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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Logarithmes.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Logarithmes

2 Introduction Les logarithmes constituent un outil indispensable dans la résolution déquations exponentielles, cest-à-dire déquations dont linconnue est en exposant. Le propos de cette section est dintroduire la notion de logarithme et de lutiliser dans la résolution déquations exponentielles. Dans cette présentation, nous verrons comment utiliser les logarithmes dans la résolution des équations exponentielles. Cela nous amènera à définir la notion de fonction logarithmique et à introduire des concepts fondés sur lutilisation des logarithmes, soit le calcul du pH et le temps de dédoublement dune polpulation.

3 Croissance dun capital Considérons à nouveau la situation du capital de $ placé à un taux dintérêt de 6 % capitalisé annuellement. Nous avons vu que le capital accumulé au cours des années pouvait être décrit par le modèle exponentiel : C(n) = (1,06) n Supposons quon désire savoir pendant combien de temps on doit placer cet argent pour doubler le capital. On cherche alors n tel que : (1,06) n = En divisant les deux membres de léquation par , on obtient : (1,06) n = 2 Une équation de cette forme est une équation exponentielle et, pour la résoudre, il faut déterminer la valeur de lexposant n. Les procédures de résolution basées sur les propriétés de légalité et utilisées jusquà maintenant ne permettent pas de résoudre. Il faut développer un outil spécialement adapté à la résolution de ce type déquations, les logarithmes.

4 Équation exponentielle DÉFINITION Équation exponentielle Une équation exponentielle est une équation comportant une seule inconnue et dont linconnue est en exposant. La forme la plus simple déquation exponentielle est la forme : b x = N où b > 0 et b 1. Dans cette expression, x est une inconnue, N et b sont des nombres réels positifs quelconques et b est la base de lexponentielle.

5 Équation exponentielle Pour résoudre une équation exponentielle de la forme b x = N, il faut trouver à quel exposant on doit élever la base b pour obtenir le nombre N. 2 x = 32 est une équation exponentielle et pour résoudre cette équation on doit trouver à quel exposant il faut élever 2 pour obtenir 32. Dans ce cas, on peut facilement exprimer le membre de droite de léquation en base 2, ce qui donne : Ainsi, léquation : 2 x = 2 5 Les deux membres de léquation étant exprimés dans la même base, les exposants sont nécessairement égaux, on peut donc conclure que x = 5. La résolution dune équation exponentielle nest pas toujours aussi simple. Cependant, il faudra toujours pouvoir exprimer un nombre donné dans une base donnée élevée à un exposant qui est un nombre réel. Cet exposant sera appelé le logarithme dans la base 2 du nombre 32.

6 Logarithme DÉFINITION Logarithme en base b dun nombre N Soit b 1 et N, deux nombres réels positifs. Alors, il existe un et un seul nombre réel n tel que b n = N. Le nombre n est appelé le logarithme en base b du nombre N. Ce qui sécrit : n = log b N Exemple Trouver le logarithme dans la base 3 de 81. S S On cherche log 3 81, cest-à-dire lexposant auquel il faut élever le nombre 3 pour obtenir 81. On doit donc résoudre léquation exponentielle : 3 x = 81 En exprimant 81 en base 3, on obtient : On trouve donc : log 3 81 = 4 3 x = 3 4

7 Bases de calcul Pour pouvoir effectuer des calculs logarithmiques, on doit connaître les logarithmes dans une base donnée. La calculatrice se révèle alors un outil très intéressant. S S Même si, théoriquement, tout nombre positif et différent de 1 peut servir de base dun système de logarithmes, en pratique seulement deux bases sont utilisées pour effectuer des calculs logarithmiques, ce sont la base 10 et la base e = 2, Les calculatrices effectuent directement les calculs dans ces bases. Pour simplifier lécriture, le logarithme en base 10 dun nombre N est noté log N et le logarithme en base e dun nombre N est noté ln N. Ainsi, log 3 est le logarithme en base 10 du nombre 3, cest-à- dire lexposant quil faut donner à 10 pour obtenir le nombre 3, alors que ln 3 est le logarithme en base e du nombre 3.

