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Économie pour les ingénieurs Chapitre 2 Les formules déquivalence et dintérêt.

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1 Économie pour les ingénieurs Chapitre 2 Les formules déquivalence et dintérêt

2 Plan du chapitre Lintérêt : le loyer de largent Léquivalence économique Lélaboration des formules dintérêt Les calculs déquivalence non classiques Les calculs par ordinateur Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

3 2.1 Lintérêt : le loyer de largent Les décisions en ingénierie impliquent souvent un arbitrage entre les bénéfices et les coûts qui sont réalisés à des périodes différentes dans le temps. Typiquement, on investit aujourdhui dans un projet pour en tirer des bénéfices dans lavenir. Ce chapitre examine comment on peut faire des comparaisons entre des bénéfices et des coûts qui sont réalisés à différentes périodes dans le temps. La clé de ces comparaisons est le taux dintérêt. Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

4 2.1 Lintérêt : le loyer de largent La valeur temporelle de largent –Largent possède un potentiel de profit dans le temps. –Un dollar reçu aujourdhui a plus de valeur quun dollar reçu à une date ultérieure. Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

5 2.1 Lintérêt : le loyer de largent Les éléments des transactions à intérêt –Capital (P) –Taux dintérêt (i) –Période dintérêt –Nombre de périodes dintérêt (N) –Plan des recettes ou des débours (paiements) (A) –Somme capitalisée (F) Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

6 Un diagramme de flux monétaire et la convention de fin de période Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

7 Les méthodes de calcul et lintérêt Lintérêt simple I S = iPN F = P + I = P + iPN = P(1 + iN) Lintérêt composé Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

8 Les méthodes de calcul et lintérêt Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt + = P(1 + i) 2 + P(1 + i) 2 i = P(1 + i) 3 P(1 + i) 2 iP(1 + i) = P(1 + i) + P(1 + i) i = P(1 + i) 2 P(1 + i) iP(1 + i)2 + = P + P i = P(1 + i) P iP1 Montant de la dette à la fin de la période Montant des intérêts Montant du prêt Début de période + = P(1 + i) N [ P(1 + i) N-1 ] i P(1 + i) N-1 N

9 Exemple Prêt de 1000 $ pendant 3 ans à un taux dintérêt simple de 5 %/an. Combien sera remboursé à la fin de trois ans ? Solution –Intérêt par année = 1000(0,05) = 50 $ –Intérêt total sur trois ans = 1000(3)(0,05) = 150 $ –Montant à rembourser à la fin de trois ans = = 1150 $ Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

10 Exemple Prêt de 1000 $ pendant 3 ans à un taux dintérêt composé de 5 %/an. Combien sera remboursé à la fin de trois ans ? Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

11 Exemple Solution –n = 1 : 1000,00(0,05) = 50,00 $ –Dette à la fin n = 1 : = 1050 $ –n = 2 : 1050,00(0,05) = 52,50 $ –Dette à la fin n = 2 : ,50 = 1102,50 $ –n = 3 : 1102,50(0,05) = 55,13 $ –Dette à la fin n = 3 : 1102, ,13 = 1157,63 $ Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

12 Exemple Solution (méthode plus rapide) –n = 1 : 1000,00(1,05) = 1050,00 $ –n = 2 : 1000,00(1,05) 2 = 1102,50 $ –n = 3 : 1102,50(0,05) 3 = 1157,63 $ Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

13 Commentaires La divergence entre lintérêt simple et lintérêt composé croît à chaque année. Avec les paramètres précédents: –Sur 10 ans la différence est de 128,90 $ –Sur 20 ans la différence est de 653,30 $ Manhattan Intérêt simple = capital x nombre de périodes x taux dintérêt Intérêt composé = (capital + intérêt couru) x taux dintérêt Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

14 2.2 Léquivalence économique Différentes sommes dargent à différents moments peuvent avoir la même valeur économique. Pris ensemble, la valeur temporelle de largent et le taux dintérêt permettent de développer le concept de léquivalence économique. Pour un taux dintérêt de 6 %/an, 100 $ aujourdhui et 106 $ dans un an sont équivalents. Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

15 2.2 Léquivalence économique On peut aussi examiner léquivalence pour les années antérieures en appliquant la même logique. La somme de 100 $ aujourdhui est équivalente à 94,34 $ (100$/1,06) il y a un an pour un taux dintérêt de 6 % par année. Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

16 2.2 Léquivalence économique Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

17 2.2 Léquivalence économique Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

18 2.3 Lélaboration des formules dintérêt Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

19 2.3 Lélaboration des formules dintérêt Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

20 Les tables dintérêt F = $(1 + 0,12) 15 = $ Annexe C (1,12) 15 = 5,4736 La notation des facteurs F = P(1 + i) N = P(F/P, i, N) Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt 2.3 Lélaboration des formules dintérêt

21 Facteur de capitalisation –Si une somme actualisée, P, est investie pendant N périodes dintérêt à un taux, i, quelle somme sera accumulée à la fin de N périodes ? –F = P(1 + i) N = P(F/P, i, N) Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt Les formules de flux monétaires uniques

