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Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2010 © Guy Gauthier ing. Ph.D.

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1 Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2010 © Guy Gauthier ing. Ph.D

2 Équations différentielles Les systèmes industriels peuvent être représentés par une série déquations différentielles ordinaires. Cette série déquation peut être mise sous une forme matricielle. Cette représentation matricielle est appelée représentation dans lespace détat. 2(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

3 Forme générale des modèles dymanique Ensemble déquations différentielles du 1 er ordre : Variables détat Variables dentrées Paramètres 3(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

4 Représentation vectorielle Équation : Si les paramètres sont constants, on peut écrire : Sil ny a pas dentrées (u=0), le système est dit « autonome ». 4(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

5 Solutions en régime permanent Les solutions sont très simples, puisquen régime permanent le système névolue plus (ce qui implique que les dérivées sont nulles): Donne les valeurs des états x s, des entrées u s et des paramètres p s. 5(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

6 Représentation matricielle Équations : La matrice A est nommée la matrice Jacobienne : Détermine la stabilité du système; Détermine la vitesse de la réponse. – Valeurs propres (eigenvalues). 6(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

7 LINÉARISATION Il peut arriver que f(x,u,p) et/ou g(x,u,p) ne soient pas linéaires. Comment analyser un tel système ? (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.7

8 Linéarisation Permet de transformer une équation non- linéaire en une équation linéaire applicable autour dun point dopération donné : En x s, u s 8(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

9 Cas avec une seule variable Équation non-linéaire : La série de Taylor permet de linéariser : On néglige les termes dordre plus élevés ! On néglige les termes dordre plus élevés ! 9(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

10 Cas avec une seule variable (suite) Le point dopération autour duquel on linéarise le système est le point atteint en régime permanent, donc : En conséquence : 10(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

11 Cas avec une seule variable (suite) Comme : On peut poser : Et écrire : Puisque x s constant 11(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

12 Cas une entrée/une variable détat Équation non-linéaire : La série de Taylor permet de linéariser : Les termes dordre supérieur seront négligés 12(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

13 Cas 1 entrée/1 variable détat (suite) On pose : Donc : 13(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

14 Cas 1 entrée/1 variable détat (Ajout dune sortie) Équation non-linéaire : La série de Taylor permet de linéariser : Les termes dordre supérieur seront négligés La sortie en régime permanent 14(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

15 Cas 1 entrée/1 variable détat (Ajout dune sortie - suite) En posant : On obtient pour la sortie linéarisée : 15(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

16 Exemple #1 Hauteur dun réservoir avec écoulement de sortie non-linéaire : Série de Taylor : Négligeant les termes dordre supérieur 16(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

17 Exemple #1 (suite) En dérivant : En régime permanent : Permet dobtenir h s à partir de F s et des paramètres… 17(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

18 Exemple #1 (suite) Donc : Ou encore : a a b b Écart 18(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

19 Cas une entrée/deux variables détat/une sortie Équations non-linéaires : 19(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

20 Cas 1 E/2 V.E./1 S (suite) Pour linéariser lensemble : Les termes dordre supérieur seront négligés 20(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

21 Cas 1 E/2 V.E./1 S (suite) Pour linéariser lensemble : Avec : 21(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Les termes dordre supérieur seront négligés

22 Cas 1 E/2 V.E./1 S (suite) Comme : On écrit : 22(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

23 Cas 1 E/2 V.E./1 S (suite) Et : 23(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

24 Généralisant Système ayant n états, m entrées et p sorties: 24(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

25 Définitions des éléments des matrices de linéarisation Élément de la matrice Jacobienne (A) : Élément de la matrice B : 25(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

26 Définitions des éléments des matrices de linéarisation Élément de la matrice C : Élément de la matrice D : 26(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

27 Forme après la linéarisation Équation détat : Forme habituelle: 27(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

28 Exemple #2 Deux réservoirs en interaction : 28(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

29 Exemple #2 (suite) Équations du système : Si la sortie h 2 nous intéresse : 29(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

