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1 Calculs des activités dans une filiation radioactive _____________ Ch. de la Vaissière octobre 2008 Remarques et questions : contacter

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1 1 Calculs des activités dans une filiation radioactive _____________ Ch. de la Vaissière octobre 2008 Remarques et questions : contacter ou

2 2 Notations t : temps, dt intervalle de temps élémentaire n,i,k (indices) : ordre dans la filiation ( 0 père, 1 fils, 2 petit-fils, etc …) x n (t) : nombre de noyaux de lélément n à linstant t a n (t) activité de lélément n à linstant t x n (t) et x n (t) dérivées par rapport au temps de x n (t) et a n (t) t=0 : instant unitial A = Activité initiale de lancêtre (père) de la filiation T n : période radioactive de lélément n n : probabilité de désintégration de lélément n n = Ln(2)/ T n = = 0,693/ T n exp t)= e t : Loi de décroissance exponentielle g k : coefficient de lexponentielle exp(- k t) dans la somme dexponentielles intervenant dans la formule de lactivité a n (t). On appellera g k les mêmes coefficients dans la formule de lactivité a n-1 (t). Hypothèses initiales Au temps 0 on suppose que seul lancêtre de la filiation est présent a 0 (0)= A a 1 (0) = a 2 (0) = a 3 (0) = … = a n (0)

3 3 Relation de base Relation (eq 1)entre x n (t) et a n (t) a n (t) = n x n (t) Il suffit de faire les calculs pour les activités a n (t) Pour passer au nombre datomes, on utilisera x n (t) = a n (t) / n Les équations reliant les activités et leurs dérivées sont des équations différentielles à coefficients constant dont la solution est une somme dexponentielles. On obtient la relation entre x n (t) et x n-1 (t) ou a n (t) et a n-1 (t) En faisant la différence entre noyaux formés et désintégrés Nombre de noyaux n disparaissant pendant dt ( n ---> n +1) n x n (t) dt Nombre de noyaux n formés pendant dt ( n > n ) n-1 x n-1 (t) dt Variation du nombre de noyaux dx n (t x n (t) dt n-1 x n-1 (t) - n x n (t) ) dt x n (t) n-1 x n-1 (t) - n x n (t) ) (eq 2) x n (t) + n x n (t) n-1 x n-1 (t) a n (t) + n a n (t) n a n-1 (t) Equations différentielles

4 4 Equations des activités : solutions Hypothèses dune filiation simple Le père (n=0) na pas dancêtre : a 0 (t) + 0 a 0 (t) A linstant initial, seul lélément père existe a n (0) = 0 sauf a 0 (0) = A a n (t) + n a n (t) n a n-1 (t) Le noyau père (ancêtre) décroît selon une loi exponentielle simple (Eq 3) a 0 (t) = A exp(- 0 t) Pour les noyaux de la filiation a n (t) est la somme de n+1 exponentielles. Si a n-1 (t) est déjà sous cette forme (Eq 4) a n-1 (t) = f 0 exp(- 0 t) + f 1 exp(- 1 t) + … + f n-1 exp(- n-1 t) On peut vérifier (Eq 5) que a n (t) = g 0 exp(- 0 t) + g 1 exp(- 1 t) + … + g n-1 exp(- n-1 t) + g n exp(- n t) Vérifie léquation avec les valeurs de g i pour i allant de 0 à n-1 g i = f i n / ( n - i ) (Eq 6) g n est obtenu en appliquant la condition a n (t) = 0 au temps 0 g n = - (g 0 + g 1 + g 2 + ….. + g n-1 ) (Eq 7)