22 Facteur dactualisation –Pour trouver un montant actualisé, P, si un montant, F, est fourni à un taux, i. –P = F(1 + i) -N = F(P/F, i, N) Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt Les formules de flux monétaires uniques

23 Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt Les formules de flux monétaires uniques

24 Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt Les formules de flux monétaires uniques

25 Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt Les flux monétaires irréguliers

26 P = $(P/F, 10%, 1) $(P/F, 10%, 2) $(P/F, 10%, 4) Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

27 2.3.4 Les annuités Facteur de capitalisation dune annuité - Trouver F, étant donné A, i, N. Facteur damortissement - Trouver A, étant donné F, i, N. Facteur de recouvrement du capital - Trouver A, étant donné P, i, N. Facteur dactualisation dune annuité - Trouver P, étant donné A, i, N. Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

28 2.3.4 Les annuités Facteur de capitalisation dune annuité Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

29 2.3.4 Les annuités Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt F = A(1 + i) N-1 + A(1 + i) N-2 + … + A(1 + i) + A F = A + A(1 + i) + A(1 + i) 2 + … + A(1 + i) N-1 (1 + i)F = A(1 + i) + A(1 + i) 2 + … + A(1 + i) N F(1 + i) - F = - A + A(1 + i) N = A(F/A, i, N)F = (1+i) N - 1 i A

30 2.3.4 Les annuités Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

31 2.3.4 Les annuités Facteur damortissement Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt = F(A/F, i, N) F (1 + i) N - 1 i A =

32 2.3.4 Les annuités Facteur de recouvrement du capital Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt (1 + i) N - 1 i A =P (1 + i) N = P (A/P, i, N)

33 2.3.4 Les annuités Facteur dactualisation dune annuité Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt (1 + i) N - 1 P =A i (1 + i) N = A (P/A, i, N)

34 2.3.5 Le flux monétaire dun gradient linéaire Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

35 2.3.5 Le flux monétaire dun gradient linéaire Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

36 2.3.5 Le flux monétaire dun gradient linéaire Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

37 2.3.5 Le flux monétaire dun gradient linéaire Facteur dactualisation Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

38 2.3.5 Le flux monétaire dun gradient linéaire Facteur de conversion du flux monétaire dun gradient en annuité Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

39 2.3.5 Le flux monétaire dun gradient linéaire Facteur de capitalisation Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

40 2.3.6 Le flux monétaire dun gradient géométrique Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

41 2.3.6 Le flux monétaire dun gradient géométrique Facteur dactualisation Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

42 2.3.6 Le flux monétaire dun gradient géométrique Facteur de capitalisation Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

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45 2.4 Les calculs déquivalence non classiques Les flux monétaires composés La détermination dun taux dintérêt pour établir une équivalence économique

46 Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt 2.4 Les calculs déquivalence non classiques $ 100$ 150$200$100$100$ 150$150$150$ ,72$ Calcul avec la méthode 1 : $ Calcul avec la méthode 1 : [50$(P/F,15%,1) = 43.48$] + [100$(P/F,15%,2) = 75.61$] + [100$(P/F,15%,3) = 65.75$] + [100$(P/F,15%,4) = 57.18$] + [150$(P/F,15%,5) = 74.58$] + [150$(P/F,15%,6) = 64.85$] + 150$(P/F,15%,7) = 56.39$ + [150$(P/F,15%,8) = 49.04$] + [200$(P/F,15%,9) = 56.85$] = $

47 Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt $ 100$ 150$ 200$ 100$100$ 150$150$150$ 789 Groupe 1 Groupe 2 Groupe 3 Groupe 4 50$(P/F,15%,1) = 43.48$ 100$(P/A,15%,3)(P/F, 15%,1) = 198,54$ 150$(P/A,15%,4)(P/F,15%,4) = $ 200$(P/F,15%,9) = 56.85$ Calcul avec la méthode 2 :

48 Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt 2.4 Les calculs déquivalence non classiques F 1 = ? Stratégie $ F 2 = ? Stratégie $ F 1 = $(F/A,7%,7)(F/P,7%,13) = $ F 2 = $(F/A,7%,13) = $

49 Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt 2.4 Les calculs déquivalence non classiques F 1 = ? Stratégie $ F 2 = ? Stratégie $ V 7 = $(F/A, i, 7) V 7 = $(P/A, i, 13)

50 Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt 2.4 Les calculs déquivalence non classiques Pour assurer léquivalence : $(F/A, i, 7) = $(P/A, i, 13) Essaie et erreur… Si i = 6 %… = 0,9482 Si i = ? %… = 1 Si i = 7 %… = (F/A, i, 7) (P/A, i, 13) = 1

51 Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt 2.4 Les calculs déquivalence non classiques i (F/A, i, 7)/(P/A, i, 13) 6,5934% 1,0000 7% 1,0355 6% 0,9482

52 Fin du chapitre Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt


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