple et image tirés des notes de cours dELE3202 – École Polytechnique de Montréal

13 Systèmes de deuxième ordre (3) Jean-Philippe Roberge - Janvier Typiquement, voici à quoi ressemble la réponse dun système dordre 2: Image tirée de: mons/4/4f/Second_order_transfer_functio n.svg

14 Réponse naturelle: circuits RLC en parallèle (1) Jean-Philippe Roberge - Janvier Exprimer v(t) en fonction de R, L et C en supposant que L et/ou C contiennent de lénergie:

15 Réponse naturelle: circuits RLC en parallèle (2) Jean-Philippe Roberge - Janvier Solution générale dune équation différentielle dordre 2, homogène, linéaire à coefficients constants: Où:

16 Réponse naturelle: circuits RLC en parallèle (3) Jean-Philippe Roberge - Janvier Il existe trois types de réponses, dépendamment de la valeur du taux damortissement:

17 Réponse naturelle: circuits RLC en parallèle (4) Réponse sur-amortie ( ζ>1) Jean-Philippe Roberge - Janvier Si ζ >1 (réponse sur-amortie), alors les racines (s 1 et s 2 ) sont réelles et négatives. Pour trouver la valeur de A 1 et de A 2, il suffit alors dutiliser les deux conditions initiales:

18 Réponse naturelle: circuits RLC en parallèle (5) Réponse sur-amortie ( ζ>1) Jean-Philippe Roberge - Janvier Or on sait que:

19 Réponse naturelle: circuits RLC en parallèle (6) Réponse sous-amortie ( ζ<1) Jean-Philippe Roberge - Janvier Dans le cas où ζ <1 (réponse sous-amortie), les racines s 1 et s 2 seront complexes: Qui peut se ré-écrire sous la forme: Où w d se nomme la fréquence naturelle amortie. À partir dEuler, on obtient:

20 Réponse naturelle: circuits RLC en parallèle (7) Réponse sous-amortie ( ζ<1) Jean-Philippe Roberge - Janvier Pour trouver B 1 et B 2 on utilise aussi les conditions initiales:

21 Réponse naturelle: circuits RLC en parallèle (8) Réponse à amortissement critique ( ζ=1) Jean-Philippe Roberge - Janvier Lorsque ζ =1, nous sommes dans une situation particulière qui se nomme amortissement critique. Dans cette situation unique, les racines s 1 et s 2 sont réelles et égales: Pour trouver les valeurs de D 1 et D 2 on utilise aussi les conditions initiales:

22 Réponse naturelle: circuits RLC en parallèle (9) Rappel sur ce que nous venons de voir… Jean-Philippe Roberge - Janvier Nous avons trouvé la tension entre les noeuds dun RLC parallèle lorsque lon déconnecte une source et que le circuit possède de lénergie. En connaissant v(t), on connait la dynamique du système, cest-à-dire quil est alors possible de déterminer directement i L (t), i R (t) et i C (t) à partir des formules que nous avons vu précédemment (Inductance, loi dOhm et capacitance).

23 Réponse naturelle: circuits RLC en parallèle (10) Rappel sur ce que nous venons de voir… Jean-Philippe Roberge - Janvier Sommaire de lexpression de v(t) dépendamment du taux damortissement ζ : **Tiré du livre, page 299.

24 Références [1] Présentations PowerPoint du cours GPA220, Vincent Duchaine, Hiver 2011 [2] NILSSON, J. W. et S.A. RIEDEL. Introductory Circuits for Electrical and Computer Engineering, Prentice Hall, [3] Wildi, Théodore. Électrotechnique, Les presses de lUniversité Laval, 3ième édition, 2001 [4] Floyd, Thomas L. Fondements délectrotechnique, Les éditions Reynald Goulet inc., 4ième édition, Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014


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