8 Exemple Exprimer le nombre 2,8 en base 10. S Pour exprimer 2,8 en base 10, on doit trouver lexposant auquel il faut élever 10 pour obtenir 2,8. On cherche donc x tel que : 10 x = 2,8 La définition de logarithme permet décrire cette équation sous forme logarithmique. Lexposant cherché étant le logarithme en base 10 de 2,8, on cherche donc x tel que : x = log 2,8 On peut alors résoudre en utilisant la calculatrice et on trouve : x = log 2,8 = 0, On peut maintenant exprimer 2,8 en base 10 en posant : 2,8 = 10 0,

9 Exemple Exprimer le nombre 7,3 en base e. S Pour exprimer 7,3 en base e, on doit trouver lexposant auquel il faut élever e pour obtenir 7,3, soit la valeur de x pour laquelle : e x = 7,3 La définition de logarithme permet décrire cette équation sous forme logarithmique. Lexposant cherché étant le logarithme en base e de 7,3, on cherche donc x tel que : x = ln 7,3 On peut alors résoudre en utilisant la calculatrice et on trouve : x = ln 7,3 = 1, On peut maintenant exprimer 7,3 en base 2 en posant : 7,3 = e 1,

10 Exemple Soit N, un nombre réel tel que log b N = 3, trouver log b N 2. S Par hypothèse, log b N = 3. On a alors : N = b 3 En élevant les deux membres de léquation à lexposant 2, on obtient : N 2 = (b 3 ) 2 Par les propriétés des exposants, on a : N 2 = b 6 En écrivant cette équation sous forme logarithmique, on obtient : log b N 2 = 6

11 Expression affectée dun exposant On peut généraliser le résultat de lexemple précédent de la façon suivante. Considérons un nombre N dont le logarithme en base b est n. On a alors : log b N = n N = b n, en exprimant sous forme exponentielle; N p = (b n ) p =b np, en élevant à lexposant p; N p = b np, par commutativité de la multiplication ; log b N p = pn, en exprimant sous forme logarithmique. On obtient donc la propriété suivante : log b N p = p log b N que nous considérons comme un théorème.

12 Exemple Résoudre léquation exponentielle suivante : S Pour résoudre cette équation, il faut utiliser une base de calcul. En utilisant la base 10, on a alors : 3 x = 24 3 x = 24 log 3 x = log 24, x log 3 = log 24, par la propriété log b N p = p log b N; en divisant les deux membres par log 3; par calculatrice. REMARQUE On parvient au même résultat en utilisant la base e. En effet, en prenant le logarithme en base e des deux membres de léquation exponentielle, on obtient : x = log 24 log 3, x = 1, , = 2,8927…, 3, , = 2,8927… x = x = ln 24 ln 3 = S

13 S S Changement de base Considérons les expressions équivalentes En prenant le logarithme en base b des deux membres de lexpression exponentielle, on obtient : a n = N n = log a N a n = N log b a n = log b N, n log b a = log b N, par la propriété log b N p = p log b N; en isolant n dans léquation; puisque n = log a N. Ce résultat est appelé théorème de changement de base. n = log b N log b a, log a N = log b N log b a, Soit a et b, deux nombres réels positifs et différents de 1, et N, un nombre réel positif (ou une expression algébrique), alors : log a N = log b N log b a

14 Exemple On place un montant de $ à un taux dintérêt de 9 % capitalisé annuellement. Déterminer dans combien de temps le capital aura doublé. S Le modèle est C(n) = (1,09) n. Le temps nécessaire pour doubler le capital est le temps n pour lequel : (1,09) n = doù :(1,09) n = 2, en divisant les deux membres par Cela donne : À ce taux, le capital aura doublé dans huit ans. n = log 1,09 2 = log 2 log 1,09 = 8,04

15 Propriétés 1. MN = b m b n = b m + n Propriétés des exposantsPropriétés des logarithmes 1. log b MN = log b M + log b N 3. M p = (b m ) p = b pm 3. log b M p = p log b M 4. b 0 = 1 4. log b 1 = 0 5. b 1 = b 5. log b b = 1 2. log b MNMN = log b M – log b N Pour tout m, n et p et pour tout b et a R 6. a n b n = (ab) n 7. anbnanbn = abab n Autres propriétés des exposants 8. b –n = 1bn1bn, si b b 1/n =, sauf si b < 0 et n pair. b n 10. b m/n =, sauf si b < 0 et n pair. bmbm n b n = m bmbnbmbn MNMN 2. = b m – n =

