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Systèmes déquations du premier degré à deux variables Résolution par méthodes algébriques: méthode de comparaison méthode de substitution méthode de réduction.

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Présentation au sujet: "Systèmes déquations du premier degré à deux variables Résolution par méthodes algébriques: méthode de comparaison méthode de substitution méthode de réduction."— Transcription de la présentation:

1 Systèmes déquations du premier degré à deux variables Résolution par méthodes algébriques: méthode de comparaison méthode de substitution méthode de réduction Remarque:Tu devrais visionner « Systèmes déquations du premier degré à deux variables, introduction.ppt » avant de visionner celui-ci.

2 Pour résoudre un système déquations du premier degré à deux variables de manière algébrique, on peut utiliser 3 méthodes. La méthode de comparaison quand la même variable est isolée dans les deux équations: y 1 = ax + b y 2 = ax + b La méthode de substitution quand une même variable est isolée dans une seule équation: ax + by 1 + c = 0 y 2 = ax + b La méthode de réduction quand aucune variable nest isolée : ax + by 1 = c ax + by 2 = c

3 Par résolution algébrique: y 2 = 2x + 5 y 1 = 3x + 2 Nombre de planches Salaires comparés Montant gagné ( $ ) à ce point précis, en utilisant cette égalité, on peut résoudre le système rapidement et précisément en procédant par équivalence algébrique. les deux équations sont égales;

4 La méthode de comparaison Sachant quau point dintersection y 1 = y 2 alors 3x + 2 = 2x + 5 On se retrouve alors avec une équation dans laquelle, il ny a quune seule variable. On peut alors isoler x pour trouver sa valeur. On compare ainsi les deux équations. On utilise la méthode de comparaison quand la même variable est isolée dans les deux équations: y 1 = 3 x + 2 y 2 = 2 x + 5 3x + 2 = 2x + 5

5 La méthode de substitution On utilise la méthode de substitution quand une même variable est isolée dans une seule équation: Exemple: ax + by 1 + c = 0 y 2 = ax + b Dans le plan cartésien, on trace deux droites déquations: On voudrait connaître les coordonnées du point dintersection de ces deux droites. 4x + 2y 1 – 8 = 0 y 2 = x – 2

6 ( ) Sachant quau point dintersection y 1 = y 2 On se retrouve alors avec une équation dans laquelle, il ny a quune seule variable. On substitue dans la 2 e équation la variable par lexpression qui lui est égale. y 2 =x - 2 4x + 2 y = 0 x - 2 4x + 2(x - 2) - 8 = 0 On peut alors isoler x pour trouver sa valeur. 4x + 2x = 0 6x - 12 = 0 6x = 12 x = 2

7 Connaissant la valeur de x, on peut calculer la valeur de y dans nimporte quelle des deux équations. x = 2 y =x =2 - 2 Validation: 4x +2y – 8 = 0 4 X X 0 – 8 = 0 Couple-solution: ( 2, 0 ) On valide en vérifiant avec lautre équation. donc x = 2 et y = 0

8 Problème Quel est le couple solution du système suivant ? x = y = 0 x y - 8 ( ) On se retrouve alors avec une équation dans laquelle, il ny a quune seule variable. On peut alors isoler y pour trouver sa valeur. y + 3(y - 8) - 20 = 0 y + 3y = 0 4y - 44 = 0 4y = 44 y = 11

9 Connaissant la valeur de y, on peut calculer la valeur de x dans nimporte quelle des deux équations. y = 11 Validation: Couple-solution: ( 3, 11 ) On valide en vérifiant avec lautre équation. donc x = 3 et y = 11 x = y - 8 y + 3x – 20 = 0 x = 11 – 8 x = X 3 – 20 = 0

10 La méthode de réduction On utilise la méthode de réduction quand aucune variable nest isolée : ax + by 1 = c ax + by 2 = c Exemple 1:2x + 3y = 13 x - 2y = - 4 On crée un système équivalent.

