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INTRODUCTION Supposons que vous avez la possibilité dinvestir 250 $ aujourdhui (temps 0) qui pourrait vous rapporter 60 $ au cours des 5 prochaines années.

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2 INTRODUCTION Supposons que vous avez la possibilité dinvestir 250 $ aujourdhui (temps 0) qui pourrait vous rapporter 60 $ au cours des 5 prochaines années (temps 1 à 5). 60 $ $ Capital investi

3 Est-ce avantageux ? Pouvons-nous additionner les cinq revenus de 60 $ et les comparer au 250 $ daujourdhui ? 250 $ aujourdhui =, > ou < à la somme des 60 $ des 5 prochaines années ? $ 60 $

4 Quest-ce qui faut faire pour comparer ? Ramener les 60 $ des années 1 à 5 en $ daujourdhui. Hypothèse : taux de 6% lan $ 60 $ ? ? ? ? ? MÉCANISME DACTUALISATION

5 Transformer tous les montants en cause en $ de lannée 5. MÉCANISME DE CAPITALISATION $ 60 $ ? ? ? ?

6 LINTÉRÊT Pour le prêteur: Cest le sacrifice de ne pas profiter dun montant certain et immédiat en retour dun montant incertain et ultérieur. Pour lemprunteur Cest le prix de ne pas attendre pour bénéficier dune opportunité immédiate. Cest le prix du temps.

7 LINTÉRÊT SIMPLE Lintérêt est simple sil est toujours calculé sur le montant placé ou emprunté initialement Donc les intérêts encaissés ou déboursés sont les mêmes.

8 DÉMONSTRATION Vous déposez 100 $ dans un compte à intérêt simple annuel de 5 % pendant 3 ans. Quel sera le montant accumulé à la fin de la troisième année. Lintérêt simple nest versé quau terme de la transaction et il est toujours calculé sur le capital initial de 100 $ de sorte quil est toujours égal à chaque période.

9 SCHÉMATISATION $ 5 $ Capital investi Total des intérêts = Remise du capital = Capital accumulé = Après 3 ans

10 DÉMONSTRATION Lorsquil ny a que quelques périodes, cest simple, mais quen est-il sil y a plusieurs périodes.

11 FORMULE AnsPrincipal au début + Intérêt annuel = Montant accumulé NPVS FV =PV + [(PV * I) * (N)] FV =PV + PV * I * N FV =PV * (1 + IN) S =PV * I * N =FV - PV

12 APPLICATIONS DE LINTÉRÊT SIMPLE Les certificats de dépôt Les certificats de dépôt sont des prêts queffectuent les investisseurs aux institutions financières. Ces certificats sont émis à leur valeur nominale et rapportent de lintérêt. Leur échéance peut varier entre 30 jours et 5 ans. Le taux dintérêt offert sur un certificat de dépôt dépend principalement de la durée du placement. Habituellement, plus les fonds sont placés pour une longue période, plus le taux dintérêt offert par les institutions financières est élevé.

13 EXEMPLE 1 Vous désirez placer $ dans un certificat de dépôt qui rapporte un intérêt simple de 10 % par année. La durée de ce placement est de trois ans. Quel sera le montant annuel dintérêt ? Calculez le montant total qui vous sera versé au cours de la durée de ce placement. FV =PV * (1 + IN) = = = S =PV * I * N = =

14 APPLICATIONS DE LINTÉRÊT SIMPLE Le prêt à intérêt simple Le prêt à intérêt simple est équivalent aux certificats de dépôt à lexception quil peut être effectué dun particulier à un autre particulier. Léchéance est variable.

15 EXEMPLE 2 Suite à un prêt de $ consenti pour une période de 219 jours, un de vos amis vous a remis la somme de $. Calculez le taux dintérêt annuel sur ce prêt. FV =PV * (1 + IN) = * (1 + I* 219 / 365) = I * 0,60 = I = = I = I

16 EXEMPLE 3 Calculez le montant accumulé dun dépôt de $ placé pendant 7 ans à un taux dintérêt simple de 8 %. FV =PV * (1 + IN) = = =

17 EXEMPLE 4 Calculez lintérêt simple dun dépôt de $ placé à 9 % pendant 4 ans et demi. S =PV * I * N = =

18 EXEMPLE 5 Vous empruntez à votre père $ remboursable dans 6 ans afin de vous acheter une automobile. Lemprunt est à un taux dintérêt simple de 6 % par année. Combien aurez-vous remboursé au total dans 6 ans ? FV =PV * (1 + IN) = = =

19 EXEMPLE 6 Un ami vous a prêté $ pour un an à intérêt simple et vous devez lui remettre $ à la date déchéance. À quel taux avez-vous emprunté ? FV =PV * (1 + IN) = * (1 + I* 1) = I = I = = I = I

