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1 METHODE DE GAUSS FACTORISATION LU. 2 I La méthode de Gauss I-1 Présentation de la méthode De la 1 ère équation, on tire légalité On la reporte dans.

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1 1 METHODE DE GAUSS FACTORISATION LU

2 2 I La méthode de Gauss I-1 Présentation de la méthode De la 1 ère équation, on tire légalité On la reporte dans les équations 2 à n: On veut résoudre un système de n équations à n inconnues Ax=b avec A matrice (n,n) déléments a ij, b, x

3 3 La 1 ère équation de Ax=b et les équations (1) forment un système équivalent à Ax=b noté

4 4 Formules de passage de A (1), b (1) à A (2), b (2) :

5 5 A partir du système A (2) x=b (2), on peut procéder de façon similaire à partir de la 2 ème équation et linconnue x 2. En éliminant successivement x 1,x 2 …x n-1, on construit ainsi une suite de systèmes équivalents A (k) x=b (k) k=1 à n k k

6 6 Formules de passage de A (k), b (k) à A (k+1), b (k+1) : partie non modifiée formules qui se traduisent par un calcul

7 7 k j i k A (k) b (k) valeurs de A (k) et b (k) modifiés par les formules (4) et (5) valeurs de A (k) et b (k) intervenant dans les formules (4) et (5)

8 8 Si lélimination est possible jusquau bout, lalgorithme aboutit à une matrice A (n) triangulaire supérieure. notations: U=A (n) d=b (n) Le système final Ux=d est équivalent au système initial Ax=b. Il se résout facilement par remontée:

9 9 Remarque: pour k=1 à n-1 A (k+1) =M (k) A (k) b (k+1) =M (k) b (k) M (k) = k

10 10 det(M (k) )=1 car M (k) est triangulaire supérieure avec des 1 sur la diagonale. det(A (k+1) )=det(M (k) A (k) ) =det(M (k) )det(A (k) )=det(A (k) ) det(A (k+1) )=det(A (k) ) k=1 à n-1 det(A)=det(U) A inversible A (k) inversible pour k=1 à n

11 11 Lélimination de x k nest possible que si Dans ce cas est dit pivot de létape k. Sinon le processus délimination doit être modifié.

12 12 2 ème cas: Lélimination de x k est donc déjà faite! A (k+1) =A (k) La phase délimination peut donc toujours être menée jusquà la fin. On poursuit lélimination avec comme pivot de létape k. 1 er cas: On permute léquation k avec léquation nouveau système

13 13 Remarques: det(A)=(-1) p det(U) où p est le nombre de permutations déquations effectuées dans la phase délimination. det(A)=0 det(U)=0 La phase de remontée complète nest possible que si A est inversible (régulière). De plus si A est inversible, alors A (k) est inversible et on ne rencontre jamais le 2ème cas dans la phase délimination.

14 14 I-2 Programmation de la méthode a)cas sans permutation de lignes avec A régulière Réservations mémoire: 1 tableau A (n,n) initialisé avec les valeurs 1 tableau b (n) initialisé avec les valeurs b i 1 tableau x (n) pour la solution cherchée Durant la phase d élimination, les calculs se font uniquement dans les tableaux A et b (les valeurs initiales de A et b sont écrasées!) La phase de remontée s effectue à partir des valeurs finales contenues dans A et b.

15 15

16 16 Simulation sur un exemple où n=3: k=1 k=2 r=8/2=4 r=12/2= r=-12/1=

17 17 k=2 k=1

18 18 b)cas avec permutation de lignes Pas de permutation physique à lintérieur des tableaux contenant A et b! Mise à jour de la numérotation à chaque permutation à laide dun tableau supplémentaire Point (n). valeurs initiales de Point permutation de ligne n° k avec ligne n° k

