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Mathématiques SN Les CONIQUES Réalisé par : Sébastien Lachance.

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1 Mathématiques SN Les CONIQUES Réalisé par : Sébastien Lachance

2 Les 4 coniques Les 4 coniques Mathématiques SN - Les CONIQUES - Cercle Cercle Ellipse Ellipse Parabole Parabole Hyperbole Hyperbole Proviennent de la coupe du cône. Cest la forme de la section. Cest la forme de la section.

3 Le cercle Le cercle Mathématiques SN - Les CONIQUES - A) Définition Lieu dun point situé à une même distance (r) dun autre point fixe (O), appelé centre. O r r r r r r r r r r r r r

4 B) Équation O r (x, y) x y x 2 + y 2 = r 2 Par Pythagore :

5 C) Inéquations r x 2 + y 2 r 2 r

6 C) Inéquations r x 2 + y 2 r 2 r

7 D) Recherche de léquation Ex. #1 : Trouver léquation dun cercle centré à lorigine dont le point A(-2, -3) appartient au cercle. A(-2, -3) x 2 + y 2 = r 2 (-2) 2 + (-3) 2 = r = r 2 13 = r 2 x 2 + y 2 = 13

8 D) Recherche de léquation Ex. #2 : a) Quelle est léquation dun cercle centré à lorigine dont le diamètre est de 16 unités ? Le rayon est de 8 unités. x 2 + y 2 = 8 2 x 2 + y 2 = 64 b) Est-ce que le point P(5, 7) fait partie de la région intérieure de ce cercle ? Il faut que linégalité soit VRAIE Le point P(5, 7) ne fait pas partie de la région intérieure de ce cercle. FAUX !

9 E) Équation de la tangente Ex. : Léquation dun cercle est x 2 + y 2 = 289. Si une droite est tangente à ce cercle au point P(15, 8), quelle est léquation de cette droite ? P(15, 8) Pente du rayon : r y x m rayon = O = 8 – 0 15 – 0 = 8 15 Équation de la tangente : m tangente = y = x + b = (15) + b avec le point (15, 8) = + b b = Réponse : y = x

10 Lellipse Lellipse Mathématiques SN - Les CONIQUES - A) Définition Lieu dun point dont la somme des distances à deux points fixes (foyers F et F) est constante (k).

11 Lellipse Lellipse A) Définition Lieu dun point dont la somme des distances à deux points fixes (foyers F et F) est constante (k). P F d(P, F) + d(P, F) = k F P P P P P

12 Lellipse Lellipse A) Définition Lieu dun point dont la somme des distances à deux points fixes (foyers F et F) est constante (k). Sommet Sommet Sommet Sommet Petit axe Grand axe Centre Foyer (F) Distance focale

13 B) Relations entre a, b et c. (-a, 0) (a, 0) (0, b) (0, -b) b a Avec a b Avec a b c a : distance entre le centre et un sommet horizontal. b : distance entre le centre et un sommet vertical. c : distance entre le centre et un foyer. (c, 0) (-c, 0) a 2 = b 2 + c 2

14 B) Relations entre a, b et c. (-a, 0) (a, 0) (0, b) (0, -b) b a Avec b a Avec b a c a : distance entre le centre et un sommet horizontal. b : distance entre le centre et un sommet vertical. c : distance entre le centre et un foyer. (0, c) (0, -c) b 2 = a 2 + c 2

15 Ex. : Le grand axe dune ellipse mesure 24 unités et le petit axe 10 unités. Quelle est la distance focale ? (-12, 0) (12, 0) (0, 5) (0, -5) 10 unités 24 unités Distance focale = 2c (c, 0) (-c, 0) a a = 12 b b = 5 a 2 = b 2 + c = c 2 10,9 c Réponse : La distance focale est denviron 21,8 unités.