16 Équation logarithmique DÉFINITION Équation logarithmique Une équation logarithmique est une équation qui comporte le logarithme dune inconnue. Pour résoudre une telle équation, on se sert de léquivalence suivante : log b N = n si et seulement si b n = N Pour utiliser léquivalence qui permet décrire une équation logarithmique sous forme exponentielle, il faut que léquation logarithmique ne comporte quune seule expression logarithmique. On ne peut avoir de somme ou de différence dexpressions logarithmiques. REMARQUE Il faut parfois utiliser les propriétés des logarithmes pour regrouper les termes, ce qui peut avoir pour effet dintroduire des solutions étrangères. Il faut donc, après avoir résolu léquation, vérifier si les valeurs obtenues sont bien des solutions de léquation de départ.

17 Exemple Trouver x tel que log 2 (x – 2) + log 2 (x + 6) = 7. S log 2 [(x – 2)(x + 6)] = 7, par la propriété log b M + log b N = log b MN; (x – 2)(x + 6) = 2 7, puisque log b N = n si et seulement si b n = N; x 2 + 4x – 12 = 128 x 2 + 4x – 140 = 0 (x + 14)(x – 10) = 0, en regroupant;, en factorisant; Par lintégrité des nombres réels, ce produit sannule lorsque x = –14 et lorsque x = 10. En substituant –14 à x dans léquation initiale, on a : log 2 (–16) + log 2 (–8) = 7 Or, le logarithme dun nombre négatif nest pas défini,–14 nest donc pas une solution. En substituant 10 à x dans léquation initiale, on a : log 2 (8) + log 2 (16) = 7 Or, log 2 (8) = 3 et log 2 (16) = 4. On a donc une égalité vraie et 10 est la solution cherchée.

18 Fonction logarithmique On peut trouver la fonction inverse dune fonction exponentielle de la forme f(x) = b x en isolant la variable indépendante. Puisque f(x) représente la valeur de la variable dépendante y, on a : y = b x f(x) = log b x. Par définition des logarithmes : En intervertissant les identificateurs de la variable indépendante et de la variable dépendante, on a y = log b x. Ainsi, la fonction inverse de f(x) = b x est la fonction : x = log b y S Le graphique de la fonction inverse peut être esquissé en ayant recours à la propriété de symétrie par rapport à la droite déquation y = x. Fonctions décroissantes 0 < b < 1 Fonctions croissantes b > 1 x y x y

19 Fonction logarithmique DÉFINITION Fonction logarithmique Soit b, un nombre réel tel que b > 0 et b 1. On appelle fonction logarithmique en base b toute fonction dont la définition est de la forme : f(x) = a log b x + c où b est la base de la fonction logarithmique et a et c des constantes. a, b et c sont les paramètres dune relation logarithmique. La fonction nest définie que pour x > 0. Le domaine dune fonction logarithmique est lintervalle ]0; [ et son codomaine est lensemble des nombres réels.

20 S SSSS Exemple Contrôle de la qualité Une entreprise fabrique des feuilles avec un matériau dont le coefficient dabsorption des rayons X est de 2, cest-à-dire : I(x) = I 0 e –2x où x est mesuré en millimètres. Déterminer la fonction permettant de trouver lépaisseur x de la feuille, connaissant lintensité du faisceau de rayons X ayant traversé cette feuille. On obtient la fonction cherchée en isolant x dans I = I 0 e –2x. En prenant le logarithme des deux membres de léquation, on a : ln I = ln I 0 e –2x ln I = ln I 0 + ln e –2x, comme logarithme dun produit; ln I = ln I 0 – 2x, par la définition de logarithme; 2x = ln I 0 – ln I, doù : x =x = 1212 I0II0I ln Supposons que lintensité à lentrée est de 10 unités. Trouver lépaisseur de la feuille laissant filtrer un faisceau de 3 unités. Lintensité à lentrée étant de 10 unités, lépaisseur de la feuille laissant filtrer un faisceau de 3 unités est donnée par : x(3) = ln = 0,60 Lépaisseur de la plaque est de 0,60 mm. Donner un tableau de valeurs permettant de déterminer lépaisseur dune feuille en fonction de lintensité du faisceau de rayons X à la sortie, en supposant toujours que I 0 = 10. x(I) = 1212 I0II0I ln Intensité à la sortieÉpaisseur ,05 0,11 0,18 0,26 0,35 0,46 0,60 0,80 1,15

