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TP4: Dérivation. Rappels théoriques Formules standards de dérivées.

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1 TP4: Dérivation

2 Rappels théoriques Formules standards de dérivées

3 A. Exercices du syllabus Q68 4) ((2x²-1) 5 )= 5 (2x²-1) 4 (2x²-1) = 5 (2x²-1) 4 4x 8) 9) (cos²x)= 2cosx(cosx) =-2 cosx sinx 10) (cosx²)= -sinx²(x²) = -2xsinx²

4 A. Exercices du syllabus Q68 12) 13)(x³cos2x)= 3x²cos2x+x³(-sin2x)(2x) = 3x²cos2x-2x³sin2x

5 A. Exercices du syllabus 20) 23)

6 A. Exercices du syllabus 24) 34)

7 A.Exercices du syllabus 41)

8 A.Exercices du syllabus Q72: soit f une fonction de période 2 tq f(t)=1-t² pour -1t<1. Que vaut sa dérivée en 265,3? f(t)=-2t si t entre -1 et 1 265

9 A.Exercices du syllabus Q75: solution versée dans un filtre conique à la vitesse de 3cm³ par seconde, et sécoule à raison de 1cm³ par seconde. Rayon supérieur du filtre vaut 10cm et sa profondeur vaut 30cm. A quelle vitesse monte le niveau lorsque celui-ci a atteint 10cm? 20cm? Solution monte à 2cm³/s = dV/dt rapport entre h et r : r= h/3 Volume dun cone= r²h/3

10 A.Exercices du syllabus Q80: les graphes de f(x)=x² et g(x)=x²-2x+1 se coupent au point p. Que vaut p? Montrer que f et g se coupent à angle droit. 1) x²=x²-2x+1 => 2x-1=0 => x=1/2 => y=1/4 2)f(1/2)=2.1/2=1 et g(1/2)=-1 tangentes perpendiculaires

11 A. Exercices du syllabus Q84: déterminer le maximum, la valeur de x qui annule la dérivée, f(6) et f(6) Maximum: 3,9 Dérivée nulle: aucune f(6)=4-3.3/4=7/4 f(6)=-3/4

12 A. Exercices du syllabus Q85. Tracer le graphe de la dérivée de Quand la fonction monte, la dérivée est positive Quand la fonction descend, la dérivée est négative Quand la concavité est vers la bas, la dérivée est décroissante Quand la concavité est vers le haut, la fonction est croissante

13 A. Exercices du syllabus Q93: cylindre droit à base circulaire est inscrit dans une sphère de 12cm de rayon. Quelle est la hauteur du cylindre pour laquelle laire latérale a une valeur extreme? Le volume? Sagit-il dun maximum ou de minimum? Rayon=12cm Rcyl= Aire latérale Dérivée de laire latérale : Dérivée sannule en Aire latérale = 288

14 A. Exercices du syllabus Q96: A midi, un navire A se trouvait à 10km à lest dune certaine bouée et se dirigeait vers lO à la vitesse de 20km/h. A la meme heure, B se trouvait à 40km au sud de la bouée et se dirigeait vers le N à la vitesse de 30km/h. Quelle heure est-il à linstant ou la distance entre A et B est minimum? D= bouéeA B d(A,bouée)=10-20t d(B,bouée)=40-30t

15 A. Exercices du syllabus D= Dérivée Dérivée sannule en 14/13dheure

16 B. Exercices supplémentaires 1) Droite => tangente = coefficient angulaire de la droite tg(P1)=tg(P2) dérivéeP1= dérivée P2 Dérivée =2

17 B. Exercices supplémentaires 1) P1= maximum local Dérivée =0 P2= se trouve sur la courbe descendante dérivée négative dérivée =-1

18 B. Exercices supplémentaires 2) Fonction décroissante =>derivée négative Fonction croissante =>derivée positive concavité vers haut =>derivée croissante concavité vers bas =>derivée décroissante

19 B. Exercices supplémentaires 2) Fonction croissante => dérivée positive Graphique dune cubique => dérivée est une parabole

20 B. Exercices supplémentaires 2) Fonction degré deux dérivée de degré 1 = droite Fonction décroissante dérivée négative Fonction croissante dérivée positive

21 B. Exercices supplémentaires 2) Fonction décroissante, puis croissante, décroissante et à nouveau croissante Dérivée négative,puis positive, négative et à nouveau positive

22 B.Exercices supplémentaires 3) a) Dérivée nexiste pas en 0; -2; 4

23 B.Exercices supplémentaires 3) b) Dessiner la dérivée [-4;0[:coefficient angulaire= 0,5 0: nexiste pas ]0;1[:Coeff angulaire négatif =-4 ]1;4[:Fonction constante dérivée= 0 ]4;6[: Fonction croissante Coefficient angulaire positif = 2

24 C. Un petit test

25 C. Un petit test Q3:Que vaut lim x sin( /(2x)) lorsque x tend vers 1 B: 1 Q4: Laquelle est paire, admet un extrémum local au point dabscisse 0 mais pas dextrémum global ?Laquelle admet un extrémum global au point dabscisse 0 ? C

26 C. Un petit test Q5: Autre notation pour E Q6: Quelle est la valeur maximale prise par la fonction f(x) = -sin(2x 5 + 3x)? C: 1


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