5 5 Application fils, petit fils Fils n = 1 On part de a 0 (t) = A exp(- 0 t) ----> f 0 = A On a donc g 0 = A 1 / ( ) et g 1 = - g 0 = A 1 / ( ) Lexpression de a 1 (t) est (Eq 8) : a 1 (t) = A 1 / ( ) ( exp(- 0 t) - exp(- 1 t)) Rappel de léquation générale (Eq 2) a n (t) + n a n (t) n a n-1 (t) Petit fils n = 2 Daprès lexpression précédente de a 1 (t) f 0 = A 1 / ( ) et f 1 = A 1 / ( ) On a pour g 0 et g 1 g 0 = f 0 2 / ( ) = A 1 2 / (( ) ( )) g 1 = f 1 2 / ( ) = A 1 2 / (( ) ( )) g 2 est obtenu en appliquant la condition g 2 = - (g 0 - g 1 ) g 2 = A 1 2 / (( ) ( )) On a (Eq 9) pour a 2 (t) a 2 (t) = A 1 2 ( exp(- 0 t)/ (( ) ( )) + exp(- 1 t)/ (( ) ( )) + exp(- 2 t)/ (( ) ( )))

6 6 Cas 0 très petit Fils n = 1 Lexpression (Eq 8) de a 1 (t) a 1 (t) = A 1 / ( ) ( exp(- 0 t) - exp(- 1 t)) devient a 1 (t) = A (1 - exp(- 1 t)) = a 0 (t) - A exp(- 1 t)) Pour t = o, a 1 (t) =0 Pour t grand par rapport à T 1 :, a 1 (t) = a 0 (t) Dans le cas des filiations naturelles de luranium et du thorium dont les périodes sont de lordre du milliard dannées, 0 qui est très petit par rapport aux autres peut être assimilé à 0 Petit fils n = 2 On réécrit la formule (Eq 9) de a 2 (t) en mettant en évidence lactivité exponentielle de lancêtre père a 0 (t) (Eq 10) a 2 (t) = { 1 2 / (( ) ( )} a 0 (t) + {A 1 2 / (( ) } {exp(- 1 t)/( )- exp(- 2 t)/( )} Si 0 est négligeable par rapport à 1 et 2, on a (Eq 11) a 2 (t) = a 0 (t) - A { 2 exp(- 1 t) - 1 exp(- 2 t)}/ ( ) Pour t = o a 0 (t) = A, les exponentielles sont égales à 1 : a 2 (0) = 0 Comme a 1 (0), il résulte de a 2 (t) + 2 a 2 (t) 2 a 1 (t) que a 2 (0) = 0 a 2 (0) et la première dérivée a 2 (0) sont nuls Pour t grand par rapport à T 1 et T 2 les exponentielles en 1 et 2 sont nulles : a 2 (t) = a 0 (t) Cest léquilibre radioactif

7 7 Calcul des g i en fonction des périodes La formule (Eq 6) donnant le coefficient g i de lexponentielle exp(- i t) dans lexpression de a n (t) à partir du coefficient f i correspondant dans a n-1 (t) g i = f i n / ( n - i ) sexprime en fonction des périodes T = Ln(2)/ g i = f i T i / (T i - T n ) Cas où un descendant (ou plusieurs) est présent au départ. Son activité initiale nest alors pas nulle. a k (0) = X k (0) / k Pour ce descendant k on remplace (Eq 7) le calcul de g k g k = - (g 0 + g 1 + g 2 + ….. + g k-1 ) par g k = a k (0) - (g 0 + g 1 + g 2 + ….. + g k-1 )

8 8 Table des g i pour les premières générations Fils n=1 i =0 g 0 = -A 1 / ( ) i =1 g 1 = -A 1 / ( ) Petit-fils n=2 i =0 g 0 = A 1 2 / ( ) ( ) i =1 g 1 = A 1 2 / ( ) ( ) i =2 g 2 = A 1 2 / ( ) ( ) Arrière petit-fils n=3 i =0 g 0 =-A / ( ) ( ) ( ) i =1 g 1 =-A / ( ) ( ) ( ) i =2 g 2 =-A / ( ) ( ) ( ) i =3 g 3 =-A / ( ) ( ) ( ) Arrière arrière petit-fils n=3 i =0 g 0 = A / ( ) ( ) ( ) ( ) i =1 g 1 = A / ( ) ( ) ( ) ( ) i =2 g 2 = A / ( ) ( ) ( ) ( ) i =3 g 3 = A / ( ) ( ) ( ) ( ) i =4 g 4 = A / ( ) ( ) ( ) ( )


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