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Mathématiques SN MODULE 6 La fonction EXPONENTIELLE.

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1 Mathématiques SN MODULE 6 La fonction EXPONENTIELLE

2 Rappels sur la notion dexposant Mathématiques SN - La fonction EXPONENTIELLE - base exposant = puissance TERMINOLOGIE Ex. : 3 2 = 9 LOIS DES EXPOSANTS a m a n = a m + n amamamam anananan = a m – n (ab) m = a m b m ab = amamamam bmbmbmbm m a - m = 1 amamamam (a m ) n = a mn

3 Équations et graphique Mathématiques SN - La fonction EXPONENTIELLE - f(x) = c x (forme générale de BASE) f(x) = ac b(x – h) + k (forme générale TRANSFORMÉE) f(x) = ac x – h + k (forme CANONIQUE) f(x) = 2 x Exemple : f(x) = 3 2 4(x – 3) + 5 Exemple : f(x) = 3 2 x – Exemple :

4 Équations et graphique Mathématiques SN - La fonction EXPONENTIELLE - xf(x) ½ -2¼ f(x) = 2 x (forme générale de BASE où c 1 ) 1 1

5 Équations et graphique Mathématiques SN - La fonction EXPONENTIELLE - xf(x)0 1 1 ½ 2¼ 3 0, f(x) = ( ) x (forme générale de BASE où c ] 0,1 [ )

6 Équations et graphique Mathématiques SN - La fonction EXPONENTIELLE - xf(x) ½ -2 - ¼ f(x) = - 2 x (forme générale TRANSFORMÉE où a = -1) 1 1

7 Équations et graphique Mathématiques SN - La fonction EXPONENTIELLE - xf(x)0 1 1 ½ 2¼ f(x) = 2 -x (forme générale TRANSFORMÉE où b = -1) 1 1

8 Équations et graphique Mathématiques SN - La fonction EXPONENTIELLE - xf(x)0 - 4, , ,9 f(x) = 2 3 x – 1 – 5 (forme générale TRANSFORMÉE) 1 1 y = - 5 (asymptote)

9 Équations et graphique Mathématiques SN - La fonction EXPONENTIELLE - f(x) = a c b(x – h) + k (forme générale TRANSFORMÉE) 1 1 y = k (asymptote) y = k Équation de lasymptote Dom f = Dom f = Ima f = ] k, + c 1 c ] 0,1 [

10 Résolutions déquations Mathématiques SN - La fonction EXPONENTIELLE - 2 méthodes : 1- Exprimer les 2 membres de léquation avec la même base exponentielle 2- Utiliser les logarithmes Exemple #1 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = 11 (7 2x – 1 ) – 539.

11 7 2 = 7 2x – 1 Exemple #1 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = 11 (7 2x – 1 ) – = 11 (7 2x – 1 ) – 539 Réponse : x { } 539 = 11 (7 2x – 1 ) 49 = 7 2x – 1 2 = 2x – 1 3 = 2x = x

12 Exemple #2 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = (6 x+1 ) – = (6 x+1 ) – = (6 x+1 ) = 6 x = 6 x+1 3 = x = x Réponse : x { 2 }

13 ( ) 4 = ( ) 3x Exemple #3 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = 625 ( ) 3x – = 625 ( ) 3x – 1 15 = ( ) 3x 1625 = x = x Réponse : x { } 15 = ( ) 3x = 3x 43 43

14 2 -16x = 2 -10x + 18 Exemple #4 : Résoudre ( ) 8x = 2 -10x ( ) 8x = 2 -10x + 18 Réponse : x { -3 } (2 -2 ) 8x = 2 -10x x = -10x = 6x -3 = x

15 Résolutions dinéquations Mathématiques SN - La fonction EXPONENTIELLE - Exemple : Trouver lensemble-solutions de (3 -0,08x ) < (3 -0,08x ) < 52 y = - 26 (asymptote) y = (3 -0,08x ) < ,08x < 3 -0,08x < ,08x < -1 x 12,5 13 Réponse : x ] 12,5, + x ] 12,5, +

