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1 Autour de la fonction exponentielle I. Les points du programme concernés II. Une introduction possible de la fonction exponentielle III. Une progression.

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1 1 Autour de la fonction exponentielle I. Les points du programme concernés II. Une introduction possible de la fonction exponentielle III. Une progression possible en analyse IV. Croissance comparée

2 2 I. Les points du programme - l'extension du champ des suites et des fonctions... - l'initiation au calcul intégral et à la problématique des équations différentielles...

3 3 Létude des suites et fonctions sera motivée par la résolution de problèmes. Souci dune formation cohérente pour les élèves : - un point dentrée commun à plusieurs disciplines - un développement spécifique à chacune On privilégiera les problèmes mettant en jeu des liens entre une fonction et sa dérivée première ou seconde.

4 4 II. Introduction de la fonction exponentielle - Activités dintroduction - Etude de léquation : y = y La fonction exponentielle, premières propriétés - Extension à léquation : y = ky. - Relation fonctionnelle caractéristique de la fonction définie par x e kx

5 5 Le problème physique : la radioactivité Lobservation du physicien Lexpérience suggère que, si lon considère une population macroscopique de noyaux radioactifs (dont le nombre est de lordre du nombre dAvogadro), le nombre moyen de noyaux qui se désintègrent pendant un intervalle de temps t à partir de linstant t, rapporté au nombre total de noyaux N(t) présents à linstant t et au temps dobservation t, est une constante On peut donc écrire :

6 6 Passage de t à dt

7 7 Le travail du mathématicien Recherche dune fonction f vérifiant f = kf (résolution dune équation différentielle notée aussi y = ky) on traite en fait le cas k= 1 et f(0) = 1 Utilisation de la méthode dEuler : - si x 1 = x 0 +h, approximation de f(x 0 +h) par y 1 = f(x 0 ) + h f (x 0 ) - puis approximation de f(x 1 +h) par y 2 = y 1 + h f (x 1 ) ….

8 8

9 9 Définition de f(t) pour t réel arbitraire En posant h = t/n, la méthode dEuler donne f(t) f(0) x (1 + h) n = (1 + t/n) n Le calcul de f(t) semble donc dépendre de n (nombre de pas pour aller de 0 à n) On a donc lidée dun passage à la limite, mais la justification de lexistence de f reste difficile à ce stade et doit donc être admise.

10 10 Autre exemple dactivité introduisant la fonction exponentielle

11 11 Étude dun gaz à effet de serre A partir dune série de données (ici : quantités cumulées de CO 2 ), on effectue une modélisation 1) au moyen dune suite numérique 2) au moyen dune fonction dérivable sur R

12 12 A. Données Quantités cumulées de CO 2 (en milliards de tonnes) provenant de la consommation de pétrole et de lactivité industrielle mondiales années CO2184,4212,8243,3277,4320,6372,6 années CO2438,9521,5615,2710,0817,8931,8

13 13 A. Données

14 14 B. Modélisation au moyen dune suite numérique On note y 0 la quantité de CO 2 émise jusquen 1940, …., y n celle émise jusquà lannée n. On calcule à 10 – 2 près les variations relatives entre deux mesures consécutives ainsi que la moyenne m des valeurs obtenues. Par la suite, on prend m = 0,15.

15 15 B. Modélisation au moyen dune suite numérique

16 16 B. Modélisation au moyen dune suite numérique On considère alors la suite (q n ) définie par q 0 = y 0 et Cest une suite géométrique de raison (1 + m). On représente les suites (q n ) et (y n ) dans un même repère.

17 17 II. Modélisation au moyen dune suite numérique

18 18 B. Modélisation au moyen dune suite numérique Laccroissement entre deux mesures consécutives (aux instants n et n + 1) est proportionnel à la mesure à linstant n. En effet, de la relation on déduit :

19 19 C. Passage au continu On recherche une fonction dérivable sur R, dont la courbe ajuste le nuage de points {(0 ;y 0 )…..(11 ;y 11 )}

20 20 C. Passage au continu Lorigine des temps étant 1940, on note f(t) la quantité cumulée de CO 2 émise à la date t (en années). A partir de la relation : on émet lhypothèse que laccroissement de la concentration entre les instants t 0 et t 0 + h ( pour h très petit), est proportionnel à la mesure à linstant t 0.

21 21 C. Passage au continu Le coefficient de proportionnalité étant la valeur de m obtenue au II, on a donc : Lorsquon fait tendre h vers 0, on obtient la relation :

22 22 On cherche une solution approchée de (E) : f = m f et f(0) = 184,39 sur lintervalle [0 ; 11]. Pour des valeurs de h « suffisamment petites », f (t 0 ) est proche de On a donc : D. Méthode dEuler

23 23 D. Méthode dEuler Soit N un entier naturel non nul donné et h = On pose t 0 = 0 et t k = t 0 + kh (k {0 ; 1 ; … ;N}) On définit alors la suite de points M k (t k, z k ) où z k = z k – 1 (1 + mh) et z 0 = 184,39. On trace ensuite les segments [M k M k + 1 ].