30 Exemple #2 (suite) Posons : Calcul de la Jacobienne : 30(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

31 Exemple #2 (suite) Calcul de la Jacobienne : 31(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

32 Exemple #2 (suite) Calcul de la matrice B : 32(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

33 Exemple #2 (suite) Calcul de la matrice C : 33(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

34 Exemple #2 (suite) Bilan : 34(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

35 Système du deuxième ordre Soit un système du deuxième ordre qui est représenté par : Posant : Exemple 35(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

36 Système du deuxième ordre Alors on peut réécrire sous cette forme : Ou encore : 36(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

37 Système du deuxième ordre Pour la sortie : Ou encore : 37(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Fin

38 Système à 2 entrées et 2 sorties Soit un système représenté par : Posant : 38(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple

39 Système à 2 entrées et 2 sorties Donc : 39(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

40 Système à 2 entrées et 2 sorties Alors on peut réécrire sous cette forme : 40(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

41 Système à 2 entrées et 2 sorties Et : 41(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Fin

42 Pendule inversé Soit un pendule inversé monté sur un chariot motorisé. Les déplacements du chariot doivent permettre de conserver la tige du pendule dans sa position verticale. 42(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple

43 Position du centre de gravité La position du centre de gravité de la tige : x : position du chariot; l : demi-longueur de la tige du pendule; θ : Angle de la tige avec la verticale. 43(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

44 Dynamique angulaire du pendule Le moment angulaire autour du centre de gravité est : – I : moment dinertie de la tige par rapport à son centre de gravité. 44(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. CG H V

45 Dynamique horizontale du pendule Le mouvement horizontal du centre de gravité de la tige est représenté par : Non-linéaire 45(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

46 Dynamique verticale du pendule Le mouvement vertical du centre de gravité de la tige est représenté par : Non-linéaire 46(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

47 Dynamique du chariot Le mouvement horizontal du chariot est représenté par : 47(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

48 Simplification Si langle θ est très petit, alors : Linéaire 48(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

49 Simplification [2] Réécrivons les équations (I=0) : Posant : 49(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

50 Passage aux équations détat Les sorties qui nous intéressent sont : – position du chariot – angle de la tige du pendule 50(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

51 Passage aux équations détat Les équations sont : 51(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

52 Équations détat 52(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

53 Exemple numérique M = 2 kg, m = 0.1 kg, l = 0.5 m : 53(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Fin

54 Solution pour des entrées nulles Léquation générale dun modèle dans lespace détat est : Si lentrée est nulle (u = 0), alors on peut écrire : 54(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

55 Cas à une variable Pour un système représenté par : La solution est : Elle converge si a<0. – Alors, le système est dit stable. 55(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

56 Cas multivariable Par extension, la solution dun système ayant plusieurs variables détat sera : Problème : – Comment calculer lexponentielle dune matrice ? 56(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

57 Méthode de la transformation de similarité Prenons en exemple une matrice A de taille 2x2. Les valeurs propres de cette matrice (eigenvalue) sont les racines de léquation caractéristique de la matrice A. Cette équation caractéristique est obtenue comme suit: 57(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

58 Valeurs propres (Exemple) Soit la matrice A suivante : Léquation caractéristique est : 58(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

59 Valeurs propres (Exemple - suite) Les valeurs propres de A sont –1 et –5. – Fonction sur MATLAB : eig(A) 59(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

60 Méthode de la transformation de similarité (suite) Associé à la valeur propre i, il y a le vecteur propre i. Un vecteur propre est un vecteur i qui est solution de : pour la valeur propre correspondante i. 60(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

61 Vecteurs propres (Exemple - suite) Pour λ 1 = -1, le vecteur propre sera la solution de : Une solution possible est : 61(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

62 Vecteurs propres (Exemple) Pour λ 2 = -5, le vecteur propre sera la solution de : Une solution possible est : 62(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

63 Méthode de la transformation de similarité (suite) On peut généraliser en écrivant : Avec : 63(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

64 Méthode de la transformation de similarité (suite) On peut écrire : En multipliant par t et en faisant lexponentielle, on trouve : Avec : 64(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

65 Solution du système Ainsi : Toutes les valeurs propres de A doivent être inférieures à 0 pour que la réponse soit stable. 65(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

