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Comportement à linfini dune fonction Le symbole aurait été crée au XVII e siècle par le mathématicien britannique John Wallis à partir d une version cursive.

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1 Comportement à linfini dune fonction Le symbole aurait été crée au XVII e siècle par le mathématicien britannique John Wallis à partir d une version cursive du M latin, cest à dire Peut-être a-t-il aussi pensé à la courbe de la même forme (la lemniscate) qui se parcourt sans fin...

2 Activité 1. Soit une fonction f définie sur. On présente ses variations dans le tableau suivant : xf f (x)f (x)f (x)f (x) A l'aide de ce tableau, donner toutes les informations connues.

3 On propose ici quatre représentations graphiques. Ces courbes peuvent–elles représenter f ? On note f 1 la fonction associée à la courbe C 1 et on procède de la même manière pour les autres courbes.

4 Quand x se rapproche de +, alors f 1 (x) se rapproche de Quand x se rapproche de -, alors f 1 (x) se rapproche de On note : x - x - -

5 Quel est le comportement à l'infini pour la fonction f 3 ? On dit alors que : la droite déquation y= 2 est asymptote horizontale horizontale à la courbe de de la fonction f 3 f 3 en + laxe des abscisses est asymptote horizontale horizontale à la courbe de de la fonction f 3 f 3 en -.

6 Peut–on "distinguer" les fonctions f 1 et f 4 à l'aide de ces nouveaux renseignements ? NON !!!!!!

7 Activité 2. On considère la fonction f définie sur par : Compléter le tableau de valeurs suivant : A l'aide du tableau, on a : f (x) > si x > ….f (x) > si x > …. A l'aide de la calculatrice, déterminer un entier N tel que :si x > N, alors f (x) > On peut émettre la conjecture :

8 On considère la fonction g définie sur par : Compléter le tableau de valeurs suivant : A l'aide du tableau, on a : 0 ….0 …. A l'aide de la calculatrice, déterminer un entier N tel que :si x > N, alors 0 N, alors 0 < g (x) < On peut émettre la conjecture :

9 On considère la fonction h définie sur par : Compléter le tableau de valeurs suivant : h (x) peut-il être égal à 3 ? h (x) peut-il être supérieur à 3 ? On peut émettre la conjecture :

10 Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [ a ; + [ où a est un réel. Si f ( x ) est aussi grand que lon veut dès que x est assez grand, alors on dit que f a pour limite + en +. On note : Lorsque x prend des valeurs de plus en plus grande, la courbe C finit par se situer au dessus de nimporte quelle droite horizontale.

11 On définit de la même façon : négatifsgrand Les nombres f ( x ) deviennent négatifs et de plus en plus grand en valeur absolue

12 Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [ a ; + [ et l un réel. Si f ( x ) est aussi proche que lon veut de l dès que x est assez grand, alors on dit que f a pour limite l en +. On note : On parle aussi de voisinage de l. Lorsque x prend des valeurs de plus en plus grande, la courbe C finit par se rapprocher de la droite déquation y = -2. La droite déquation y = -2 est appelée : asymptote horizontale + de la courbe de f en +.

13 A vous de jouer...

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