11 Démarche: 1)On multiplie, lune des équations, ou les deux, par un facteur pour former un système équivalent au premier dans lequel les coefficients dune même variable sont opposés. 2x + 3y = 13 x - 2y = -4 2x + 3y = 13 x - 2y = -4 X -2 -2x + 4y = 8 Nouveau système :2x + 3y = 13 -2x + 4y = 8 2) On additionne les 2 équations pour obtenir une seule équation avec une seule variable. + 2x + 3y = 13 -2x + 4y = 8 7y = 21 3) On peut alors isoler la variable :y = 3 ( ) =

12 4) Connaissant la valeur de y, on peut calculer la valeur de x dans nimporte quelle des deux équations. 2x + 3y = 13 x - 2y = -4 x - 2 X 3 = -4 x - 6 = -4 5) Validation:On valide en vérifiant avec lautre équation. x = 2 y = 3 2 X X 3 = 13 Couple-solution: ( 2, 3 ) donc x = 2 et y = 3

13 Exemple 2: On doit trouver le couple solution du système suivant: 5x + 8y = 29 3x + 6y = 21 ( 5x + 8y = 29 ) ( 3x + 6y = 21 ) X 3 X -4 = 15x + 24y = 87 = -12x – 24y = -84 Nouveau système: 15x + 24y = x – 24y = -84 1)On multiplie, lune des équations, ou les deux, par un facteur pour former un système équivalent au premier dans lequel les coefficients dune même variable sont opposés.

14 2) On additionne les 2 équations pour obtenir une seule équation avec une seule variable. + 15x + 24y = x – 24y = -84 3x = 3 3) On peut alors isoler la variable :x = 1 4) Connaissant la valeur de x, on peut calculer la valeur de y dans nimporte quelle des deux équations de départ. 3x + 6y = 21 3 X 1 + 6y = y = 21 6y = 18 y = 3

15 5) Validation:On valide en vérifiant avec lautre équation. Donc x = 1 et y = 3 5x + 8y = 29 5 X X 3 = 29 Couple-solution: ( 1, 3 ) Remarque: On sait que lorsque les deux droites se rencontrent, les deux équations sont égales. Donc avec lune ou lautre des 3 méthodes, on peut travailler, en premier, soit avec x soit avec y.

16 Problème 1 En 1996, la population de Saint-Jérôme, dans les Laurentides, comptait près de habitants et habitantes. Une étude prévoyait que cette population devrait croître de personnes par année. Dans la région du Bas-Saint-Laurent, la population de Rimouski atteignait la même année. On envisageait un taux daccroissement de 600 personnes par année. 1 ère étape: x :le nombre dannées écoulées depuis 1996 y :le nombre de personnes 2 e étape: Identifier les variables: Établir le système: y 1 = x y 2 = 600 x et C) En 2 010, quelle sera la population de Saint-Jérôme selon cette hypothèse ? B) Combien de personnes compteront alors chacune de ces municipalités ? A) En quelle année les deux villes auront-elles la même population ?

17 3 e étape:Résoudre le système: y 1 = x y 2 = 600 x Ici, la méthode de comparaison est préférable x = 600 x x = x = 17 Connaissant la valeur de x, on peut calculer la valeur de y dans nimporte quelle équation: 4 e étape: y 1 = X y 1 = y 1 = x

18 5 e étape: Valider la solution avec lautre équation: Ensemble-solution:( 17, ) y 2 = 600 x y 2 = 600 X y 2 = A) En quelle année les deux villes auront-elles la même population ? x : le nombre dannées écoulées depuis 1996 = Réponse: en lannée B) Combien dhabitants compteront alors chacune de ces municipalités ? Réponse: personnes 17 ans

19 C) En 2 010, quelle sera la population de Saint-Jérôme selon cette hypothèse ? Il nest pas nécessaire de résoudre le système pour répondre à cette question. Il suffit de calculer le nombre dannées écoulées depuis : puis, utiliser léquation représentant laugmentation de population de Saint-Jérôme pour calculer: y 1 = x y 1 = X y 1 = Réponse: personnes – 1996 = 14 ans

