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1 Equations différentielles ordinaires Généralités t0t0 t1t1 t2t2 t3t3 t 4 =T M=4 intervalles, mais M+1=5 nœuds.

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1 1 Equations différentielles ordinaires Généralités t0t0 t1t1 t2t2 t3t3 t 4 =T M=4 intervalles, mais M+1=5 nœuds

2 Equations différentielles ordinaires 2 Les CI assurent lunicité de la solution Toutes ces courbes ont la même dérivée y = f(t, y) Condition initiale (CI), unicité Si la CI est à lintérieur, résoudre en 2 fois : CI gauche, puis CI droite

3 3 Equations différentielles ordinaires Méthodes dEuler

4 Equations différentielles ordinaires Méthodes dEuler: un exemple Soit le problème de Cauchy ci-contre. On cherche à le résoudre numériquement sur le domaine [0, 3]: u) (u-t)./(u+4*t); h=1e-2; t=0:h:3; u(1)=1; for n=1:length(t)-1 u(n+1)=u(n) + h*f(t(n), u(n)); end plot(t, u) u) (u-t)./(u+4*t); % u(n+1)=u(n) + h*f(t(n+1), u(n+1)); % ==> % 0 = -u(n+1) + u(n) + h*f(t(n+1), u(n+1)) % u(n+1) est l'inconnue X de l'équation % g(X) = 0 avec la fonction g: % -X + u(n) + h*f(t(n+1), X); h=1e-2; t=0:h:3; u(1)=1; for n=1:length(t)-1 -X + u(n) + h*f(t(n+1), X); u(n+1)= fzero(g, u(n)); end plot(t, u ) (E1) (E2)

5 Equations différentielles ordinaires Méthodes de Crank-Nicolson, Runge-Kutta, multi-pas

6 Equations différentielles ordinaires Méthodes prédicteur-correcteur

7 Equations différentielles ordinaires Propagation de lerreur, consistance dune méthode Soit e n+1 = y n+1 – u n+1, lerreur à létape n+1. On a dune part en utilisant Taylor: y n+1 = y n + h.y n + (h 2 ) = y n + h.f(t n, y n ) + (h 2 ) et dautre part (dans le cas de E1): u n+1 = u n + h.f(t n, u n ) soit donc: e n+1 = (y n - u n )+ h.f(t n, y n ) - h.f(t n, u n ) + (h 2 ) e n+1 = e n + h.{f(t n, y n ) - f(t n, u n )} + (h 2 ) e n+1 = e n + h.{f(t n, y n ) - f(t n, y n - e n )} + (h 2 ) e n+1 = e n + h.e n.{f(t n, y n ) - f(t n, y n - e n )} / e n + (h 2 ) e n+1 = e n + h. e n.[ f/ y ] n + (h 2 ) e n+1 = e n { 1 + h.[ f/ y ] n } + (h 2 ) * Lerreur se propage dun pas au suivant, le facteur damplification doit être < 1 pour que la solution numérique converge ce qui donne une condition sur h. * On dit quune méthode est consistante si lerreur de consistance est un infiniment petit en h. = facteur damplification Erreur de troncature ou erreur de consistance

8 Equations différentielles ordinaires Propagation de lerreur, consistance dune méthode u 0 = y 0 y1y1 u1u1 e1e1.e 1 (h 2 ) e2e2

9 Equations différentielles ordinaires ode45 La fonction ode45 de Matlab est un « solveur » dEDO (ODE en anglais). Son algorithme est basée sur une méthode du type Runge-Kutta explicite. Elle possède typiquement 2 sorties et 3 entrées: [t, u] = ode45(f, tspan, y0) avec: u la solution numérique calculée aux temps contenus dans le vecteur t. f est la poignée de la fonction f(t, y) du problème de Cauchy concerné. tspan est un vecteur du type [t initial, t final ] indiquant à ode45 le domaine sur lequel chercher la solution. Enfin y0 est la condition initiale. Une 4 ième entrée possible est options que lon utilise en conjonction avec la fonction odeset afin par exemple de régler la précision de la solution numérique. Exemple: génère 40 valeurs de la solution u, réparties entre t=0 et t=3 secondes. u) (u-t)./(u+4*t); tspan = [0, 3]; y0=1; [t, u] = ode45(f, tspan, y0); plot(t, u) Pour utiliser ODE45, la fonction f doit avoir la forme dy=f(t, y)

10 Equations différentielles ordinaires Système dEDO Exemple dun système dEDO où x et y sont des fonctions dune variable indépendante, par exemple du temps. Les conditions initiales sont précisées. On peut appliquer une méthode du type (E1) ou plus pratique du point de vue programmation, écrire le système sous forme vectorielle... … pour par exemple, utiliser ode45: [U(1)-4*U(2); U(1)+U(2)]; [tsol, usol] = ode45(F, [0,1], [1;2]); plot(tsol, usol(:,1), tsol, usol(:,2)) Pour utiliser ODE45, la fonction f doit avoir la forme dy=f(t, y)

