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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Modélisation.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Modélisation exponentielle

2 Introduction Les phénomènes de croissance et de décroissance (culture cellulaire, phénomène dabsorbance,...) dans les domaines aussi bien scientifiques que techniques sont presque toujours décrits et analysés à laide de modèles exponentiels. Croissance dune population, augmentation de la pollution, accroissement de la demande énergétique, croissance de capital, augmentations salariales, dépréciation de la machinerie et des automobiles sont des phénomènes décrits et étudiés à laide de ces modèles. On reconnaît un modèle exponentiel au fait que la variable indépendante est à lexposant. Cette présentation porte sur la modélisation de situations par des modèles exponentiels, ce qui nous permettra de reconnaître les caractéristiques de situations nécessitant lutilisation de ce type de modèles. Nous procéderons à partir de mises en situation.

3 Croissance dun capital Un capital de $, que nous représentons par C 0 est placé à un taux dintérêt de 6 % capitalisé annuellement. On peut calculer quelques valeurs pour représenter graphiquement le lien entre les variables. C(1) = C 0 (1 + 0,06) = 1,06C 0 C(2) = C(1) (1 + 0,06) = (1,06) 2 C 0 C(3) = C(2) (1 + 0,06) = (1,06) 3 C 0 ………………………………… C(n) = (1,06) n C C 0 1,26C 0 1,59C 0 2,01C 0 2,54C 0 3,21C 0 4,05C 0 nC Notons C(1), le capital accumulé dans un an. Ce capital est constitué du placement C 0 auquel sajoute 6 % du capital, soit : Après deux ans, le capital sera : Au bout de n années, on a : n C 4C03C02C0C04C03C02C0C0

4 Décroissance exponentielle Dans les spécifications dun appareil, on précise que, lorsquon coupe lalimentation du moteur, la roue dinertie perd 15 % de sa vitesse à chaque minute. On peut calculer quelques valeurs pour représenter graphiquement le lien entre les variables. V(1) = V 0 (1 – 0,15) = 0,85V 0 V(2) = V(1) (1 – 0,15) = (0,85) 2 V 0 V(3) = V(2) (1 – 0,15) = (1,06) 3 V 0 ………………………………… V(n) = (1,06) n V V 0 0,73V 0 0,52V 0 0,38V 0 0,27V 0 0,20V 0 0,14V 0 nV Notons V(1), la vitesse une minute après la coupure de lalimentation et exprimons-la en fonction de la vitesse initiale V 0. On a alors : Après deux minutes : Au bout de n minutes, on a : n4812 V V0V0 0,6V 0 0,4V 0 0,2V 0 0,8V 0

5 Fonction exponentielle DÉFINITION Fonction exponentielle Soit b, un nombre réel tel que b > 0 et b 1. On appelle fonction exponentielle toute fonction définie par une expression de la forme : y = ab x où b est la base de la fonction exponentielle. Une fonction exponentielle est donc une fonction dont la variable indépendante est à lexposant. Le domaine dune fonction exponentielle est lensemble des nombres réels et son codomaine est lintervalle ]0; [. b > 1 0 < b < 1 Fonction décroissante, concave vers le haut. Fonction croissante, concave vers le haut. x y x y

6 Exemple On place insectes dans un espace clos ne contenant aucune substance nutritive. On observe que les insectes meurent au taux de 1,8% par jour. Déterminer un modèle mathématique décrivant le nombre dinsectes après n jours. S Posons n, le nombre de jours écoulés depuis le début de lexpérience et V, le nombre dinsectes vivants. V(n) = V 0 (1 – r) n S Le phénomène est caractérisé par une décroissance exprimée en pourcentage par unité de temps, soit 1,8% par jour. On a donc un modèle de la forme : où le nombre initial dinsectes est V 0 = et r = 0,018. Le modèle est donc : V 0 0,80V 0 0,65V 0 0,52V 0 0,42V 0 0,34V 0 0,27V 0 nV V(n) = (0,982) n Combien restera-t-il dinsectes vivants 24 jours après le début de lexpérience? On doit déterminer limage par la fonction. Cela donne : S V(24) = (0,982) 24 = ,19 Après 24 jours, il devrait y avoir environ insectes vivants. S Esquisser le graphique de la fonction décrivant le nombre dinsectes vivants durant les 72 jours de lexpérience. Même si lallure générale de la courbe est connue, il faut calculer quelques correspondances. V V0V0 0,6V 0 0,4V 0 0,2V 0 0,8V 0 n244872

7 Caractéristique du modèle exponentiel Les modèles obtenus dans les situations présentées en introduction sont de la forme y = ab x. Dans la première situation, le capital croît de 6% par année. La base de lexponentielle est alors : Dans la deuxième situation, la vitesse décroît de 15% par minute. Dans ce cas, la base de la fonction exponentielle est : b = 1 + r = 1 + 0,06 = 1,06 et a = $, cest le capital initial. b = 1 – r = 1 – 0,15 = 0,85 et la vitesse initiale est a = 250 t/min. Ces situations sont caractérisées par le fait que : la variation de la variable dépendante peut sexprimer en pourcentage (sans unité) par unité de la variable indépendante. Cest ainsi que lon reconnaît une situation descriptible par un modèle exponentiel.

