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Croissance et extremums Jacques Paradis Professeur.

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1 Croissance et extremums Jacques Paradis Professeur

2 2 Département de mathématiques Plan de la rencontre Éléments de compétence Croissance et décroissance Lien entre la croissance et la dérivée Maximum et minimum relatifs Maximum et minimum absolus Test de la dérivée première Tableau de variation relatif à f Exemples et exercices

3 3 Département de mathématiques Éléments de compétence Reconnaître et décrire les caractéristiques d'une fonction représentée sous forme d'expression symbolique ou sous forme graphique Utiliser la dérivée et les notions connexes pour analyser les variations d'une fonction et tracer son graphique Relier la croissance ou la décroissance dune fonction au signe de sa dérivée Déterminer les intervalles de croissance et de décroissance Déterminer les maximums et minimums de f Construire un tableau de variation relatif à f Utiliser le test de la dérivée première Donner une esquisse du graphique de f

4 4 Département de mathématiques Croissance et décroissance (1 de 2) Soit une fonction f définie sur un intervalle I f est croissante sur I si x 1, x 2 I on a que x 1 < x 2 f (x 1 ) < f (x 2 )croissante f est décroissante sur I si x 1, x 2 I on a que x 1 f (x 2 )décroissante

5 5 Département de mathématiques Croissance et décroissance (2 de 2) Croissance et décroissance et signe de la dérivée première f (x) > 0 sur ]a,b[ f(x) croissante sur [a,b] f (x) < 0 sur ]a,b[ f (x) décroissante sur [a,b] m<0 m>0

6 6 Département de mathématiques Maximum et minimum relatifs Soit I un intervalle ouvert autour dun point c du domaine dune fonction f, alors f(c) est un 1) maximum relatif ssi f(c) f(x) x I 2) minimum relatif ssi f(c) f(x) x I Remarque : Pour une borne, on peut limiter I à un intervalle ouvert dun seul côté de c (plutôt quautour) max relatif min relatif max relatif min relatif (c, f(c)

7 7 Département de mathématiques max rel et absolu min rel et absolu max rel min rel Maximum et minimum absolus Soit une fonction f définie sur son domaine D, alors f(c) est un 1) maximum absolu ssi f(c) f(x) x D 2) minimum absolu ssi f(c) f(x) x D Remarque : Il peut arriver quune fonction naie pas de maximum ou minimum absolu. (c, f(c)

8 8 Département de mathématiques Si une fonction f atteint un extremum relatif en une valeur c de son domaine, alors : f(c) = 0 ou f(c) nexiste pas Nombre critique de f : une valeur c du domaine de f pour laquelle f(c) = 0 ou f(c) nexiste pas. (Un maximum ou un minimum potentiel)* Maximum / minimum et dérivée m=0 Pas de dérivée (La courbe possède un maximum relatif qui est un maximum absolu, mais elle possède un minimum relatif qui nest pas un minimum absolu) max rel min rel

9 9 Département de mathématiques Définitions Le point (c,f(c)) est un point stationnaire de f si f(c) = 0. Le point (c,f(c)) est un point de rebroussement de f si en ce point la tangente est verticale et f(x) change de signe autour de x = c. Le point (c,f(c)) est un point anguleux de f si en ce point les portions de courbes admettent deux tangentes distinctes.

10 10 Département de mathématiques Test de la dérivée première Soit f une fonction continue sur un intervalle ouvert I et c I, un nombre critique de f (f(c) = 0 ou f(x) nexiste pas), 1) Si f(x) passe de + à – lorsque x passe de c - à c +, alors (c, f(c)) est un point de maximum relatif de f. 2) Si f(x) passe de – à + lorsque x passe de c - à c +, alors (c, f(c)) est un point de minimum relatif de f.

11 11 Département de mathématiques Test de la dérivée première (Illustration) Soit une fonction f définie sur [a, b] Remarque : a et b, les bornes, sont automatiquement des nombres critiques car la dérivée ny existe pas.

12 12 Département de mathématiques Tableau de variation relatif à f x f(x) Valeurs de x Valeurs de f(x) Borne inférieure Borne supérieure max ou min Nombres critiques Pour une fonction définie sur un intervalle :

13 13 Département de mathématiques Exemple 1 Déterminer les intervalles de croissance, de décroissance, les points de maximum relatif, les points de minimum relatif, le point de maximum absolu et le point de minimum absolu de la fonction f(x) = x 3 – 48x. Étape 1 : Donner le domaine de la fonction Étape 2 : Trouver f(x) et factoriser, si possible Étape 3 : Identifier les nombres critiques de f Étape 4 : Compléter le tableau de variation relatif à f Étape 5 : Donner une esquisse du graphique de f x f(x) f(x) maxmin

14 14 Département de mathématiques Exemple 2 Déterminer les intervalles de croissance, de décroissance, les points de maximum relatif, les points de minimum relatif, le point de maximum absolu et le point de minimum absolu de f(x) = x x x + 4 définie sur [-4, 3]. x f(x) f(x) maxminmaxminmax

15 15 Département de mathématiques Exercice 1 Déterminer les intervalles de croissance, de décroissance, les points de maximum relatif, les points de minimum relatif, le point de maximum absolu et le point de minimum absolu de f(x) = x 4 – 8x x x - 03 f(x) 0+0+ f(x) 128 min

16 16 Département de mathématiques Exemple 3 Déterminer les intervalles de croissance, de décroissance, les points de maximum relatif, les points de minimum relatif, le point de maximum absolu et le point de minimum absolu de f(x) = x f(x) 0++ f(x) 0-1,60 min

17 17 Département de mathématiques Exercice 2 Déterminer les intervalles de croissance, de décroissance, les points de maximum relatif, les points de minimum relatif, le point de maximum absolu et le point de minimum absolu de f(x) = x f(x) + f(x)-3 min

18 18 Département de mathématiques Devoir Série 6.1, page 230, nos 1,3, 5, 6 et 8. Ex. récapitulatifs, page 284, nos 1, 2 et 3. 1b) f sur - ; -0,41] [2,41 ; ; f sur [-0,41 ; 2,41]; max. rel. : (-0,41 ; 4,31); min. rel. : (2,41 ; -18,31) 1d) f sur -, 3] ; f sur [3, ; max. : aucun; min. rel. : (3, 4). 1f) f sur [0, 2] ; f sur [2, 5]; max. rel. : (0, 2) et (5, 67); min. rel. : (2, -14). 1h) f sur [- 2, -1] [1, 2 ]; f sur [-1, 1]; max. rel. : (- 2, 0) et (1, 3); min. rel. : ( 2, 0) et (-1, -3).


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