24 24 D. Méthode dEuler

25 25 Commentaires On démontre quil existe une unique fonction f dérivable sur R vérifiant : f = m f et f(0) = 184,39. Cest la fonction définie par : f(x) = 184,39 exp(mx). Pour m suffisamment petit, 1 + m e m Comme la suite (q n ) est de raison 1 + m, on a : q n (e m ) n q 0

26 26 III. Progression en analyse Limites de suites et de fonctions. Suites adjacentes. Convergence des suites croissantes et majorées. Continuité et tableaux de variation. Etude de la fonction exponentielle (existence en utilisant des suites adjacentes). Primitives. Introduction et étude la fonction logarithme népérien. Fonctions exponentielles et puissances entières. Fonction racine n-ième. Croissance comparée. Intégration.

27 27 Etude de léquation y = y Lexistence dune fonction vérifiant = et (0) = 1 est admise. Propriété 1 : est strictement positive. (on considère la fonction F définie par F(x) = (x) (-x) F est nulle, donc F est constante et vaut ( (0)) 2 = 1 de plus (-x) = 1 / (x) )

28 28 Propriété 2 : Soient deux réels a et. Il existe une unique solution de léquation f = f vérifiant f(0) = a. (si f(x) = a ( x), f est une solution et si g est une autre solution, on pose F(x) = g(x) (- x) et on montre que F = 0. Comme F(0) = a, pour tout x, F(x) = a doù g(x) = a / (- x) = a ( x) = f(x))

29 29 Propriété 3 : Soit f une fonction dérivable sur R telle que f(0) = 1. Les deux propositions suivantes sont équivalentes : (i) Il existe une constante telle que f vérifie f = f (ii) Pour tous réels a et b : f(a+b) = f(a) f(b) ((i) implique (ii) en montrant que g et h définies par g(x) = f(a+x) et h(x) = f(a)f(x) sont égales (ii) implique (i) en dérivant par rapport à x dans légalité f(a+x) = f(a)f(x) puis en prenant x = 0)

30 30 Notation Par récurrence et en utilisant la propriété 3, on montre que pour tout entier n (négatif ou positif) et pour tout réel a : (an) = ( (((( (a)) n On convient de noter (1) = e, doù (n) = e n Par prolongement à R,,, pour tout réel x, (x) = e x

31 31 Existence de la fonction exponentielle Théorème: Léquation y = y admet une solution prenant la valeur 1 en 0. (après avoir montré que pour tout entier naturel n et pour tout réel x > -1, (1+x) n 1 + nx, on démontre que, pour tout réel x, les suites (u n (x)) et (v n (x)) définies par : u n (x) = (1 + x/n) n et v n (x) = (1 x/n) -n sont adjacentes. La limite commune définit une fonction solution)

32 32 Croissance comparée Terminale ES On positionnera à laide dun grapheur les courbes représentatives de x e x et de x lnx par rapport à celles de x x n. Terminales S et ES On établira la limite en + de e x /x et de lnx/x ; on en déduira la limite en de xe x ; on aboutira aux règles opératoires : à linfini, lexponentielle de x lemporte sur toute puissance de x et les puissances de x lemportent sur le logarithme de x.

33 33 Remarques « on établira » : une démonstration est attendue. « on aboutira » et « lemporte sur » : on va expliciter le terme « lemporte », faire la distinction entre : « la courbe dune des fonctions passe au dessus de la courbe de lautre fonction » et « la limite du quotient des fonctions est infinie ».

34 34 Avec les fonctions x x n et x e x ou Avec les fonctions x x et x lnx Permet de visualiser la position relative des courbes, ou le signe de la différence, puis le comportement du quotient, pour arriver à la notion de limite. Tableur et (ou) grapheur

35 35 Démonstrations - Un travail utilisant plusieurs notions danalyse (étude de fonctions, théorème des valeurs intermédiaires) permet de détudier le signe de x n e x. - Un autre travail permet de démontrer les résultats concernant les limites à linfini des quotients.

36 36 Remarque Il est nécessaire de faire en sorte que, lorsquun élève écrit la règle opératoire : « à linfini, lexponentielle de x lemporte sur toute puissance de x et les puissances de x lemportent sur le logarithme de x », il sache bien que cela correspond à une notion de limite infinie. Une démonstration des résultats semble donc importante.

37 37 Programme S On étudiera les fonctions x exp(-kx) et x exp(-kx 2 ), avec k 0 et on illustrera leur décroissance rapide. Ces fonctions sont très utilisées en probabilité et en statistique, en théorie du signal, etc

38 38 Pistes de réflexion « on illustrera » : quentend on exactement par ce mot ? Est-ce la décroissance rapide des fonctions x exp(-kx) et x exp(-kx 2 ) quon doit faire apparaître et alors la rapidité doit-elle être mesurée par rapport à quelque chose ou doit-on faire appel aux autres sciences pour montrer où interviennent ces décroissances rapides ?

39 39 Conclusion Cette partie du programme peut être traitée en plusieurs étapes, au fur et à mesure de lintroduction des fonctions et des résultats danalyse. Elle est loccasion : - de préciser du vocabulaire comme « lemporte sur » - dalterner les activités de visualisation (tableur, grapheur) avec le travail de démonstration.


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