20 EXEMPLE 7 Un autre ami vous a prêté $ pour trois ans à intérêt simple et vous devez lui remettre $ à la date déchéance. À quel taux avez-vous emprunté ? FV =PV * (1 + IN) = * (1 + I* 3) = I = I = = I = I

21 EXERCICES Exercices 1 à 9

22 LINTÉRÊT COMPOSÉ La notion dintérêt composé signifie que lintérêt gagné pendant une période, pour porter à son tour intérêt au cours de la période suivante. Nous sommes alors en présence de. Donc les intérêts touchés vont en de période en période. La plupart des transactions financières, dont notamment, les prêts, les prêts, les contrats de, le crédit à la consommation (carte de crédit) sont tous des exemples faisant appel au concept de lintérêt composé.

23 DÉMONSTRATION Vous déposez 100 $ dans un compte à intérêt composé annuellement de 5 % pendant 3 ans. Quel sera le montant accumulé à la fin de la troisième année. Pour la première année, de différence. À partir de la année, les montant sont différents.

24 SCHÉMATISATION Total des intérêts = Remise du capital = Capital accumulé = Après 3 ans $ 5 $5.25 $ 5,51 $

25 DÉMONSTRATION Lorsquil ny a que quelques périodes, cest simple, mais quen est-il sil y a plusieurs périodes.

26 FORMULE AnsPrincipal au début + Intérêt annuel = Montant accumulé = NPVSFV 110(10 * 0,10) = * 0,10

27 FORMULE AnsPrincipal au début + Intérêt annuel = Montant accumulé = NPVSFV 110(10 * 0,10)10 * (1 + 0,10) = [10 * (1 + 0,10)] * 0,10 1 [10 * (1 + 0,10)] * (1 + 0,10) = ( * 0,10) * (1 + 0,10) = * 0, * 0, * 0,10 *0,10

28 FORMULE AnsPrincipal au début + Intérêt annuel = Montant accumulé = NPVSFV 110(10 * 0,10)10 * (1 + 0,10) = [10 * (1 + 0,10) 1 ] * 0,10[10 * (1 + 0,10) 1 ] * (1 + 0,10) =10 * (1 + 0,10) [10 * (1 + 0,10) 2 ] * 0,10[10 * (1 + 0,10) 2 ] * (1 + 0,10) =10 * (1 + 0,10) 3 …………… …………… N N-1 [10 * (1 + 0,10) N-1 ] * 0,10[10 * (1 + 0,10) N-1 ] * (1 + 0,10) =10 * (1 + 0,10) N FV Année 1 =10 * (1 + 0,10) OU FV Année 2 =10 * (1 + 0,10) * (1 + 0,10) =PV * (1 + I) 1 =PV * (1 + I) 2 FV Année 3 =10 * (1 + 0,10) * (1 + 0,10) * (1 + 0,10) =PV * (1 + I) 3 FV Année N =PV * (1 + I) N

29 EXEMPLE 1 Un industriel vient de négocier un taux dintérêt de 9 % composé annuellement pour un placement de $ dans une institution financière pour une période de quatre ans. Quel sera le montant dintérêt gagné pour chacune des périodes et quel montant cette transaction permettra-t-elle daccumuler au bout de ces quatre ans ? FV = PV * (1 + I) N = = = AnnéeSolde au débutIntérêt encaisséMontant accumulé * 0,09 = * 0,09 = * 0,09 = * 0,09 =

30 EXEMPLE 2 Calculez le montant accumulé dun dépôt de $ placé pendant 7 ans à un taux dintérêt composé de 8%. FV = PV * (1 + I) N = = =

31 EXEMPLE 3 Calculez lintérêt dun dépôt de $ placé à 9 % pendant 4 ans et demi à intérêt composé. FV = PV * (1 + I) N = 4,5 = = S =FV - PV = =

32 EXEMPLE 4 Vous empruntez à votre père $ remboursable dans 6 ans afin de vous acheter une automobile. Lemprunt est à un taux dintérêt composé de 6 % par année. Combien aurez-vous remboursé au total dans 6 ans ? FV = PV * (1 + I) N = = =

33 EXEMPLE 5 Un ami vous a prêté $ pour un an à intérêt composé et vous devez lui remettre $ à la date déchéance. À quel taux avez-vous emprunté ? FV = PV * (1 + I) N = * (1 + I) 1 = (1 + I) 1 = 1 + I = I = I

34 EXEMPLE 6 Un autre ami vous a prêté $ pour trois ans à intérêt composé et vous devez lui remettre $ à la date déchéance. À quel taux avez-vous emprunté ? FV = PV * (1 + I) N = * (1 + I) 3 = (1 + I) I = = )1(3I + = (1 + I) 3

35 EXERCICES 10 à 23

36 FRÉQUENCE DE CAPITALISATION DES TAUX La fréquence de indique la base sur laquelle les sont ajoutés. Annuelle Les intérêts sont ajoutés fois par année. Semestriellement Les intérêts sont ajoutés fois par année. Trimestriellement Les intérêts sont ajoutés fois par année. Mensuellement Les intérêts sont ajoutés fois par année.

