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T. Thangaï LP Le Verger Suites numériques. T. Thangaï LP Le Verger Sommaire Suites arithmétiques –Exemple 1Exemple 1 –DéfinitionDéfinition –Calcul dun.

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1 T. Thangaï LP Le Verger Suites numériques

2 T. Thangaï LP Le Verger Sommaire Suites arithmétiques –Exemple 1Exemple 1 –DéfinitionDéfinition –Calcul dun termeCalcul dun terme –Exemple 2Exemple 2 –Terme de rang nTerme de rang n –Somme n premiers termesSomme n premiers termes –ExempleExemple

3 T. Thangaï LP Le Verger Sommaire Suites géométriques –1. DéfinitionDéfinition –2. Terme de rang nTerme de rang n –3. Somme des n premiers termesSomme des n premiers termes –ApplicationApplication

4 T. Thangaï LP Le Verger Suites arithmétiques

5 T. Thangaï LP Le Verger I. Définition

6 T. Thangaï LP Le Verger Une suite arithmétique est une suite de nombres tels que chacun d'eux, à partir du second, s'obtient en ajoutant au précédent un même nombre appelé raison de la suite. Le premier terme ou terme de rang 1 est noté U 1 ; la raison est notée r. Le terme de rang n est noté U n ; le terme précédent de rang n 1 est noté U n -1 Dans ces conditions : U n = U n -1 + r. Par exemple : U 2 = U 1 + r ; U 3 = U 2 + r, etc.

7 T. Thangaï LP Le Verger II. Calcul dun Terme de rang n

8 T. Thangaï LP Le Verger U1U1 U2U2 U3U3 U4U4 U1U1 U 2 = U 1 + rU 3 = U rU 4 = U r Plus généralement, on remarque que: U n = U 1 + (n 1) r

9 T. Thangaï LP Le Verger III. Somme des n premiers termes dune suite arithmétique

10 T. Thangaï LP Le Verger Exemple On donne une suite arithmétique de premier terme U 1 et de raison r 1.Calculer en fonction de U 1 et U 7 : 2. On constate donc que: U 1 + U 7 = U 2 + U 6 = U 3 + U 5 = U 4 + U 4 = U 5 + U 3 = U 6 + U 2 = U 7 + U 1 U 2 + U 6 = U 1 + (U 6 + r) = U 1 +U 7 U 3 + U 5 = U 1 + (U r) = U 1 +U 7 U 4 + U 4 = U 1 + (U r) = U 1 +U 7 U 5 + U 3 = U 1 + (U r) = U 1 +U 7 U 6 + U 2 = U 1 + (U 6 + r) = U 1 +U 7

11 T. Thangaï LP Le Verger 3. Pour calculer la somme S 7 des 7 premiers termes de cette suite arithmétique en fonction de U 1 et r, On écrit S 7 de 2 façons différentes: S 7 = U 1 + U 2 + U 3 + U 4 + U 5 + U 6 + U 7 S 7 = U 7 + U 6 + U 5 + U 4 + U 3 + U 2 + U 1 2×S 7 = (U 1 + U 7 ) + (U 2 + U 6 ) + (U 3 + U 5 ) + (U 4 + U 4 ) + (U 5 + U 3 ) + (U 6 + U 2 ) + (U 1 + U 7 ) 2×S 7 = 7× (U 1 + U 7 )

12 T. Thangaï LP Le Verger Doù: On démontre que pour tout nombre entier n > 1 la somme des n premiers termes dune suite arithmétique de premier U 1 et de raison r est donnée par la relation:

13 T. Thangaï LP Le Verger Suites géométriques

14 T. Thangaï LP Le Verger Une suite géométrique est une suite de nombres, tels que chacun d'eux, à partir du second, s'obtient en multipliant le précédent par un même nombre appelé raison de la suite. Le premier terme est noté U 1 ; La raison est notée q. Le terme de rang n est noté Un ; Le terme précédent de rang n 1 est noté Un - 1 Dans ces conditions : U n = U n -1 ×q. Par exemple : U 2 = U 1 × q U 3 = U 2 × q, etc 1. Définition

15 T. Thangaï LP Le Verger Voir exemple : activité suite géométrique (séance informatique)

16 T. Thangaï LP Le Verger Soit (U n ) une suite géométrique de premier terme U 1 et de la raison q 2. Terme de rang n dune suite géométrique : On a donc : U n = U n -1 ×q

17 T. Thangaï LP Le Verger U n = U n -1 ×q Écrire les termes U 2 à U 7 de cette suite en fonction de U 1 et de q U 2 = U 1 × q U 3 = U 2 × q U 4 = U 3 × q U 5 = U 4 × q U 6 = U 5 × q U 7 = U 6 × q

18 T. Thangaï LP Le Verger Sachant que tous les termes de cette suite sont non nuls, donner le résultat du produit membre à membre des expressions suivantes U 2 = U 1 × q U 3 = U 2 × q U 4 = U 3 × q U 5 = U 4 × q U 6 = U 5 × q U 7 = U 6 × q U 7 = U 1 × q 6 = U 1 × q 7 - 1

19 T. Thangaï LP Le Verger U1U1 U2U2 U3U3 U4U4 U1U1 U 2 = U 1 ×qU 3 = U 1 ×q 2 U 4 = U 1 ×q 3 ×q et plus généralement: U n = U 1 ×q (n 1 ) On admet donc que:

20 T. Thangaï LP Le Verger On considère une suite géométrique de premier terme U 1 et raison q( ). Soit S 6 la somme des 6 premiers termes de cette suite géométrique : S 6 = U 1 + U 2 + U 3 + U 4 + U 5 + U 6 1. Montrer que: q S 6 = U 2 + U 3 + U 4 + U 5 + U 6 + U 7 q S 6 = q×U 1 + q×U 2 + q×U 3 + q×U 4 +q× U 5 + q×U 6 = U 2 + U 3 + U 4 + U 5 + U 6 + U 7 3. Somme des n premiers termes dune suite géométrique :

21 T. Thangaï LP Le Verger 2. Montrer que: S 6 – q× S 6 = U 1 - U 7 = U 1 – U 1 ×q 6 Pour cela, on a: S 6 = U 1 + U 2 + U 3 + U 4 + U 5 + U 6 q S 6 = U 2 + U 3 + U 4 + U 5 + U6 + U 7 S 6 – q S 6 = U 1 - U 7 Ou encore S 6 ×(1– q ) = U 1 – U 1 ×q 6 = U 1 ×(1 - q 6 )

22 T. Thangaï LP Le Verger 3. Montrer que: On a : (1 – q)× S 6 = U 1 (1 – q 6 ) donc:

23 T. Thangaï LP Le Verger La somme S n dune suite géométrique de premier terme U 1 et de raison q(q 1 ) est donnée par la relation : S n = U 1 + U 2 + U 3 + U 4 + ……… + U n = Remarque : Si q = 1, alors S n = n×U 1

24 T. Thangaï LP Le Verger Application Calculer la somme des 6 premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison.


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