66 Fin de lexemple Solution : Ou encore 66(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

67 Effet de la direction de la condition initiale Pour faciliter lanalyse, on peut sassurer que les variables détat soient indépendantes les unes des autres. Ainsi, définissons une nouvelle variable détat z, en posant : 67(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

68 Solution de ce système La solution est (si 2x2) : 68(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

69 Condition initiale #1 Si la condition initiale est de la forme : Alors la réponse est : 69(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

70 Condition initiale #1 La condition initiale : – Donne une réponse dont la vitesse est associée à λ 1. La réponse est dite « dans la direction de λ 1 ». 70(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

71 Condition initiale #1 Si on revient dans la variable originale : De même pour λ 2 71(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

72 Exemple Solution : Si z(0) = [1 0] T : 72(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

73 Exemple Si z(0) = [0 1] T : 73(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

74 Exemple Sous espace lentSous espace rapide 74(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

75 Solutions de la forme générale Léquation générale dun modèle dans lespace détat est : Cette fois-ci, considérons que lentrée u(t) négale pas 0. 75(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

76 Cas à une variable Pour un système représenté par : La solution est : – Pour u(t) = constante = u(0). 76(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

77 Cas multivariable Toujours par extension, la solution dun système ayant plusieurs variables détat sera : Avec : 77(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

78 u(t) pas constant Si u(t) nest pas constant, on peut faire un calcul numérique à chaque tranche de temps: 78(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

79 Méthode plus précise Calcul de létat: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.79 Réponse à entrée nulle Réponse à condition initiale nulle

80 Méthode plus précise Calcul de létat: Calcul de la sortie: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.80

81 Observabilité (Définition) Un système est dit observable à linstant t 0, si connaissant létat du système x(t), il est possible, à partir de lobservation de la sortie y(t) sur un intervalle de temps fini (de t 0 à t), de déterminer létat x(t 0 ). 81(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

82 Observabilité Il est possible de vérifier à partir des équations détat si lensemble des états sont observables ou non. 82(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

83 Observabilité Exemple: Le système est observable. 83(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

84 Contrôlabilité (Définition) Un système est dit contrôlable à linstant t 0, si connaissant létat initial du système x(t 0 ), il est possible dappliquer une commande u(t) amenant ce système vers tout autre état sur un intervalle de temps fini. 84(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

85 Contrôlabilité Il est possible de vérifier à partir des équations détat si lensemble des états sont contrôlables ou non. 85(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

86 Contrôlabilité Exemple: Le système est contrôlable. 86(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

87 Exemple #1 (Observabilité/Contrôlabilité) Système : 87(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

88 Exemple #1 (Observabilité/Contrôlabilité - suite) Observabilité : Observable 88(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

89 Exemple #1 (Observabilité/Contrôlabilité - suite) Observabilité : Contrôlable 89(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

90 Exemple #2 (Observabilité/Contrôlabilité) Système : 90(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

91 Exemple #1 (Observabilité/Contrôlabilité - suite) Observabilité : Observable 91(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

92 Exemple #2 (Observabilité/Contrôlabilité - suite) Observabilité : Non- Contrôlable 92(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

93 Stabilité dun système représenté par des équations détat Le système est stable si : possède des valeur propres à partie réelle négative. 93(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

94 Stabilité Ainsi : 94(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

95 Analyse de la stabilité Se fait en calculant les racines de léquation caractéristique de la matrice A : Valeurs propres (eigenvalues). 95(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

96 Exemple (réservoirs indépendants) Équation détat : 96(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

97 Exemple (réservoirs indépendants) Ce système est stable car les valeurs propres sont toutes négatives. 97(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

98 Vecteurs propres Les vecteurs propres peuvent servir à définir le comportement dun système représenté dans lespace détat. Les vecteurs propres sont associées aux valeurs propres. 98(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

99 Exemple (réservoirs indépendants) Vecteur propre #1 : 99(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

100 Exemple (réservoirs indépendants) Vecteur propre #2 : 100(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

101 VALEURS PROPRES, VECTEURS PROPRES ET PLAN DES PHASES (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.101

102 Exemple #1 Équations détat: 102(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

103 Exemple #1 Valeurs propres et vecteurs propres : 103(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

104 Trajectoires Les vecteurs propres définissent des bissectrices: Nœud stable 104(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