37 EXEMPLE Imaginez que vous venez de gagner à la loto un montant de $. Vous désirez placer cet argent pour 10 ans. Trois banques vous offrent les possibilités suivantes: Banque A: Un taux de 12,00 % à capitalisation annuelle. Banque B: Un taux de 11,75 % à capitalisation mensuelle. Banque C: Un taux de 11,50 % à capitalisation quotidienne. Quelle offre allez-vous choisir ? Pour faire ce choix, il faut à manipuler trois types de taux dintérêt.

38 LES TYPES DE TAUX DINTÉRÊT Le taux dintérêt. Cest le taux dintérêt nommé, cest-à-dire le taux quon affiche. Cest le taux dintérêt. Dans notre exemple: Banque A: Banque B: Banque C: Est-ce que nous pouvons prendre une décision à laide de ces taux ?

39 LES TYPES DE TAUX DINTÉRÊT Le taux dintérêt. Cest le taux dintérêt quon applique à chaque. Si la période de capitalisation est, le taux dintérêt périodique sera un taux. On obtient le taux dintérêt périodique en divisant le taux par le nombre de périodes de composition du taux dans une.

40 LES TYPES DE TAUX DINTÉRÊT i = Le taux dintérêt. I = Le taux dintérêt I = i * m. m = Le que le taux est capitalisé dans une. N = Léchéance en, dune transaction. n = Le nombre total de ou de n = N * m. i = I / m

41 LES TYPES DE TAUX DINTÉRÊT Dans notre exemple: Banque A: i = I / m = Banque B: i = I / m = Banque C: i = I / m = Est-ce que nous pouvons prendre une décision à laide de ces taux ? Par contre, nous pouvons calculer la valeur du placement à une date donnée afin de déterminer quel est le choix logique.

42 LES TYPES DE TAUX DINTÉRÊT Supposons quon veuille calculer la valeur capitalisée de $ après 2 ans pour chacune des 3 banques : On sait déjà que: FV = PV * (1 + I) N Toutefois, cette formule nest valide que dans le cas dune capitalisation. Il faut donc la transformer de la façon suivante: FV n = Comme I/m = i et que N*m = n, la formule est représentée de la façon suivante: FV n =

43 LES TYPES DE TAUX DINTÉRÊT Dans notre exemple: Banque A: FV n = PV * (1 + i) n FV 2*1 = * (1 + 0,12/1) 2*1 FV 2 = Banque B: FV n = PV * (1 + i) n FV 2*12 = * (1 + 0,1175/12) 2*12 FV 24 = Banque C: FV n = PV * (1 + i) n FV 2*365 = * (1 + 0,1150/365) 2*365 FV 730 = Est-ce que nous pouvons prendre une décision à laide de ces résultats ?

44 EXERCICES 24 à 38

45 LES TYPES DE TAUX DINTÉRÊT Le taux dintérêt. Cest le rapport de lintérêt (valeur future moins la valeur présente) dans une année sur le capital (valeur présente). i e =

46 LES TYPES DE TAUX DINTÉRÊT Dans notre exemple: Banque A: i r = (FV n – PV) / PV FV 1*1 = ([ * (1 + 0,12/1) 1*1 ] – ) / FV 1 = Banque B: i r = (FV n – PV) / PV FV 1*12 = ([ * (1 + 0,1175/12) 1*12 ] – ) / FV 12 = Banque C: i r = (FV n – PV) / PV FV 1*365 = ([ * (1 + 0,1150/365) 1*365 ] – ) / FV 365 = Est-ce que nous pouvons prendre une décision à laide de ces résultats ?

47 LES TYPES DE TAUX DINTÉRÊT Le taux dintérêt effectif : Une formule simple Prenons 1 $ capitalisé 12 fois par an à un taux de 10 % pendant un an. FV n = PV * (1 + i) n FV n = i= I / m n = N * m

48 LES TYPES DE TAUX DINTÉRÊT Cela correspond à 1 $ capitalisé 1 fois par an à une taux de 10,47 % i e = (FV n – PV) / PV i e = FV n = i e = i= I / m n = N * m

49 LES TYPES DE TAUX DINTÉRÊT Le taux dintérêt effectif : Une formule simple i e = (1 + i) m - 1 Dans notre exemple: Banque A: i e = (1 + i) m - 1 i e = Banque B: i e = (1 + i) m - 1 i e = Banque C: i e = (1 + i) m - 1 i e = Le taux effectif est le seul taux quon puisse comparer dune institution à lautre.

