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Ch 2 Grandeurs sinusoïdales 1.Généralités 1.1 Définitions On appelle grandeur alternative sinusoïdale, une grandeur périodique dont la valeur instantanée.

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1 Ch 2 Grandeurs sinusoïdales 1.Généralités 1.1 Définitions On appelle grandeur alternative sinusoïdale, une grandeur périodique dont la valeur instantanée est une fonction sinusoïdale du temps. Exemple : Soit la grandeur tension u u( t ) = Ûsin( ωt + θ u ) = Ûsinα u(t) :valeur instantanée de u ( en V ) Û : valeur maximale de u ( en V ) α = ωt + θ u : phase instantanée de u ( en radian ) θ u : phase initiale ( à linstant t = 0 ) de u ( en radian ) ω : pulsation de u ( en radian par seconde ).

2 1.2 Propriétés valeur moyenne de u : = 0 V valeur efficace : U = Û = U périodes : - temporelle : T. - angulaire : 2π radians. ωT = 2π et ω = 2πf ; f étant la fréquence de u. 1.3 Représentation de Fresnel Y OA = sinα A M α 0 X

3 Vecteur de Fresnel : A toute fonction sinusoïdale du temps, on peut associer un vecteur : le vecteur de Fresnel. Exemple : u = U sin ( ωt + θ u ) A la tension sinusoïdale u, on associe un vecteur de Fresnel dont le module est la valeur efficace U, faisant un angle θ u avec un axe de référence des phases. U et θ u sont les coordonnées polaires de. 2. Études des circuits linéaires 2.1 Fréquence Les courants et les tensions du circuit ont la même fréquence f donc la même pulsation ω. Ils sont donc fixes les uns par rapport aux autres au niveau de leur image vectorielle.

4 2.2 Loi des nœuds; loi des mailles ; loi dOhm Ces lois sappliquent pour : - les valeurs instantanées; - les vecteurs de Fresnel associés 2.3 Différence de phases Soient deux tensions sinusoïdales u 1 et u 2. On leur associe les vecteurs de Fresnel et. u 1 = U 1 2 sin ( ωt + θ 1 ) ; u 2 = U 22 sin ( ωt + θ 2 ) = ( U 1 ;θ 1 ) ; = ( U 2 ; θ 2 ) ; il existe une différence de phases φ entre u 1 et u 2. (, ) = φ = θ 2 – θ 1 φ θ 2 θ 1 O X ( Axe de référence des phases )

5 Si φ > 0 : u 2 est en avance sur u 1 ; Si φ < 0 : u 2 est en retard sur u 1 ; Si φ = 0 :les deux tensions sont en phase; Si φ = π : opposition de phase entre u 1 et u 2 ; Si φ = ± π/2 : les deux tensions sont en quadrature de phase. 2.4 Dipoles élémentaires u Dipole linéaire i u = U2 sin ( ωt + θ u ) i = I2 sin ( ωt + θ i ) ; φ = θ u - θ i φ = θ u - θ i O X Loi dOhm : u = Z i U = Z I Z = Z ( en Ohm ) est limpédance du dipole linéaire.

6 2.1.2 Résistance linéaire R i θ u O X U = R I θ = θ u = θ i φ = θ u – θ i = 0 Z = = R Bobine parfaite φ i L θ u θ i u O X u =

7 Si i = I sin ( ωt + θ i ) = ω I cos ( ωt + θ i ) = ω I sin ( ωt + θ i + π/2 ) u = L ω I sin ( ωt + θ i + π/2 ) et u est de la forme : u = U sin ( ωt + θ u ) En comparant les deux formes de u, on trouve : U = L ω I ; θ u = θ i + π/2 φ = θ u - θ i = + π/2 rad Z L = = L ω Condensateur parfait C i = C i u

8 Si u = U sin ( ωt + θ u ) = ω I cos ( ωt + θ i ) i = C ω U sin ( ωt + θ u + π/2 ) i est de la forme : i = I sin ( ωt + θ i ). En comparant les deux formes de i, on a: I = Cω U θ i = θ u + π/2 φ = θ u – θ i = - π / 2 rad Z C = = φ θ i θ u O X

9 3. Association série de dipôles en régime sinusoïdale 3.1 Association résistance et bobine R L i u R u L u = u R + u L Si i = I sin ( ωt ) On travaille avec θ i = 0 Rad. u R = R i = R I sin ( ωt ) O X u L = L = L ω I sin(ωt + π/2 ) + π/2 rad O X

10 Si u = u R + u L = + θ u = φ O X Z = = tan φ = 3.2 Association résistance et condensateur Si i = I sin ( ωt ) u R = R I sin (ωt ) et u C = sin (ωt - π/2 )

11 O X O X Construction de Fresnel O θ u = φ X U 2 = U R 2 + U C 2 U 2 = ( R 2 I 2 + ) U 2 = ( R 2 + ) I 2 U = Z = = tan φ = - = - = -

12 3.3 Association RLC R L C i u R u L u C u u = u R + u L + u C tan φ = = Si U L > U C, on a : U L – U C > 0 donc tan φ > 0 Si U L < U C, on a : U L – U C < 0 donc tan φ < 0 Si U L = U C, on a : U L – U C = 0 donc tan φ = 0 ; donc u et i sont en phase. On a une résonance série du circuit RLC. U 2 = U R – ( U L – U C ) 2 = R 2 I 2 + ( Lω – ) 2 I 2

13 Zéq = = A la résonance, - = 0 et Zéq = R Comme Lω =, LCω 0 2 = 1 et ω 0 2 = ce qui donne: ω 0 = f 0 = = 4. Puissance en régime sinusoïdale 4.1 Définitions u i D La puissance instantanée consommée par le dipôle D est de la forme : p = u i

14 Si i = I sin (ωt ) et u = U sin ( ωt + φ ) p = u i = U sin ( ωt + φ ) x I sin (ωt ) = 2 U I sin ( ωt + φ ) sin ( ωt) p = U I cos ( ωt + φ - ωt ) - U I cos ( 2ωt + φ ) p = U I cos φ - U I cos ( 2ωt + φ ) P = = - P = U I cos φ P en Watts( W ); U en V; I en A. P est la puissance active consommée par le dipôle D. i * W * u D

15 Si - π/2 φ +π/2, P 0 : le dipole consomme de puissance active. Si + π/2 φ 3π/2, P 0 : le dipole fournit de la puissance active au générateur. Puissance réactive : Q = U I sin φ Q en vars ( voltampères réactifs ). Puissance apparente : S = U I S en voltampère ( VA ). N.B. : une résistance nabsorbe que de la puissance active; une bobine nabsorbe que de la puissance réactive; un condensateur ne fournit que de la puissance réactive. 4.2 Théorème de BOUCHEROT Si on trois dipôles D 1, D 2, D 3 consomment respectivement P 1, P 2, P 3 et Q 1, Q 2,Q 3, les puissances active et réactive totales consommées : P = P 1 + P 2 + P 3 Q = Q 1 + Q 2 + Q 3 Attention : S S 1 + S 2 + S 3

16 4.2 Facteur de puissance fp =k = fp ( facteur de puissance ) 1 En régime sinusoïdale, P = S cos φ ce qui donne : fp = cos φ 4.3 relèvement du facteur de puissance En France, le facteur de puissance doit être supérieur ou égal à 0,93. Si fp < 0,93, on doit le relever pour avoir au moins 0,93. On utilise un condensateur. Avant relèvement : φ; Après : φ i u C D C =


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