20 Problème 2 Lassistance à un match de baseball est de personnes. On constate quil y a 8 fois plus de partisans et partisanes de léquipe locale que de léquipe adverse. Combien y a-t-il de partisans et partisanes de léquipe locale ? 1 ère étape: x : y :le nombre de partisans de léquipe adverse 2 e étape: Identifier les variables: Établir le système: x = 8y le nombre de partisans de léquipe locale Attention:Les partisans de léquipe locale sont 8 fois plus nombreux que les partisans de léquipe adverse. Pour créer légalité, Exemple: Si x = 16 et que y = 2 alors 16 = 8 X 2 x = 8y il faudra multiplier par 8 le nombre de partisans de léquipe adverse.

21 x + y = et 2 e étape: Établir le système: x = 8y 3 e étape:Résoudre le système: Ici, la méthode de substitution est préférable. x + y = x = 8y x+ y = y = y = Connaissant la valeur de y, on peut calculer la valeur de x dans nimporte quelle équation. 4 e étape: x = 8y x = 8 X x = x = 8y

22 5 e étape: Valider la solution avec lautre équation: Ensemble-solution:( , ) x + y = = Combien y a-t-il de partisans et partisanes de léquipe locale ? Réponse: partisans et partisanes

23 Problème 3 Un serveur de restaurant examine ses pourboires à la fin de la soirée. De la somme quil a amassée, il constate quil possède 38 pièces de monnaie réparties en pièces de 1,00$ et 2,00$ pour un total de 51,00$. Combien de pièces de 2,00$ a-t-il reçu ? 1 ère étape: x :le nombre de pièces de 1,00$ y :le nombre de pièces de 2,00$ 2 e étape: Identifier les variables. Établir le système:x + y = 38 pièces 1x + 2y = 51 dollarset cette équation ne tient compte que des pièces. cette équation tient compte de la valeur des pièces.

24 3 e étape:Résoudre le système: Ici, la méthode de réduction est préférable. x + y = 38 1x + 2y = 51 x + y = 38 1x + 2y = 51 X -1 - x - y = - 38 Nouveau système:- x - y = x + 2y = 51 On additionne les 2 équations pour obtenir une seule équation avec une seule variable. - x - y = x + 2y = 51 + y = 13 = ( )

25 Connaissant la valeur de y, on peut calculer la valeur de x dans nimporte quelle équation. 4 e étape: x + y = 38 x + 13 = 38 x = 25 5 e étape: Valider la solution avec lautre équation: Ensemble-solution:( 25, 13 ) 1x + 2y = 51 1 X X 13 = 51 Combien de pièces de 2,00$ a-t-il reçu ? Réponse: 13 pièces y = 13

26 Remarque:Dans ce problème,x + y = 38 1x + 2y = 51 On aurait pu isoler y dans la première équation et travailler avec la méthode de substitution: y = 38 – x 1x + 2y = 51 1x + 2( 38 – x ) = 51 On aurait pu aussi isoler y dans les deux équations et travailler avec la méthode de comparaison: y = 38 - x y = -x – x = -x + 51 La méthode à utiliser dépend de lécriture des équations; on choisit une méthode simplement pour faciliter le travail. Nimporte quelle méthode est bonne.

27 Remarque: Certains systèmes ont des ensembles-solutions particuliers. Exemple Dans le système suivant : y = 2x + 3 y = 2x + 5 y 2 = 2x y 2 = 2x + 3 Les deux équations ont le même taux de variation et des ordonnées à lorigine différentes. Les droites sont donc parallèles. Elles ne se rencontreront jamais. Ensemble-solution:aucun

28 Remarque: Certains systèmes ont des ensembles-solutions particuliers. Exemple Dans le système suivant : y 2 = 2x + 4 y = 2x + 4 2x – y + 4 = 0 Il y aura une infinité de solutions. En effet, si on ramène la 2 e équation sous la forme fonctionnelle: 2x – y + 4 = 0 y = 2x + 4 On constate que les taux de variation et les ordonnées à lorigine sont les mêmes. Les droites sont donc confondues. 2x – y + 4 = 0 Tous les couples de coordonnées sont solutions de ce système.


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