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Systèmes déquations du premier degré à deux variables y 1 = ax + b y 2 = ax + b Introduction.

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1 Systèmes déquations du premier degré à deux variables y 1 = ax + b y 2 = ax + b Introduction

2 Un système déquations est un ensemble de deux ou plusieurs équations. y 2 = 2x + 5 y 1 = 3x + 2 Nombre de planches Salaires comparés Montant gagné ($) Si toutes les relations formant le système sont linéaires, le système est également qualifié de linéaire.

3 Résoudre un système d'équations, cest déterminer les coordonnées du point pour lequel les deux équations sont égales. y 2 = 2x + 5 y 1 = 3x + 2 Couple solution (3, 11) Le point d'intersection des 2 courbes est le couple solution du système. Nombre de planches Salaires comparés Montant gagné ($)

4 Exemple :Deux amis travaillent dans deux entreprises de fabrication de planches à neige. Tous les deux préparent la finition des planches. Le premier reçoit quotidiennement un salaire de base de 2 $ plus 3 $ par planche; l'autre reçoit quotidiennement un salaire de base de 5 $ plus 2 $ par planche. À partir de combien de planches, les deux auront-ils gagné le même montant ? 1 ère étape : x :le nombre de planches y :le montant gagné 2 e étape : Identifier les variables. Établir le système (cest-à-dire, trouver les équations). y 1 = 3x + 2 y 2 = 2x + 5 et 3 e étape :Résoudre le système pour lesquelles les équations sont égales). (cest-à-dire chercher les valeurs de x et de y Il est donc essentiel de bien lire la situation. le montant gagné = 3,00$ par planche + 2,00$ (salaire de base) le montant gagné = 2,00$ par planche + 5,00$ (salaire de base)

5 Pour résoudre un système, on peut utiliser plusieurs méthodes. Par une table de valeurs : x y 1 = 3x + 2 y 2 = 2x e étape :Résoudre le système On peut remarquer que lorsque les deux amis auront fini 3 planches, ils auront le même salaire. y 1 = 3 x + 2y 2 = 2 x = 3 X = 2 X Le couple solution ou l'ensemble-solution de cette situation est donc(3, 11). 4 e étape :(cest-à-dire, vérifier si les calculs donnent la même réponse pour les deux équations). Valider la solution Pour une même valeur de la variable x(x = 3),la valeur de la variable y est la même dans les deux équations (y 1 = y 2 = 11).

6 Par une table de valeurs : x y 1 = 3x + 2 y 2 = 2x + 5 La table de valeurs est un procédé intéressant quand on possède une calculatrice à affichage graphique (comme la TI-80). Remarque 3 e étape :Résoudre le système Pour des valeurs entières de x et de y, la recherche est assez simple; cependant, pour des valeurs fractionnaires ou décimales, la recherche peut devenir fastidieuse.

7 Par un graphique : y 2 = 2x + 5 y 1 = 3x + 2 Couple solution (3, 11) Le point d'intersection des 2 courbes est le couple solution du système. La méthode graphique est intéressante, car elle présente la solution d'un seul coup d'œil; cependant, elle est rarement précise. Nombre de planches Salaires comparés Montant gagné ($) e étape :Résoudre le système

8 Par résolution algébrique : y 2 = 2x + 5 y 1 = 3x + 2 Nombre de planches Salaires comparés Montant gagné ($) À ce point précis, En utilisant cette égalité, on peut résoudre le système rapidement et précisément en procédant par équivalence algébrique. les deux équations sont égales.

9 La méthode de comparaison Cette méthode consiste à comparer les deux équations en utilisant le raisonnement ci-dessous. Pour calculer y 1, on doit utiliser y 1 = 3x + 2 Pour calculer y 2, on doit utiliser y 2 = 2x + 5 Sachant quau point dintersection y 1 = y 2 alors 3x + 2 = 2x + 5 On se retrouve alors avec une équation dans laquelle il ny a quune seule variable. Équation avec 2 variables. On peut alors isoler x pour trouver sa valeur. On compare ainsi les deux équations. 3x + 2 = 2x + 5

10 On peut alors isoler x pour trouver sa valeur. 3x + 2 = 2x x = 2x + 3-2x x = 3 Connaissant la valeur de x, on peut calculer la valeur de y avec une ou lautre des équations. y 1 = 3 x + 2y 2 = 2 x = 3 X = 2 X Couple solution : (3, 11) Remarque :La méthode algébrique est la méthode la plus précise.

11 Problème Maxime a planté un arbre de 135 cm de hauteur près de sa maison. Cet arbre croît au rythme de 15 cm par année. Anne-Lyne, sa sœur, a planté un arbre dune autre espèce qui mesure 75 cm de hauteur, mais qui croît de 20 cm par année. 1 ère étape : x :le nombre dannées y :la hauteur de larbre 2 e étape : Identifier les variables. Établir le système : y 1 = 15x y 2 = 20x + 75et 3 e étape :Résoudre le système par la méthode de comparaison. Sachant quun point de rencontre y 1 = y 2 alors 15x = 20x + 75 A) Après combien dannées, les arbres seront-ils de la même hauteur ? B) Quel sera la hauteur de ces arbres ?

12 15x = 20x x + 60 = 20x-15x 60 = 5x = x 5 e étape : Valider la solution en vérifiant avec les deux équations. y 1 = 15x + 135y 2 = 20x = 15 X = 20 X Couple solution :(12, 315) Connaissant la valeur de x, on peut calculer la valeur de y avec une ou lautre des équations. 4 e étape : y 1 = 15x = 15 X

13 Ensemble-solution :(12, 315) A) Après combien dannées, les arbres seront-ils de la même hauteur ? B) Quel sera la hauteur de ces arbres ? Réponse : 12 ans Réponse : 315 cm


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