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1 Lignes trigonométriques. Soient dans un plan deux axes rectangulaires xOx et yOy. Considérons un angle orienté ^xOM = Décrivons un cercle de centre O.

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1 1 Lignes trigonométriques. Soient dans un plan deux axes rectangulaires xOx et yOy. Considérons un angle orienté ^xOM = Décrivons un cercle de centre O et de rayon OM=1 De M abaissons la perpendiculaire MQ sur yy y y x x O Q M A P

2 2 Lignes trigonométriques. Par définition on appelle cosinus de langle la mesure algébrique du segment OP quand on prend OM pour unité. On écrira cos = OP Par définition on appelle sinus de langle la mesure algébrique du segment OQ quand on prend OM pour unité. On écrira sin = OQ y y x x O Q M A P

3 3 Lignes trigonométriques. On appelle tangente de langle le rapport de sinus au cosinus de cet angle. On écrira tg = sin / cos = OQ/OP On appelle cotangente de langle linverse de la tangente de cet angle. On écrira cotg = cos / sin = OP/OQ y y x x O Q M A P

4 4 Signes des lignes trigonométriques. 0 – 90 o 90 o- 180 o 180 o- 270 o 270 o- 360 o sin cos tg + 0 ~- -~ 0+ 0 ~- -~ 0 cotg + ~ ~+ ~ ~

5 5 Lignes trigonométriques dangles remarquables. 0o0o 30 o 45 o 60 o sin 01/21/ /2 cos 1 /21/1/2 tg 0 1/ 1 cotg 1 1/

6 6 Relation entre sinus et cosinus dun angle. Calcul de sinus et cosinus en fonction de tangente. Théorème. Pour un angle quelconque les relations suivantes sont vraies: 1.sin 2 + cos 2 2.cos = 3.sin =

7 7 Application au triangle quelconque. Théorème. Dans un triangle quelconque on a a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos A Preuve: a 2 = b 2 + c 2 – 2bn Dans le Cas 1: n = c cos A, et a 2 = b 2 + c 2 – 2bn Dans le Cas 2: n = - c cos (180 o -A) alors n = - c cos A, et a 2 = b 2 + c 2 + 2bn Alors dans les deux cas a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos A A B C H a m n c h b m A B C a c b h n Cas 1 Cas 2

8 8 Relations métriques dans un cercle. Théorème. Toute perpendiculaire abaissée dun point de la circonférence sur un diamètre est moyenne proportionnelle entre les deux segments quelle détermine sur ce diamètre. DA 2 = DC * DB Théorème. Le carré dune corde menée par une extrémité dun diamètre égale le produit de sa projection sur ce diamètre, par le diamètre entier. AB 2 = BD * AC O A BC D

9 9 Relations métriques dans un cercle. Théorème. Étant donnés un cercle et deux droites concourantes en O, qui coupent le cercle respectivement en A, B et C, D, on a la relation: OA * OB = OC * OD A A C D B D C B O O

10 10 b Relations métriques dans un cercle. Théorème de Ptolémée. Dans un quadrilatère inscrit, le produit des diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés. a*c + b*d = AC * BD Preuve: ABE ~ ACD et ADE ~ ACB, a/BE = AC/c, alors ac=AC*BE d/ED = AC/b, alors bd=AC*ED Donc a*c+b*d=AC(BE+ED)=AC*BD a c d b O E A B F C D

11 11 Éléments de la géométrie analytique. Le plan cartésien. Un plan cartésien est un plan formé de deux droites numériques perpendiculaires nommées axes. La droite numérique horizontale, ordonnée xx s'appelle l'axe des abscisses ou l'axe des x. La droite numérique verticale, ordonnée yy s'appelle l'axe des ordonnées ou l'axe des y Le point de rencontre des deux axes du plan cartésien se nomme le point d'origine O. Le plan cartésien se divise en quatre régions nommées quadrants. x x y y O

12 12 Le plan cartésien. Le point. Le point placé dans un plan est identifié par sa projection sur chacun des axes. On obtient deux résultats qui prennent les signes des quadrants que l'on appelle les coordonnées du point. Un point est représenté par un couple de nombres placés entre parenthèses: l'abscisse en premier, l'ordonnée en second. Le couple (x, y) désigne le point. x x y y O P 1 (4,3) P 2 (4,3) P 3 (4,3) Q(x 1,y 1 )

13 13 La distance entre les points. Le milieu du segment. La distance entre deux points A(x A,y A ) et B(x B,y B ) est donnée par la formule: Le milieu du segment déterminé par les points A(x A,y A ) et B(x B,y B ) est un point M donné par la formule: x x y y O P 1 (5,6) P 2 (-7,-3) Q(1,-1.5)

14 14 La ligne droite. La pente. La pente dune droite ordonnée est la tangente de langle formé par cette droite avec l'axe des abscisses La pente dune droite ordonnée non verticale déterminée par deux points A(x A,y A ) et B(x B,y B ) (dans cette ordre) est donnée par la formule: x x y y O P 1 (5,6) P 2 (-7,-3) R(5,-3)

15 15 La ligne droite. La pente. Les droites parallèles ont les pentes égales Les pentes m 1 et m 2 des droites perpendiculaires ont respectent la condition m 1 *m 2 =-1.

16 16 Équation de la ligne droite. Léquation (linéquation) dun objet géométrique détermine le lieu géométrique des points respectant cette Léquation (inéquation). Léquation dune droite non verticale passant par deux points donnés A(x A,y A ) et B(x B,y B ) est donnée par la formule: x x y y O P 1 (5,6) P 2 (-7,-3)

17 17 Équation de la ligne droite. Léquation x=c détermine une droite verticale ayant distance c à laxe y. Léquation y=kx+b détermine une droite ayant pente k et coupant laxe x au point (b,0). Léquation Ax+By+C=0 est une équation générale dune droite. Léquation x/a+y/b=1 détermine une droite coupant les axes aux points (a,0) et (0,b).

18 18 Équation de la ligne droite. Léquation x cos + y sin – p =1 est une équation normale dune droite ayant une pente -1/cotg et ayant distance p de lorigine. La distance d dune droite dans la position normale x cos + y sin – p = 0 du point (x 1,y 1 ) est donné par léquation d = x 1 cos + y 2 sin – p x x y y O p

19 19 Équation paramétrique. La forme paramétrique dune courbe sur un plan est donnée par une paire déquations: x = f(t) y = g(t) Les points de la courbe ont donc des coordonnées (f(t),g(t)), pour différents valeurs de t. Léquations paramétriques dun segment aux extrémités A(x A,y A ) et B(x B,y B ) sont: x = (1-t)x A + tx B y = (1-t)y A + ty B x x y y O P(-3,6) Q(6,2)

20 20 Équation dun cercle. Léquation dun cercle sur le plan est donnée par la formule (x-a) 2 + (y-b) 2 = r 2 Le cercle a rayon r et il est centré au point (a,b). Théorème. Léquation Ax 2 +Ay 2 +Bx+Cy+D=0 est une équation dun cercle. x x y y O P(-2,4) (x+2) 2 +(y-4) 2 = 9

21 21 Paire déquations. Une paire déquations déterminent le lieu de points appartenant à la fois aux deux objets géométriques, définis par chaque équation (leur intersection). Lintersection de deux droites est la solution dun système de deux équations linéaires. Lintersection dune droite avec un cercle est le résultat dune solution dun système de deux équations. Vu que ce système résulte en une équation quadratique, la solution donne 0, 1 ou 2 points.


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