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ASI 3 Méthodes numériques pour lingénieur Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes : LDL et Choleski.

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1 ASI 3 Méthodes numériques pour lingénieur Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes : LDL et Choleski

2 Résoudre un système linéaire U,c = descent(A,b) x = triang(U,c) Fonction x = Gauss(A,b) L,U = decompose(A) y = triang(L,b) x = triang(U,y) Fonction x = LU(A,b) Cas particulier : A est symétrique définie positive

3 Matrice à diagonale dominante Définition : une matrice carrée A est dite à diagonale dominante ssi : Théorème : Si A est a diagonale strictement dominante, Alors est elle alors non singulière, De plus Gauss est stable et peut fonctionner sans changement de colonne Éléments de démonstration : Ax=0, par labsurde

4 Matrice symétrique définie positive Symétrique : A=A Définie positive : Exemple : Rappelez vous des moindres carrés

5 Exemple

6

7 Propriétés des matrices définies positives Théorème : Si A est une matrice n x n strictement définie positive Alors : – A est non singulière – a ii > 0 pour i=1,n

8 Propriétés des matrices définies positives Théorème : Si A est une matrice n x n strictement définie positive Alors : – A est non singulière – a ii > 0 pour i=1,n

9 Propriétés des matrices définies positives Théorème : Si A est une matrice n x n symétrique strictement définie positive Alors :

10 Propriétés des matrices définies positives Théorème : Si A est une matrice n x n symétrique strictement définie positive Alors :

11 Autres propriétés Définition : une sous matrice principale dune matrice A est une matrice carrée de la forme A(1:i,1:i) quelque soit i Théorème : Une matrice symétrique est définie positive ssi chacune de ses sous matrice principales à un déterminant positif

12 Autres propriétés Définition : une sous matrice principale dune matrice A est une matrice carrée de la forme A(1:i,1:i) quelque soit i Théorème : Une matrice symétrique est définie positive ssi chacune de ses sous matrice principales à un déterminant positif

13 Autres propriétés Théorème : Une matrice est symétrique définie positive si la méthode de Gauss être appliquée sans permutations nadmet que des pivots positifs De plus, le résultat est stable par rapport aux erreurs darrondi Corollaire si A est une matrice symétrique non singulière, Alors il existe une matrice diagonale D et une matrice triangulaire avec des 1 sur la diagonale L telles que : A = LDL éléments de démonstration : A non singulière => A=LU =LDV et A=VDL que lon identifie car A est symétrique

14 Factorisation LDL L V=DL A 0 0 Exemple : i v j = l ij d j a ii =d i + l ij v j a ij =d i l ij + l ik v k

15 La factorisation LDL Fonction L,D = décomposeLDL(A)

16 Choleski : LL Théorème : toute matrice A symétrique définie positive admet une décomposition unique sous la forme A=LL ou L est une matrice triangulaire inférieure dont tous les éléments diagonaux sont positifs D doit être positif !

17 Choleski : lalgorithme Fonction L = Choleski(A)

18 Comparaison : temps de calcul Total 2n 3 /3 n 3 /3 Plus stable ! 2

19 Logiciels – Cas général : PA=LU – Matrice symétrique définie positive : A=LL (Choleski) – Matrice symétrique : A=LDL – Matrice tridiagonale (heisenberg) : LU par bande (cf TD) – Matrice triangulaire : « remontée en n 2 » LAPACK = BLAS (basic linear algebra subprograms) - blaise, octave, matlab (interprétés calcul) - scilab, maple (interprétés formels) - IMSL, NAG (bibliothèques) Matlab : x =A\b ; si A triangulaire : x=trisup(A,b) sinon si A symétrique définie positive ; L=chol(A) sinon : (* cas général*) [L,U,P]=lu(A); z=L\(P*b); x=U\z;


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