50 EXERCICES 39 à 40

51 LES ANNUITÉS On appelle annuité toute série de faits à des intervalles de temps égaux, même si ces intervalles sont des ou des.

52 LES SORTES DANNUITÉS Les annuités.

53 LES ANNUITÉS SIMPLES Nous avons une annuité simple lorsque la fréquence de la (m) est la même ou coïncide avec la fréquence des (v). À titre dexemple, le prêt et le prêt sont des annuités simples puisque les versements sont et la capitalisation des intérêts est également mensuelle.

54 LES ANNUITÉS GÉNÉRALES Nous avons une annuité générale lorsque la fréquence de la (m) est différente de la fréquence des (v). À titre dexemple, le prêt est une annuité générale puisque les versements sont habituellement ou hebdomadaire alors que la capitalisation des intérêts est semestrielle.

55 LES ANNUITÉS DE FIN ET DE DÉBUT DE PÉRIODE Les annuités simples et générales seront dites de fin ou de début de période selon le où le premier versement est effectué. Dans le cas dun prêt automobile ou dun prêt hypothécaire, le premier versement est habituellement payable un mois après avoir contracté lemprunt. Cest une annuité de fin de période. Dans le cas dun contrat de location-achat et de divers comptes de placements tels que les REÉR, le premier versement est dû ou payable. Cest une annuité de.

56 La valeur accumulée dune annuité simple de fin de période - Démonstration Vous décidez de verser à la fin de chaque année pendant 5 ans, un montant de 100 $ dans un REÉR. Si les versements portent intérêt à 7 % composé annuellement, quel sera le montant que vous accumulerez dans 5 ans ?

57 La valeur accumulée dune annuité simple de fin de période $ ? ? ? ? 100 * (1 + 0,07) 4 = 100 * (1 + 0,07) 3 = 100 * (1 + 0,07) 2 = 100 * (1 + 0,07) 1 = 100 * (1 + 0,07) 0 = =

58 FORMULE FV = PMT * (1 + i) n – 1 i FV =

59 EXEMPLE 1 Vous déposez à compter de la fin du mois et ce mensuellement un montant de 350 $ dans un compte dépargne au taux de 6 % pendant 5 ans. Combien aurez-vous accumulé dans votre compte après avoir fait votre dernier versement ? FV = PMT * (1 + i) n – 1 i FV =

60 La valeur présente dune annuité simple de fin de période - Démonstration Vous désirez connaître le capital requis aujourdhui pour recevoir une rente annuel de 100 $ à la fin de chacune des cinq prochaines années si le taux de rendement sur le capital est de 7 % composé annuellement.

61 La valeur présente dune annuité simple de fin de période $ ? ? ? ? 100 * (1 + 0,07) -1 = 100 * (1 + 0,07) -2 = 100 * (1 + 0,07) -3 = 100 * (1 + 0,07) -4 = 100 * (1 + 0,07) -5 = = ?

62 FORMULE PV = PMT * 1 - (1 + i) -n i PV =

63 EXEMPLE 2 Quelques mois après avoir trouvé votre premier emploi, vous décidez dacheter une voiture doccasion dont le prix est $. Nayant que $ déconomies, vous sollicitez un prêt pour la somme manquante. Le taux dintérêt exigé sur ce type demprunt est de 12 % capitalisé mensuellement et la durée maximale du prêt est de 4 ans. Sachant que les versements sont effectués à la fin de chaque mois, calculez la mensualité que vous aurez à débourser pour satisfaire les conditions de ce prêt. PV = PMT * 1 - (1 + i) -n i

64 Le solde à rembourser dun emprunt - Démonstration Vous avez emprunté la somme de $ à un de vos amis. Vous deviez rembourser cette somme au moyen de 10 paiements semestriels de fin de période à un taux de 10 %. Après avoir effectué le sixième versement, vous désirez connaître le solde de votre dette. Trouvons dabord la semestrialité (PMT). PV = PMT * 1 - (1 + i) -n i

65 Le solde à rembourser dun emprunt - Démonstration Nous pouvons maintenant calculer le solde de la dette. Visualisons la situation comme suit: ,01 $ $ 259,01 $ ,01 $ Localisation du solde de la dette Versements déjà effectués

66 Le solde à rembourser dun emprunt - Démonstration Le solde dun emprunt correspond à la valeur présente des versements restant à effectuer $ ,01 $ Solde de la dette à la fin de la 6ième période

67 Le solde à rembourser dun emprunt - Démonstration $ ,01 $ Solde de la dette à la fin de la 6ième période PV = PMT * 1 - (1 + i) -n i

68 EXERCICES 41 à


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