8 Critère algébrique du modèle exponentiel Dans les situations présentées en introduction, notre démarche de modélisation a permis détablir les relations suivantes : C(1) = 1,06 C(0) C(2) = 1,06 C(1) C(3) = 1,06 C(2)... C(n + 1) = 1,06 C(n) On constate quon peut décrire cette caractéristique des modèles exponentiels par lexpression : V(1) = 0,85 V(0) V(2) = 0,85 V(1) V(3) = 0,85 V(2)... V(n + 1) = 0,85 V(n) Modélisation du capitalModélisation de la vitesse f(x f(x + 1) = (1 + r )f(x))f(x) Si r > 0, le modèle décrit un phénomène de croissance et si r < 0, le modèle décrit un phénomène de décroissance. De façon plus générale, lorsque le pas est p, la relation est exponentielle lorsque : f(x f(x + p) = (1 + r)f(x)r)f(x) S Lexistence dun lien exponentiel pour des données à pas constant est confirmée si le rapport : f(x f(x + p)p) f(x)f(x) = bp bp est constant

9 Exemple Un matériau a été soumis à des tests pour déterminer sa capacité dabsorption des rayons X. On a utilisé des plaques de différentes épaisseurs que lon a soumises au bombardement dun faisceau de rayons X dont lintensité est de 2,400 unités et on a mesuré lintensité du faisceau de lautre côté de la plaque. Les résultats de ces mesures ont été compilés dans le tableau ci-contre. Déterminer un modèle mathématique décrivant ce phénomène. SSS ,400 1,872 1,460 1,140 0,888 0,693 0,540 0,422 0,329 xI – 0,780 0,779 0,781 0,779 0,780 0,779 0,800 0,775 La représentation graphique donne une courbe décroissante et concave vers le haut. La correspondance est définie lorsque la variable indépendante est nulle et la valeur correspondante est non nulle. On peut faire lhypothèse dun lien exponentiel entre les variables. I(x+p)I(x)I(x+p)I(x) Vérifions cette hypothèse On constate que les rapports sont relativement constants et la valeur moyenne de ces rapports est 0,7815. En utilisant cette valeur comme base de lexponentielle et la valeur initiale est 2,400, le modèle est donc : I(x) = 2,400 (0,7815) x I 2,4 2,0 1,6 1,2 0,8 0,4 x2468 À laide du modèle, trouver lintensité du faisceau qui a traversé une plaque de 2,6 cm de ce matériau. S On doit déterminer limage de 2,6 par le modèle. I(2,6) = 2,400 0,7815 2,6 = 1, En tenant compte de la précision des données, on acceptera que lintensité du faisceau ayant traversé une plaque de 2,6 cm dépaisseur est de 1,264 unités.

10 Exemple Sachant quune population croît de façon exponentielle, trouver le modèle décrivant la population dune petite ville à laide des relevés du tableau ci-contre où la population P est en milliers dhabitants. SSS ,0 16,0 17,5 18,8 20,3 n P – 1,07 1,09 1,07 1,08 Les relevés ayant été faits aux cinq ans, on considérera comme variable indépendante le nombre n de périodes de cinq années écoulées depuis La variable dépendante est la population P en milliers dhabitants. P(n+p)P(n)P(n+p)P(n) S La valeur moyenne des rapports est 1,0775. En utilisant cette valeur comme base du modèle exponentiel, la description algébrique est : P(n) = P 0 (1,0775) n = 15,0 (1,0775) n Calculons les rapports. P(n) = P 0 (1,0775) n = 15,0 (1,0775) n À laide du modèle, estimer la population en lan En lan 2030, il y aura 14 périodes de cinq ans découlées depuis On cherche donc la valeur de P pour n = 14. Cela donne : P(8) = 15,0 (1,0775) 14 = 42, On peut donc estimer la population de lan 2030 à environ habitants. P(t) = 15,0 (1 + 0,0775) t/5 = 15,0 (1,01504) t On peut exprimer le modèle exponentiel de telle sorte que la variable indépendante soit le nombre dannées. Pour ce faire, on doit déterminer une base a telle que : REMARQUE a 5 = 1,0775 En résolvant cette équation, on trouve : a = (1,0775) 1/5 = 1,01504 Le modèle est alors : où t est le temps en années. Dans ce problème, on na pas à faire dhypothèse sur le lien entre les variables car on indique dans la question que ce lien est exponentiel.