21 Calcul du pH Dans la théorie générale des acides (Bronsted-Lowry), le pH est une fonction de [H ] : pH = f([H ]) Et : Cette équation est de la forme : Pour un acide fort, on a pH = –log([H ]), ce qui définit une fonction logarithmique entre la variable dépendante pH et la variable indépendante [H ]. Pour un acide faible, on a [H ] 2 K a [HA 0 ], où [HA 0 ] est la concentration initiale de lacide. y = a log x + c [H ] = K a [HA 0 ] pH = log[H ] = 1212 log K a [HA 0 ] Doù : pH = – 1212 log[HA 0 ] +, où pK a = –log K a log[HA 0 ]

22 Exemple Après dissolution dun acide, on a [H 3 O + ] = 5,80 10 –7. Déterminer le pH de cet acide. S Puisque pH = –log([H ]), on a : pH = –log(5,8 10 Ð7 ) = –(log 5,8 + log 10 –7 ) = –(0, – 7) = –(–6, ) = 6, Dans le calcul dun logarithme, la règle de présentation des résultats est la suivante : le nombre de décimales du logarithme est égal au nombre de chiffres significatifs dans le nombre initial. Dans le présent exemple, on doit donc arrondir à deux décimales et le pH de cet acide est 6,24.

23 Temps de dédoublement Dans les phénomènes de croissance dorganismes vivants (bactéries, virus ou cellules), la relation entre le nombre dorganisme, et le temps est presque toujours une fonction exponentielle. On caractérise souvent ces phénomènes par leur temps de dédoublement (TD) ou « doubling time » en anglais. Le temps de dédoublement est le temps nécessaire pour que le nombre dorganismes soit le double du nombre initial. Le temps de dédoublement est le temps nécessaire pour que le nombre dorganismes soit le double du nombre initial.

24 Exemple Dans une culture, le nombre dorganismes présents est donné par : S N = N ,2t, On cherche t tel que N ,02t = 2N 0. Cela donne : où N est le nombre dorganismes et t, le temps en heures. Déterminer le temps de dédoublement de ces organismes. 10 0,2t = 2, en divisant les deux membres par N 0 ; log(10 0,02t ) = log 2, en prenant le logarithme des deux membres; 0,02t log10 = log 2, en appliquant les propriétés ; 0,02t = log 2, puisque log10 = 1; t =, en divisant les deux membres par 0,02; log 2 0,02 t =15,05..., en effectuant les calculs. On peut estimer que le temps de dédoublement est TD = 15 heures.

25 Procédure directe On peut développer une procédure directe pour obtenir le temps de dédoublement en faisant la même démarche avec des paramètres plutôt que des valeurs particulières. S Si N = N 0 b t, alors le temps de dédoublement est la valeur de t telle que : N 0 b t = 2N 0, doù b t = 2 et : t =t = ln 2 ln b = log b 2 = log 2 log b Le temps de dédoublement est donc : TD = 0,693 ln b = log b 2 = 0,301 log b Si N = N 0 10 kt, alors le temps de dédoublement est la valeur de t telle que N 0 10 kt = 2N 0, doù 10 kt = 2. Cela donne, selon la base utilisée : Si N = N 0 e kt, alors le temps de dédoublement est la valeur de t telle que N 0 e kt = 2N 0, doù e kt = 2. Cela donne, selon la base utilisée : TD = ln 2 k ln 10 0,693 2,303k = TD = log 2 k 0,301 k = ou TD = ln 2 k 0,693 k = TD = log 2 k log e 0,301 0,434k = ou

26 Conclusion Grâce aux logarithmes, on peut déterminer des constantes caractérisant des phénomènes comme le temps de dédoublement ou la demi-vie ou encore le pH dun acide. Les logarithmes sont loutil indispensable pour résoudre des équations exponentielles et ils permettent de définir la fonction inverse dune fonction exponentielle. Un logarithme est un exposant par rapport à une base donnée. Tout nombre positif et différent de 1 peut servir comme base dun logarithme.

27 Exercices Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 4.4, p. 114 à 116. Lecture Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 4.3, p. 103 à 114.


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