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Mathématiques SN Les fonctions TRIGONOMÉTRIQUES Réalisé par : Sébastien Lachance.

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1 Mathématiques SN Les fonctions TRIGONOMÉTRIQUES Réalisé par : Sébastien Lachance

2 Fonctions SINUSOÏDALES Mathématiques SN - Les fonctions TRIGONOMÉTRIQUES - f(x) = sin x (forme générale de BASE) f(x) = a sin [ b ( x – h ) ] + k (forme générale TRANSFORMÉE) Les paramètres a, b, h, k influencent louverture (dilatation ou contraction), lorientation du graphique ainsi que la position du sommet. Exemple : f(x) = - 2 sin [ 3 ( x – 1 ) ] + 4 a bhk a = - 2 b = 3 h = 1 k = 4 f(x) = cos x (forme générale de BASE) f(x) = a cos [ b ( x – h ) ] + k (forme générale TRANSFORMÉE) Fonction SINUS Fonction COSINUS

3 - 1 1 f(x) = sin x (forme générale de BASE) xf(x) Langle « x » nest pas en DEGRÉ, il est en RADIAN ! Attention avec votre calculatrice* ! *Appuyer sur « MODE » et « RADIAN » Fonction SINUS

4 f(x) = sin x (forme générale de BASE) xf(x) Langle « x » nest pas en DEGRÉ, il est en RADIAN ! Attention avec votre calculatrice* ! *Appuyer sur « MODE » et « RADIAN » Fonction SINUS

5 - 1 1 f(x) = cos x (forme générale de BASE) xf(x) Fonction COSINUS

6 f(x) = sin x f(x) = cos x

7 f(x) = sin x f(x) = cos x – / 2 cos x = sin ( x + / 2 cos x = sin ( x + / 2 ) La fonction COSINUS est une fonction SINUS qui a subie une translation horizontale de / 2 vers la gauche. La fonction COSINUS est une fonction SINUS qui a subie une translation horizontale de / 2 vers la gauche. Cette translation est appelée DÉPHASAGE. Cette translation est appelée DÉPHASAGE. Comme cest le paramètre « h » qui représente la translation horizontale de la courbe, on peut donc écrire que : Comme cest le paramètre « h » qui représente la translation horizontale de la courbe, on peut donc écrire que : (car h = - / 2 ) OU sin x = cos ( x – / 2 sin x = cos ( x – / 2 ) (car h = / 2 ) La fonction COSINUS est donc une fonction SINUSOÏDALE. La fonction COSINUS est donc une fonction SINUSOÏDALE.

8 f(x) = sin x Les fonctions SINUSOÏDALES sont des fonctions CYCLIQUES. Les fonctions SINUSOÏDALES sont des fonctions CYCLIQUES CYCLE : Plus petite portion de la courbe qui se répète. CYCLE : Plus petite portion de la courbe qui se répète. 2 PÉRIODE : Longueur dun CYCLE. PÉRIODE : Longueur dun CYCLE. AMPLITUDE : Variation de la hauteur de la fonction. AMPLITUDE : Variation de la hauteur de la fonction. Cycle Période P = 2 | b | A = Max – Min 2 A A = | a |

9 f(x) = 2 sin ( x ) PÉRIODE = 3 PÉRIODE = 3 AMPLITUDE = 2 AMPLITUDE = 2 Cycle Période P = 2 | b | A = Max – Min 2 A Exemple : 23 3 P = 2 23 = 2 x 32 = 3 = 3 A = 2 – -2 2 = 2 A = | a | A = | 2 | A = 2

10 Représentation graphique Méthode du RECTANGLE : On forme un rectangle qui contient un cycle de la fonction. SINUS COSINUS Période Période A A A A (h, k) (h, k + a) ATTENTION ! Le signe des paramètres a et b influence lorientation du graphique ! Donc si a est négatif ou b est négatif, on obtient : SINUS COSINUS Période Période A A A A (h, k) (h, k – a)

11 Tracer f(x) = 2 sin 2 ( x + ) P A Exemple #1 : 3 P = 2 | b | = 2 | 2 | = (h, k) = (-, 2) A = | a | = | 2 | = 2

12 Tracer f(x) = - 2 sin ( x – /2 ) A Exemple #2 : 3 P = 2 | b | = 2 | 1 | = 2 = 2 (h, k) = ( /2, 1) A = | a | = | - 2 | = 2 P

13 Déterminer léquation de la fonction sinusoïdale ci-dessous sous la forme : A Exemple #3 : 3 P = 2 | b | 2 3 = (h, k) = (-, 3) A = | a | 5 = a 5 = a P A) f(x) = a sin b( x – h ) + k B) f(x) = a cos b( x – h ) + k 2 3 | b | = = 2 23 f(x) = 5 sin ( x + ) + 3 Réponse : 23

14 Déterminer léquation de la fonction sinusoïdale ci-dessous sous la forme : Exemple #3 : 3 P = 2 | b | 2 3 = (h, k) = (-, 3) A = | a | 5 = a 5 = a A) f(x) = a sin b( x – h ) + k B) f(x) = a cos b( x – h ) + k 2 3 | b | = = 2 23 P = 2 | b | 2 3 = (h, k) = (- /4, 3) A = | a | 5 = a 5 = a 2 3 | b | = = 2 23 f(x) = 5 sin ( x + ) + 3 Réponse : 23 A P f(x) = 5 cos ( x + ) + 3 Réponse : 23 4

15 Fonction TANGENTE f(x) = tan x (forme générale de BASE) f(x) = a tan [ b ( x – h ) ] + k (forme générale TRANSFORMÉE) Les paramètres a, b, h, k influencent louverture (dilatation ou contraction), lorientation du graphique ainsi que la position du sommet. Exemple : f(x) = - 2 tan [ 3 ( x – 1 ) ] + 4 a bhk a = - 2 b = 3 h = 1 k = 4 x = ( h + n) + Pn où n (Équation des ASYMPTOTES) P2 Mathématiques SN - Les fonctions TRIGONOMÉTRIQUES -

16 - 5 5 f(x) = tan x (forme générale de BASE) xf(x) Langle « x » nest pas en DEGRÉ, il est en RADIAN ! Attention avec votre calculatrice* ! *Appuyer sur « MODE » et « RADIAN » 2 2, ,

17 f(x) = tan x La fonction TANGENTE est une fonction CYCLIQUE. La fonction TANGENTE est une fonction CYCLIQUE. PÉRIODE : Longueur dun CYCLE. PÉRIODE : Longueur dun CYCLE. Il ny a pas dAMPLITUDE associée à cette fonction (contrairement aux fonctions sinusoïdales Il ny a pas dAMPLITUDE associée à cette fonction (contrairement aux fonctions sinusoïdales.) Période P = | b |

18 f(x) = tan x Période (h, k) x = h + P2 P2 Asymptote-P2 x = h – P2 Asymptote Les équations des asymptotes sont donc : Les équations des asymptotes sont donc : x = ( h + n ) + Pn où n x = ( h + n ) + Pn où n P2

19 Exemple : Représenter graphiquement f(x) = - 2 tan [ ( x + ) ] + 3. Période = 4 Période = P = | b | = | 1/4 | = 4 = 4 (h, k) = (- /2, 3) Période = 4 Période = 4


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