19 19 I-3 coûts de calcul Estimation des coûts de calcul ou de la complexité dun algorithme =Estimation du nombre dopérations élémentaires: additions, multiplications, divisions. Lunité de mesure de la puissance dun calculateur est donné en Megaflops (Mflops) où 1 Mflops=10 6 opérations en virgule flottante par seconde. Cette mesure nest quindicative car la vitesse de calcul peut varier en fonction de lalgorithme utilisé et de la taille du problème traité. Les plus gros calculateurs au monde ont des puissances supérieurs à 10 6 Mflops= 1 Teraflops

20 20 IBM SP Power4 :ZAHIR 124 processeurs 6,55 Tflops 3136 Goctets Institut du Développement et des Ressources en Informatique Scientifique (IDRIS)

21 21 Le coût de résolution dun système linéaire est donnée en fonction de sa dimension n, ce qui permet des comparaisons defficacité entre différentes méthodes. En pratique, on ne retient quune estimation asymptotique lorsque, suffisante pour les systèmes de grande taille.

22 22 Pour la méthode de Gauss, on obtient: Ses estimations sobtiennent à partir de lalgorithme en utilisant les formules:

23 23

24 24 Illustration numérique montrant limportance du choix dune méthode de résolution: Formules de Cramer donnant la solution dun système (n,n): D j est le déterminant dune matrice (n,n) Le calcul du déterminant par une méthode de développement par ligne conduit à un coût de résolution supérieur à (n+1)! inférieur à 1/100 seconde par Gauss de lordre de l age de lUnivers par méthode de Cramer Temps de résolution sur un système (100,100) sur un calculateur à 100 Mflops:

25 25 I-4 Un résultat théorique admis A k désigne les sous-matrices principales de A définies par Théorème 1 Si det(A k ) 0 pour k=1 à n, alors la phase délimination est faisable sans permutation de lignes et les éléments diagonaux de la matrice triangulaire supérieure U ainsi obtenue sont données par

26 26 Conséquences: Sur une matrice s.d.p. lélimination de Gauss peut se faire sans permutation de lignes et les éléments diagonaux de la matrice U obtenue sont strictement positifs. Remarque: A s.d.p. A k s.d.p. k=1 à n det(A k )>0

27 27 II Factorisation LU II-1 Intérêt d une factorisation LU Définition 1 On dit quune matrice A(n,n) possède une factorisation LU si A=LU avec L matrice(n,n) triangulaire inférieure à diagonale unité et U matrice triangulaire supérieure.

28 28 On verra dans la suite que le coût de la factorisation est égal au coût de lélimination de Gauss. Pour résoudre Ax=b k connaissant sa factorisation LU, on résout successivement 2 systèmes « triangulaires » Ly=b k (descente)puis Ux=y (remontée) On obtient alors le tableau des coûts asymptotiques suivant: Supposons que lon doit résoudre successivement plusieurs systèmes de même matrice: Ax=b k k=1 à p

29 29 mieux que coût de p résolutions de Gauss

30 30 I-2 Conditions d existence et d unicité dune factorisation LU Proposition 1(unicité) On suppose que A est régulière et admet une factorisation LU. Alors U est régulière et la factorisation est unique Démonstration: a) U régulière? det(A)=det(LU)=det(L)det(U)=det(U) 0

31 31 b) Unicité? U 2 triang. sup.X triang. sup. Supposons A=L 1 U 1 =L 2 U 2 U 1 triang. sup. triang. sup. L 1 triang. inf.à diag. unité X triang. inf.à diag. unité L 2 triang. inf.à diag.unitétriang. inf.à diag unité X =matrice identité doù L 1 =L 2 et U 1 =U 2

32 32 Proposition 2 On suppose que lélimination de Gauss est faisable sans permutation de lignes sur un système de matrice A supposée régulière. Alors A possède une factorisation LU avec U régulière. Démonstration: on introduit les matrices L (k) L (k) = k

33 33 A=L (1) L (2) ….L (n-1) A (n) On pose L= L (1) L (2) ….L (n-1) produit de triang. inf. à diag. unité On pose U=A (n) triang. sup. régulière car A régulière A (k) =[M (k) ] -1 A (k+1) =L (k) A (k+1) On vérifie que L (k) =[M (k) ] -1 A (k+1) =M (k) A (k)

34 34 Théorème 2 A matrice (n,n) possède une factorisation LU avec U régulière si et seulement si ses sous-matrices principales A k k=1 à n sont régulières.