16 C) Équation x2x2x2x2 a2a2a2a2 + y2y2y2y2 b2b2b2b2 = 1 D) Inéquations x2x2x2x2 a2a2a2a2 + y2y2y2y2 b2b2b2b2 1 x2x2x2x2 a2a2a2a2 + y2y2y2y2 b2b2b2b2 1

17 C) Équation x2x2x2x2 a2a2a2a2 + y2y2y2y2 b2b2b2b2 = 1 D) Inéquations x2x2x2x2 a2a2a2a2 + y2y2y2y2 b2b2b2b2 1 x2x2x2x2 a2a2a2a2 + y2y2y2y2 b2b2b2b2 1

18 Lhyperbole Lhyperbole A) Définition Lieu dun point dont la différence des distances (en valeur absolue) à deux points fixes (foyers F et F) est constante (k). F F | d(P, F) – d(P, F) | = k P P P P P

19 Lhyperbole Lhyperbole A) Définition Lieu dun point dont la différence des distances (en valeur absolue) à deux points fixes (foyers F et F) est constante (k). Foyer (F) Centre Sommet Sommet Asymptote Asymptote

20 B) Équations et relations entre a, b et c. Axe focal horizontal Axe focal horizontal c 2 = a 2 + b 2 (-a, 0) (a, 0) a c (c, 0) (-c, 0) (0, b) b (0, -b) x2x2x2x2 a2a2a2a2 – y2y2y2y2 b2b2b2b2 = 1

21 B) Équations et relations entre a, b et c. Axe focal horizontal Axe focal horizontal c 2 = a 2 + b 2 a b (a, b) (0, 0) Équation de lasymptote : Pente Pente a = y x x = b = b a Ordonnée à lorigine (b) = 0 Ordonnée à lorigine (b) = 0

22 B) Équations et relations entre a, b et c. Axe focal horizontal Axe focal horizontal c 2 = a 2 + b 2 Équation de lasymptote : y = b x a y = - b x a a

23 B) Équations et relations entre a, b et c. Axe focal vertical Axe focal vertical c 2 = a 2 + b 2 (-a, 0) (a, 0) a c (0, c) (0, -c) (0, b) b (0, -b) x2x2x2x2 a2a2a2a2 – y2y2y2y2 b2b2b2b2 = - 1

24 C) Inéquations x2x2x2x2 a2a2a2a2 – y2y2y2y2 b2b2b2b2 1 x2x2x2x2 a2a2a2a2 – y2y2y2y2 b2b2b2b2 1

25 x2x2x2x2 a2a2a2a2 – y2y2y2y2 b2b2b2b2 x2x2x2x2 a2a2a2a2 – y2y2y2y2 b2b2b2b2

26 x2x2x2x2 a2a2a2a2 – y2y2y2y2 b2b2b2b2 x2x2x2x2 a2a2a2a2 – y2y2y2y2 b2b2b2b2 x2x2x2x2 a2a2a2a2 – y2y2y2y2 b2b2b2b2 1 x2x2x2x2 a2a2a2a2 – y2y2y2y2 b2b2b2b2 1 Même ensembles-solutions que précédemment, mais avec des hyperboles formées de lignes pointillées.

27 C) Inéquations Ex. : La distance entre deux sommets dune hyperbole est de 12 unités et lun de ses foyers a pour coordonnées (0, 9). Le point P(10, 8) fait-il partie de la région extérieure de cette hyperbole ? (0, 9) F F x2x2x2x2 a2a2a2a2 – y2y2y2y2 b2b2b2b2 = unités (0, 6) b c c 2 = a 2 + b = a = a 2 Équation : Équation : x2x2x2x2 45 – y2y2y2y2 36 = - 1

28 C) Inéquations Ex. : La distance entre deux sommets dune hyperbole est de 12 unités et lun de ses foyers a pour coordonnées (0, 9). Le point P(10, 8) fait-il partie de la région extérieure de cette hyperbole ? (0, 9) F F 12 unités (0, 6) b c Est-ce que P(10, 8) fait partie de la région extérieure ? Est-ce que P(10, 8) fait partie de la région extérieure ? x2x2x2x2 a2a2a2a2 – y2y2y2y2 b2b2b2b2 Il faut que : – VRAI Réponse : Le point P(10, 8) fait partie de la région extérieure de lhyperbole.