16 Recherche de léquation Mathématiques SN - La fonction EXPONENTIELLE - Exemple : Trouver léquation de la fonction exponentielle à laide des informations suivantes : informations suivantes : a)La courbe passe par les points A(1, -20) et B(3, -500) et léquation de lasymptote est y = 0. léquation de lasymptote est y = 0. A) À partir déléments du GRAPHIQUE

17 Exemple : Trouver léquation de la fonction exponentielle à laide des informations suivantes : informations suivantes : Réponse : f(x) = - 4 (5) x a)La courbe passe par les points A(1, - 20) et B(3, - 500) et léquation de lasymptote est y = 0. léquation de lasymptote est y = 0. f(x) = ac x + k (forme CANONIQUE où h = 0) - 20 = ac (avec le point A) = ac (avec le point B) (1) (2) (2) / (1) : Système déquation = ac = ac 1 25 = c 2 5 = c (3) (3) dans (1) : - 20 = a(5) = a

18 Exemple : Trouver léquation de la fonction exponentielle à laide des informations suivantes : informations suivantes : Réponse : f(x) = 8 (3) x + 5 b) La courbe passe par les points A(1, 29) et B(4, 653) et léquation de lasymptote est y = 5. léquation de lasymptote est y = 5. f(x) = ac x + k (forme CANONIQUE où h = 0) 29 = ac (avec le point A) 653 = ac (avec le point B) (1) (2) (2) / (1) : Système déquation 648 = ac 4 24 = ac 1 27 = c 3 3 = c (3) (3) dans (1) : 24 = a(3) 1 8 = a 24 = ac = ac 4

19 B) À partir dun problème de « TAUX DINTÉRÊTS » … Formule « utile » pour ce genre de problème… C(t) = C o (1 + ) kt ik Capital accumulé Capital initial Nombre de fois de C(t) est capitalisé Taux dintérêt Temps

20 Exemple : On place 1000$ dans une banque pour 3 ans à un taux dintérêt annuel de 5%. On toffre trois options. a) Lintérêt est ajoutée au capital annuellement. b) Lintérêt est ajoutée au capital aux 4 mois. c) Lintérêt est ajoutée au capital à chaque mois. Laquelle est la plus avantageuse ? C(t) : Ce quon cherche C o = 1000 $ Données i = 5% k = 1 fois par année (en a) 3 fois par année (en b) 3 fois par année (en b) 12 fois par année (en b) C(t) = 1000 (1 + ) 1t C(t) = 1000 (1,05) t C(3) = 1000 (1,05) 3 Après 3 ans… a) Règle générale… C(3) 1157,63 Réponse : 1157,63 $ 0,05 1

21 Exemple : On place 1000$ dans une banque pour 3 ans à un taux dintérêt annuel de 5%. On toffre trois options. a) Lintérêt est ajoutée au capital annuellement. b) Lintérêt est ajoutée au capital aux 4 mois. c) Lintérêt est ajoutée au capital à chaque mois. Laquelle est la plus avantageuse ? C(t) = 1000 (1 + ) 3t C(t) = 1000 (1,01667) 3t C(3) = 1000 (1,01667) 3(3) Après 3 ans… b) Règle générale… C(3) 1160,40 Réponse : 1160,40 $ 0,05 3 C(t) = 1000 (1 + ) 12t C(t) = 1000 (1, ) 12t C(3) = 1000 (1, ) 12(3) Après 3 ans… c) Règle générale… C(3) 1161,47 Réponse : 1161,47 $ 0,0512 C(t) = 1000 (1 + ) 1t C(t) = 1000 (1,05) t C(3) = 1000 (1,05) 3 Après 3 ans… a) Règle générale… C(3) 1157,63 Réponse : 1157,63 $ 0,051

22 C) À partir dun problème de « BACTÉRIES » … Exemple : Une bactérie double toutes les 5 heures. Sil y avait 500 répliques de cette bactérie au départ, après combien de temps y en aura-t-il plus de ? f(x) = 500 (2) x/ = 500 (2) x/5 256 = (2) x/5 2 8 = 2 x/5 8 = x 5 40 = x Réponse : Après 40 heures.


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