105 Exemple #2 Équations détat: 105(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

106 Exemple #2 Valeurs propres et vecteurs propres : 106(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

107 Trajectoires Effet de la valeur propre positive : Point de selle 107(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

108 Exemple #3 Équations détat: 108(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

109 Exemple #3 Valeurs propres et vecteurs propres : 109(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

110 Trajectoires Nœud stable 110(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

111 Exemple #4 Équations détat: 111(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

112 Exemple #4 Valeurs propres et vecteurs propres : 112(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

113 Trajectoires Point de selle 113 (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

114 Exemple #5 Équations détat: 114(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

115 Exemple #5 Valeurs propres et vecteurs propres : 115(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

116 Trajectoires Nœud instable 116(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

117 Exemple #6 Équations détat: 117(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

118 Exemple #6 Valeurs propres et vecteurs propres : 118(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

119 Trajectoires Cycle limite 119(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

120 Cas non-linéaires Voici quelques exemples de trajectoires non- linéaires. Un système non-linéaire peut avoir plusieurs points déquilibre. 120(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

121 Exemple #1 Système bi-linéaire : Points déquilibre : – Cas trivial : – Cas non-trivial : 121(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

122 Exemple #1 Linéarisant : Cas trivial : Instable 122(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

123 Exemple #1 Cas non-trivial : Stable 123(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

124 Exemple #1 (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.124

125 Exemple #2 Réacteur biologique avec cinématique de type Monod : 125(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

126 Exemple #2 Variables : – X 1 = biomasse (cellules) [gr/l] – X 2 = substrat (nourriture des cellules) [gr/l] – X 2f = substrat entrant [gr/l] – Y = rendement (cellules produites vs substrat consommé) – D = taux de dilution (temps pour renouveler le contenu du réservoir) [hr -1 ] – μ = taux de croissance [hr -1 ] 126(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

127 Exemple #2 Taux de croissance : Si μ max = 0.53, k m = 0.12, Y = 0.4 et x 2fs = (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

128 Exemple #2 Linéarisant : Points déquilibre : – Cas trivial : – Cas non-trivial : 128(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

129 Exemple #2 Cas trivial : Instable 129(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

130 Exemple #2 Cas non-trivial : Stable 130(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

131 131

132 EXPONENTIELLE DUNE MATRICE Doù vient cette équation ? 132(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

133 Exponentielle dune valeur scalaire Soit une valeur scalaire. Alors on peut écrire la série de lexponentielle comme suit: 133(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

134 Exponentielle dune matrice Par extension, soit. Alors, on peut écrire la série suivante: – Ce qui peut être long à calculer… 134(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

135 Transformation de similarité (exemple) Soit. On peut obtenir les deux valeurs propres de cette matrice:. Et leur vecteur propre correspondant:. 135(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

136 Transformation de similarité (exemple) Ainsi: Que lon peut réécrire:. – V est la matrice des vecteurs propres: 136(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

137 Transformation de similarité (exemple) Et... – Λ est la matrice des valeurs propres: 137(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

138 Transformation de similarité Ainsi on peut écrire cette transformation comme étant: 138(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

139 Retour sur lexponentielle Utilisant la transformation de similarité, on peut écrire la série exponentielle comme suit: 139(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

140 Il semble que lon ne gagne rien, mais… Voyons le terme: On peut lécrire: – Puisque. – On peut répéter ce manège pour les puissances supérieures… 140(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

141 Et en plus… Λ k est une matrice diagonale. 141(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

142 Effet sur la série Et puisque : 142(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

143 Effet sur la série Ou encore: Reconnaissez vous le terme entre parenthèses: 143(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

144 Exponentielle dune matrice diagonale Lexponentielle dune matrice diagonale peut sécrire: Chaque élément de la diagonale peut être vu comme un scalaire. 144(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

145 Exemple numérique Soit: Les valeurs propres sont: -3, -4 et (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

146 Exemple numérique (suite) Les vecteurs propres correspondants sont: – Sur MATLAB®: A = [0 1 0;0 0 1; ] [S,V]=eig(A) 146(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

147 Exemple numérique (suite) Lexponentielle de Λt sera: Et:. 147(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.


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