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I) NOTATIONS Une suite est une liste de nombres. Exemple : J'ai un nénuphar magique dont la surface double chaque jour. On décide de noter u n la surface.

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2 I) NOTATIONS Une suite est une liste de nombres. Exemple : J'ai un nénuphar magique dont la surface double chaque jour. On décide de noter u n la surface qu'il aura dans n jours. Sachant qu'aujourd'hui il mesure 5 cm 2, on cherche à calculer u n : Demain, c'est à dire dans jour, la surface du nénuphar sera donc Après-demain, c'est à dire dans jours, la surface du nénuphar sera donc = 2 × 10 = 20 cm 2 Le jour suivant, c'est à dire dans jours, la surface du nénuphar sera donc = 2 × 20 = 40 cm 2 Aujourd'hui, c'est à dire "dans jours", la surface du nénuphar est donc = 5 cm 2 Complétons le tableau :.. n unun

3 Bilan : Nous avons défini une suite ( u n ) telle que : Remarques : Par exemple, si n = 4, u n +1 = et u n + 1 = On aurait donc aussi pu écrire :

4 II) SUITES ARITHMÉTIQUES & CROISSANCE LINÉAIR E 1) Définition Une suite arithmétique est une suite telle que Terme général défini par récurrence Il suffit de connaître le pour pouvoir déterminer tous les autres termes de la suite. Exemple : Soit la suite arithmétique (u n ) de 1 er terme 2 et de raison 3 : u 0 = u 1 = u 2 = u 3 = Remarque : Pour une suite arithmétique de raison r. u n+1 u n > 0 équivaux à, la suite (u n ) est dite u n+1 u n < 0 équivaux à, la suite (u n ) est dite Pour tout n de IN, u n+1 = u n + r

5 2) Calcul du terme général u n en fonction de n Dans l'exemple ci-dessus, si nous voulons calculer u 10000, il nous faut calculer auparavant ses prédécesseurs !!! Nous allons donc chercher une formule permettant de calculer directement u n à partir de n. Soit une suite arithmétique ( u n ) de raison r : Pour tout n de IN, u n +1 = u n + r On a donc : u 0 u 1 = u 2 = u 3 = u 4 = u n = Terme général défini en fonction de n Remarque : Pour tout n de IN, u n = Terme général défini en fonction de n Plus généralement : Pour tout n de IN, Terme général défini en fonction de n Pour tout n de IN, u n = u 0 + n r

6 3) Représentation graphique : croissance linéaire Exemple : Soit la suite arithmétique (u n ) de 1 er terme u 0 = 2 et de raison r = 1 u n = Tous les points de la représentation graphique sont alignés sur la droite déquation On parle donc de (même si la droite descend !) Si r > 0 Si r < 0 Remarque :..

7 4) Reconnaître si une suite est arithmétique ou non : 2 possibilités : Soit Exemple 1 : Soit une suite (u n ) telle que pour tout n de IN* : 3 u n = 2 (5 + 1,5 u n–1 ) On a alors : donc Soit Exemple 2: Soit la suite (u n ) telle que pour tout n de IN : u n = 1 2 n (n + 3) + 2 n 2 On a alors : Nous reconnaissons ici On ne peut commencer à parler de raison de la suite qu'une fois que l'on a montré Si l'on veut montrer qu'elle n'est pas arithmétique, Soit la suite (u n ) telle que pour tout n de IN, u n = n 2 On a :

8 III) SUITES GÉOMÉTRIQUES & CROISSANCE EXPONENTIELLE 1) Définition Terme général défini par Exemple: Soit la suite géométrique ( u n ) de 1 er terme 2 et de raison 3 : 2) Calcul du terme général u n en fonction de n Soit une suite géométrique ( u n ) de raison q : Pour tout n de IN, u n +1 = u n × q On a donc : u 0 u 1 = u 2 = u 3 = u 4 = u n = Terme général défini en fonction de n Pour tout n de IN, u n+1 = u n × q

9 3) Représentation graphique : croissance exponentielle Exemple : Soit la suite géométrique (u n ) de 1 er terme u 0 = 1 et de raison q = 2 On a donc pour tout n de IN : u n = Tous les points de la représentation graphique sont situés sur la courbe déquation y = Une telle courbe dont l'équation est de la forme y = est appelée par les mathématiciens On dit donc ici que

10 4) Reconnaître si une suite est géométrique ou non : 2 possibilités : On montre que est constant Exemple 1: Soit la suite ( u n ) telle que pour tout n de IN : 3 u n +1 = 2 u n On a alors : Donc On met en évidence que u n peut s'écrire sous la forme : Exemple 2 : Soit la suite ( u n ) telle que pour tout n de IN : u n = 5 n +1 × 3 On a alors : u n = Donc : u n = Nous reconnaissons ici Rappels : a m+n = a m×n = a 0 =

11 IV) Placements à intérêts simples ou composés On décide de placer un capital C 0 au taux annuel de i%. Appelons C n la valeur acquise du capital après n années de placement. On distingue deux types de placements : 1) Placements à intérêts simples

12 2) Placements à intérêts composés Nous reconnaissons une suite géométrique de 1 er terme: et de raison :

13 3) Exemple Un placement dont le taux annuel est fixe (ne varie pas selon les années) a rapporté 30% en 3 ans. Quel est ce taux annuel ? Appelons C n la valeur acquise du capital après n années de placement et t le taux annuel. Il faut distinguer 2 cas selon le type de placement : Si le placement est On a d'une partC 3 = = et d'autre partC 3 = donc Le taux annuel est donc Si le placement est On a d'une partC 3 = = et d'autre partC 3 = donc Le taux annuel est donc

14 V) SYNTHESE

15 IV) UN EXEMPLE DE SUITE DE FIBONACCI


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