11 Exemple C alcul de la valeur initiale Certaines bactéries triplent tous les cinq jours. Avec combien de bactéries devrait-on ensemencer une culture si on désire compter bactéries dans 20 jours? S La variable indépendante est t, le nombre de jours écoulés depuis le début de lexpérience et la variable dépendante est N, le nombre de bactéries. Le phénomène est caractérisé par une croissance exprimée par un taux dont le numérateur na pas dunités. On peut décrire le lien entre les variables par un modèle de la forme : N(t) = N 0 b t On sait que b = 3 1/5, donc que N(t) = N 0 (3 1/5 ) t. On peut également écrire cette relation sous la forme : N(t) = N 0 3 t/5 où t est le temps exprimé en jours. N(t) = N 0 3 t/5 On doit calculer N 0 pour que N = N 0 3 t/5 = lorsque t = 20. On doit calculer N 0 pour que N = N 0 3 t/5 = lorsque t = 20. En posant t = 20 dans le modèle, on a : N /5 = , doù N = En isolant N 0 dans cette équation, on obtient : N0 =N0 = = Il faudrait ensemencer environ 1, bactéries pour en obtenir 12 millions en 20 jours.

12 C(n) = 4 500(1 + i) 8 Exemple C alcul du taux À quel taux capitalisé annuellement faut-il placer un montant de $ pour accumuler un montant de $ en 8 ans? S La variable indépendante est i, le taux dintérêt et la variable dépendante est C, le capital accumulé. Le phénomène est caractérisé par une croissance exprimée par un pourcentage par unité de temps. On peut donc décrire le lien entre les variables par un modèle de la forme : C(i) = C 0 (1 + i) 8 Puisque C 0 = 4 500, on a : où n est le temps exprimé en année. C(n) = 4 500(1 + i) 8 On cherche le taux i pour lequel C = On cherche donc i tel que : 4 500(1 + i) 8 = En extrayant la racine huitième, 1 + i = ± 1,0905 Puisque i est un taux dintérêt, la valeur négative est à rejeter et on a 1 + i = 1,0905, doù i = 0,0905. Doù :(1 + i) 8 = 2 Pour doubler le capital en 8 ans, il faut le placer à un taux de 9,05 % capitalisé annuellement. S

13 Équation dArrhenius On connaît souvent la forme générale du modèle décrivant la relation entre deux variables. Pour adapter cette forme générale à un cas particulier, il faut utiliser les données du problème et déterminer la valeur de certains paramètres. On peut alors utiliser le modèle pour traduire la question, effectuer les calculs et répondre à la question posée. où k est la constante de vitesse (L/mol·s), A, est une constante, E a, lénergie dactivation (J/mol), R, la constante molaire des gaz (R = 8,315 J/K·mol) et T, la température en degré kelvins (K). Léquation dArrhenius décrit la relation entre la constante de vitesse k dune réaction chimique et la température. Cette équation sécrit : k = Ae –E a /RT

14 Exemple Lénergie dactivation de la réaction S Déterminer léquation dArrhenius pour cette réaction chimique. On doit déterminer la valeur de A dans léquation dArrhenius, sachant que :k = 1,0 10 –10 L/mol·s, E a = 111 kJ/mol et T = 300 K. S 2NO 2 (g) 2NO 2 (g) + O 2 (g) est de 111 kJ/mol. À une température de 300 K, sa constante de vitesse est de 1,0 10 –10 L/mol·s En isolant A dans la forme générale de léquation dArrhenius, on a : A =A = k e –E a /RT, doù A = 1,0 10 –10 e –111000/8, = = 2, La relation entre la constante de vitesse de cette réaction et la température en kelvin est : k = 2, e –111000/8, T On cherche la constante de vitesse k à une température T = 273 K. En substituant la valeur de T, on trouve : k = 2, e –111000/8, –12 À 273 K, la constante de vitesse est de 1,2 10 –12 L/mol·s. Quelle est la constante de vitesse à 273 K?

15 Conclusion Lorsque lon sait que le lien entre les variables est exponentiel, on peut substituer des données pour déterminer la valeur des paramètres dans un cas particulier. Lorsque la variation de la variable dépendante peut sexprimer en pourcentage (sans unité) par unité de la variable indépendante, on peut établir un modèle exponentiel pour décrire le lien entre les variables Lexistence dun lien exponentiel pour des données à pas constant est confirmée si le rapport : Lorsquon veut modéliser des données expérimentales à pas constant : f(x + p) f(x) = b p est constant

16 Exercices Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 4.2, p. 101 et 102. Lecture Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 4.1, p. 91 à 100.


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