11 Equations différentielles ordinaires EDO dordre > 1 Une EDO dordre m est une relation donnant la dérivée m -ienne en fonction du temps t, de la variable inconnue y et de ses dérivées dordre inférieur. Une solution unique est possible en connaissant m conditions initiales: On peut la transformer en un système de m EDO du premier degré en posant: et en dérivant ces nouvelles variables pour obtenir une forme de Cauchy W= F(t, W): Les conditions initiales étant:

12 Equations différentielles ordinaires EDO dordre > 1 : exemple Soit un pendule simple de longueur L=1m lâché sans vitesse initiale dun angle y 0 =pi/4 compté par rapport à la verticale. Son mouvement est régi par léquation différentielle (g=9.81 m.s -2 ) du 2 ième ordre: On pose w 1 =y; w 2 =y; on dérive w 1 = w 2 ; w 2 = -g/L*sin(w 1 ); On programme: Alternativement, on écrit la fonction dans un fichier: et on lappelle avec ode45: >> g=9.81; L=1; >> w) [w(2); -g/L*sin(w(1))]; >> [tsol, wsol]=ode45(f, [0,10], [pi/4, 0]); >> plot(tsol, wsol(:,1), '-or', tsol, wsol(:,2), '-s) Pour utiliser ODE45, la fonction f doit avoir la forme dy=f(t, y) function dw=fpendule(t, w) g=9.81; L=1; dw=[w(2); -g/L*sin(w(1))]; end >> [0,10], [pi/4, 0])

13 u) (u-t)./(u+4*t); h=1e-2; t=0:h:3; u(1)=1; for n=1:length(t)-1 u(n+1)=u(n) + h*f(t(n), u(n)); end plot(t, u) Equations différentielles ordinaires Exercice: convergence conditionnelle Expérimenter sur la valeur du pas h de la méthode E1 ci-dessous et constater quau dessus dun pas critique, la solution numérique « diverge ».

14 Equations différentielles ordinaires Exercice: stabilité absolue, conditionnelle On appelle « problème modèle » lEDO ci-contre dont la solution exacte est: Ce problème est utilisé pour définir la notion de stabilité dune méthode: Une méthode est absolument stable si sa solution numérique pour le problème modèle est telle que: Il peut exister une condition sur le pas de discrétisation h pour que la méthode soit stable. On parle alors de stabilité conditionnelle. Une méthode peut être instable. 1/ Montrer que E1 est stable à la condition : 2/ Montrer que E2 et CN1 possèdent une stabilité inconditionnelle.

15 Equations différentielles ordinaires Exercice: méthode « mixte » Que peut-on dire de la méthode: lorsque =0 ? =1 ? =0.5 ? Exercice: pendule dans une gravitation évanescente Résoudre le problème du pendule en supposant que laccélération de la pesanteur diminue après linstant initial selon la loi g(t) = g 0.2 -t avec g 0 = 9.81 m.s -2. Même expérience si g(t) = g 0.2 t. Indice: utiliser ode45, produire les graphiques y=y(t) où y est langle du pendule. Exercice: mouvement dun mobile Soit un mobile de coordonnées x(t), y(t) telles que x=x-4y et y=x+y. A linstant initial t=0, le mobile se trouve à la position (2, 3). Représenter sa trajectoire sur lintervalle t=[0, 3].

16 1/ Pour t=[0, 10] résoudre numériquement l'équation différentielle du 1 er ordre suivante: La solution exacte de ce système est : Représenter graphiquement y Exact et y numérique Equations différentielles ordinaires Exercice: EDO 1 ier ordre, 2 ième ordre 2/ Résoudre léquation de van der Pol (prendre t=[0, 10], µ=1, y(0)=2, y(0)=0) par une méthode E1, puis comparer avec le résultat retourné par ode45:

17 17 On désire tracer la trajectoire dun satellite artificiel de masse m autour de la Lune de masse M. La lune est placée à lorigine dun référentiel absolu où le satellite possède les coordonnées x, y et on notera: On applique le principe fondamental de la dynamique au satellite pour obtenir la force F exercée par la Lune sur le satellite: Dautre part, on a Résoudre ce problème en expérimentant différentes conditions initiales. Produire les graphiques de la trajectoires. m=10 3 kg, M= kg, K= N.m 2.kg -2 Equations différentielles ordinaires Exercice: trajectoire dun satellite

18 Equations différentielles ordinaires Questions de cours 1/ Donner la forme du problème de Cauchy. 2/ Donner la méthode dEuler explicite. 3/ Donner la méthode dEuler implicite. 4/ Donner la méthode de Crank-Nicholson.


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