35 35 a) Supposons det(A (k) ) 0 k=1 à n Démonstration: Théorème 1 élimination de Gauss faisable sans permutation de lignes A=A (n) régulière + proposition 2 existence de la factorisation LU et U régulière

36 36 b) Supposons A=LU avec U régulière det(A 11 )=det(U 11 ) 0 car U régulière Or A 11 est une sous-matrice principale A (k).

37 37 I-3 Programmation de la factorisation LU aucun calcul pour effectuer le produit de matrices L (k) ! L=L (1) L (2) …L (n-1) = L (1) L (2) L (k)... L (n-1)

38 38 A (k) k élément qui nest plus utilisé après le traitement complet de la ligne

39 39 Algorithme de factorisation

40 -12 Simulation sur un exemple où n=3: algorithme de factorisation k=1 r=8/2=411 4 r=12/2= r=-12/1=-12 8 k=2

41 41 III Matrices à structure particulière III-1 Matrice symétrique Proposition 4 Soit A une matrice (n,n) régulière et symétrique. Si la phase délimination de Gauss seffectue sans permutation de lignes alors toutes les matrices a (k) k=1 à n sont symétriques. k k A (k)= a (k) Notation:

42 42 Démonstration: (par récurrence) a (1) =A symétrique par hypothèse a (k) symétrique

43 43 Proposition 4 Soit A une matrice (n,n) régulière et symétrique. Si elle possède une factorisation A=LU alors U=DL t où D est une matrice diagonale. On a donc A=LDL t. et d ii =u ii i=1 à n. Démonstration: Soit A=LU. On introduit la matrice diagonale

44 44 U régulière D régulière On pose L 1 =LD et U 1 =D -1 UA=L 1 U 1 A=A t Unicité de la factorisation soit A=LDL t

45 45 Remarque dans le cas où A est s.d.p. : A=LDL t avec d ii >0 i=1 à n On pose doù A=LD 1/2 D 1/2 L t avec B=LD 1/2, on obtient A=BB t dite factorisation de Cholesky

46 46 III-2 Matrice à structure bande Définition 2 On dit quune matrice A(n,n) est de structure bande avec une demi-largeur de bande m si m est le plus petit entier tel que |i-j|>m a ij =0 n-m m+1

47 47 a) Une matrice tridiagonale a une demi-largeur de bande égale à 1. Exemples: N=n 2 H matrice (n,n) I matrice identité (n,n) b) Matrice Sa demi-largeur de bande est donc égal à

48 48 Proposition 4 Soit A(n,n) une matrice de structure bande avec une demi-largeur de bande m. Si la phase d élimination de Gauss seffectue sans permutation de lignes, alors toutes les matrices a (k), k=1 à n ont une structure bande avec une demi-largeur de bande inférieure ou égale à m. De plus m 2 éléments changent de valeurs à l étape k dans la matrice a (k). a nest pas modifié si b ou c nul. a d b c A (k) = k k

49 49 A (k) = k k non modifié : éléments non modifiés :éléments modifiés m m

50 50 Léconomie de calculs se fait aussi dans la remontée car U est à structure bande. Coûts asymptotiques au lieu de Exemples: a) matrice (tridiagonale: m=1) Coût en O(n) b) matrice Coût en O(n 2 )

51 51 Pour minimiser les coûts de calcul dans les méthodes de résolution par Gauss ou factorisation LU, on a donc intérêt à avoir la plus petite largeur de bande possible. Pour les matrices différences finies, cela revient à bien choisir lordre de numérotation des nœuds de la grille. Au chapitre suivant, nous présenterons des méthodes itératives de résolution dont le coût pour ces matrices est indépendant de lordre de numérotation. matlab


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