29 La parabole (centrée à lorigine) La parabole (centrée à lorigine) A) Définition Lieu dun point situé à une même distance dun point fixe (foyer F) et dune droite fixe, appelé directrice (d). Foyer (F) Sommet Directrice (d) P P P P d(P, F) = d(P, d) c (0, c)

30 B) Équations (centrées à lorigine) d x 2 = 4cy d x 2 = - 4cy

31 B) Équations (centrées à lorigine) d y 2 = 4cx d y 2 = - 4cx

32 B) Équations (centrées à lorigine) Ex. : Une parabole centrée à lorigine a pour foyer le point F(0, -6). Cette parabole passe-t-elle par le point P(-12, -6) ? d (0, -6) c x 2 = - 4cy Équation : Équation : x 2 = - 4(6)y x 2 = - 24y Est-ce que la parabole passe par le point P(-12, -6) ? Est-ce que la parabole passe par le point P(-12, -6) ? (-12) 2 = - 24(-6) 144 = 144 VRAI Réponse : La parabole passe par le point P(-12, -6).

33 C) Inéquations (centrées à lorigine) d x 2 4cy d x 2 - 4cy

34 C) Inéquations (centrées à lorigine) d x 2 4cy d x 2 - 4cy

35 C) Inéquations (centrées à lorigine) d y 2 4cx d y 2 - 4cx

36 C) Inéquations (centrées à lorigine) d y 2 4cx d y 2 - 4cx

37 C) Inéquations (centrées à lorigine) En résumé… y 2 … x 2 … ou Ensemble-solutions à lintérieur de la parabole y 2 … x 2 … ou Ensemble-solutions à lextérieur de la parabole y 2 … x 2 … ou y 2 … x 2 … ou Même ensemble-solutions que ci-haut, mais la parabole est pointillée (ne fait pas partie de lens.-solutions) ou

38 (x – h) 2 = 4c(y – k) F (0, 0) d d (h, k) x 2 = 4cy Centrée à lorigine : Translatée : D) Équations translatées

39 F (0, 0) d d (4, -2) Ex. : (x – h) 2 = 4c(y – k) (x – 4) 2 = 4c(y + 2) D) Équations translatées

40 d (x – h) 2 = 4c(y – k) d (h, k) (x – h) 2 = -4c(y – k) (h, k) D) Équations translatées

41 d d (h, k) (y – k) 2 = 4c(x – h) (y – k) 2 = -4c(x – h) D) Équations translatées

42 Ex. #1 : Résoudre le système déquations suivant : x2x2x2x2 9 + y2y2y2y2 4 = 1 y – x = 0 Représentation graphique : Représentation graphique : x2x2x2x2 9 + y2y2y2y2 4 = 1 y – x = 0 Droite y = x Ellipse où a b (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) Intersection de coniques Intersection de coniques

43 Résolution pour trouver (x 1, y 1 ) et (x 2, y 2 ) : Résolution pour trouver (x 1, y 1 ) et (x 2, y 2 ) : x2x2x2x2 9 + y2y2y2y2 4 = 1 y = x (1) (2) (1) dans (2) : x2x2x2x2 9 + x2x2x2x2 4 = 1 4x x 2 36 = 1 13x 2 36 = 1 x2x2x2x2 2,77 x1x1x1x1 1,66 x2x2x2x2 - 1,66 (3) (4) (3) dans (1) : y 1 1,66 (4) dans (1) : y 2 - 1,66 Réponse : (1,66 ; 1,66) et et (-1,66 ; -1,66)

44 Ex. #2 : Résoudre le système déquations suivant : y 2 = -16(x – 7) x 2 + y 2 = 25 Représentation graphique : Représentation graphique : Cercle de rayon 5 Parabole de sommet (7, 0) y 2 = -16(x – 7) x 2 + y 2 = 25 d (7, 0)

45 Résolution pour trouver (x 1, y 1 ) et (x 2, y 2 ) : Résolution pour trouver (x 1, y 1 ) et (x 2, y 2 ) : (1) (2) (2) dans (1) : y 2 = -16(x – 7) x 2 + y 2 = 25 x (x – 7) = 25 x 2 – 16x = 25 x 2 -16x + 87 = 0 x x Réponse : Il n'y a aucun solution.


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