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ASI 3 Méthodes numériques pour lingénieur Introduction : vecteurs, matrices et applications linéaires.

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1 ASI 3 Méthodes numériques pour lingénieur Introduction : vecteurs, matrices et applications linéaires

2 Opérations sur les vecteurs Vecteur x base (canonique) b i, i=1,n espace vectoriel V sur le corps des réels combinaison linéaire sous espace vectoriel base, dimension

3 Opérations sur les vecteurs Somme multiplication ? Vecteur transposé Norme produit scalaire, vecteurs orthogonaux

4 Normes et produit scalaire

5 Matrices Tableau de n lignes et k colonnes Remarque fondamentale : on ne peut rien démontrer sans faire référence à lapplication linéaire que la matrice représente

6 Applications linéaires Noyau : image : Noyau et image sont des s.e.v. resp. de E et de F image : s.e.v engendré par u(e i ) rang = dim(Im(u)) u injective (ker(u) = 0) u surjective Im(u) = F Par identification, on donne une signification aux colonnes de la matrice Définition : Propriétés : Soient E et F deux espaces vectoriels

7 Applications linéaires et matrices

8 Propriétés des matrices RkRk RnRn 0 Ker(A) Img(A) u, A

9 Propriété des matrices Noyau Rang (nombre de colonnes linéairement indépendantes) variables équivalentes équations équivalentes systèmes liés - systèmes libres (matrices blocs) vecteurs propres – Soit A une matrice associée à une application linéaire u de E dans F – soit k = dim(E) et n=dim(F)

10 Opérations sur les matrices Somme : somme des applications linéaires produit : composition des applications linéaires A B n n p q AB nest pas BA (non commutatif)

11 Complexité algorithmique Quel est lalgorithme qui calcule C=AB le plus vite ? Définitions – grand O – petit o – équivalence asymptotique O (n 2 ) < Algorithme < O (n 3 ) A, B et C sont des matrices carrées de taille n Exemple, n=2 2 3 = 8 multiplications Comme Strassen, 1969 sauriez vous faire mieux ?

12 Complexité algorithmique Quel est lalgorithme qui calcule C=AB le plus vite ? Exemple, n=2 o(n 2 ) < Algorithme < O (n log 2 7 ) log 10 (n) n 3 /n (log 2 (7)) Strassen, ,807

13 Opérations sur les matrices Inverse (a.l. bijective matrice carrée) matrice identité I Transposée (adjointe pour les complexes) A est symétrique ssi A=A Permutation p associé à la matrice P ( changement de base de e i à e p(i) )

14 Opérations sur les matrices Changement de base déterminant dune matrice carrée

15 Quelques matrices particulières Matrices carrées Matrices diagonales Matrices triangulaires (inférieure et supérieure) Matrices par bandes Matrice diagonale (strictement) dominante Matrice symétrique Matrice de Vandermonde (déjà vu en introduction) Matrice de Toeplitz Matrice de Hankel

16 4 principes fondamentaux On ne change pas la solution lorsque lon : 1. permute 2 lignes interprétation physique 2. permute 2 colonnes 3. divise par un même terme non nul les éléments dune ligne 4. ajoute ou retranche à une ligne un certain nombre de fois une autre ligne

17 Question fondamentale A quelles conditions léquation Ax = b admet-elle une solution unique ? Théorème Dim(Im u)+dim(ker u) = dim(F) rang(u)+dim(ker u) = dim(F) corollaire


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