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Introduction à lautomatisation -ELE3202- Cours #12: Commande des systèmes échantillonnés Enseignant: Jean-Philippe Roberge Jean-Philippe Roberge - Mars.

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1 Introduction à lautomatisation -ELE3202- Cours #12: Commande des systèmes échantillonnés Enseignant: Jean-Philippe Roberge Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

2 Cours # 12 Fin du dernier cours: Retour sur le théorème de la fréquence déchantillonnage Fonctions de transfert pulsées: Éléments en cascade Éléments en boucle fermée Stabilité dune fonction de transfert pulsée Commande des systèmes échantillonnés Lieux des racines Test de stabilité de Jury Erreur en régime permanent 2 Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

3 Cours # 12 Type dune fonction de transfert pulsée Équivalent discret dun contrôleur continu: Équivalent discret dun contrôleur PID: Différence arrière Transformation bilinéaire Réponse invariante à léchelon Réponse basée sur le système de deuxième ordre Présentation dintérêts détudiants: Photographie (I) Application au domaine de laéronautique(II) 3 Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

4 Cours #12 Jean-Philippe Roberge - Mars 20114

5 Choix dune fréquence déchantillonnage (I) Théorème déchantillonnage de Nyquist-Shannon Le théorème de Nyquist-Shannon (aussi parfois nommé « le théorème déchantillonnage) énonce que la fréquence à laquelle on échantillonne un certain signal doit être au moins supérieure au double de la fréquence maximale qui compose ce signal, cest-à-dire: De façon plus formelle (tirée de [8]) : Soit un signal continu qui possède un spectre de fréquence maximale Fmax, il est possible déchantillonner (discrétiser) ce signal sans perte dinformation si la fréquence déchantillonnage Fs est choisie telle que le théorème déchantillonnage soit respecté. Jean-Philippe Roberge - Mars 20115

6 Choix dune fréquence déchantillonnage (II) Théorème déchantillonnage de Nyquist-Shannon Tiré de [7] Jean-Philippe Roberge - Mars 20116

7 Choix dune fréquence déchantillonnage (III) Théorème déchantillonnage de Nyquist-Shannon À la limite, si un signal est échantillonné à exactement 2 fois sa fréquence maximale (source image - wikipédia) : Plusieurs signaux différents peuvent interpoler le signal véritable, cest donc la raison pourquoi il faut que la fréquence déchantillonnage soit plus de deux fois plus grande et non « plus grande ou égale » à la fréquence maximale qui compose le signal véritable. Jean-Philippe Roberge - Mars 20117

8 Fonction de transfert pulsée (I) Éléments en cascade Jean-Philippe Roberge - Mars 20118

9 Fonction de transfert pulsée (II) Éléments en boucle fermée Jean-Philippe Roberge - Mars 20119

10 Fonction de transfert pulsée (III) Éléments en boucle fermée Jean-Philippe Roberge - Mars

11 Fonction de transfert pulsée (IV) Exemple I Jean-Philippe Roberge - Mars

12 Jean-Philippe Roberge - Mars Fonction de transfert pulsée (V) Exemple I

13 Fonction de transfert pulsée (VI) Exemple I Jean-Philippe Roberge - Mars

14 Fonction de transfert pulsée (VII) Stabilité Jean-Philippe Roberge - Mars

15 Fonction de transfert pulsée (VIII) Stabilité Jean-Philippe Roberge - Mars

16 Retour sur le bloqueur dordre 0 (I) Q: Quel est lintérêt du bloqueur dordre 0? R: Le bloqueur dordre 0 est fréquemment utilisé en tant que convertisseur digital à analogique. Cest un système qui interpole grossièrement les échantillons. Il peut dailleurs précisément reproduire un signal analogique, tant et aussi longtemps que la période déchantillonnage « T » est petite en comparaison à la période de temps associée à la phase transitoire dudit signal. Plus particulièrement, la fréquence déchantillonnage doit respecter le théorème de Shannon-Nyquist: Où w s est la fréquence déchantillonnage et w 1 est la fréquence contenu dans le signal à échantillonner. Jean-Philippe Roberge - Mars

17 Retour sur le bloqueur dordre 0 (II) La fonction de transfert dun bloqueur dordre 0 (nous lavons développé au dernier cours) est: En général, lorsque nous effectuerons lanalyse dun système dans le domaine discontinu, nous considérerons souvent le schéma général suivant: Jean-Philippe Roberge - Mars Entrée = référence (digital) Ordinateur Convertisseur digital à analogique Actuateur Procédé Capteur Convertisseur analogique à digital Sortie (analogique) (digital) (analogique)

18 Retour sur le bloqueur dordre 0 (III) Ou encore: Donc: En considérant un contrôleur de proportionnel: Jean-Philippe Roberge - Mars

19 Commande des systèmes échantillonnés (I) Lieu des racines Jean-Philippe Roberge - Mars Donc, similairement au lieu des racines dans le domaine de Laplace, le lieu des racines sera du système en boucle fermée, dans le domaine échantillonné, sera déterminé par: De plus, puisque z est complexe, le lieu des racines du système en boucle fermée est sujet aux règles dEvans (exactement les mêmes), tout comme dans le domaine de Laplace.

20 Commande des systèmes échantillonnés (II) Lieu des racines Jean-Philippe Roberge - Mars Remarques: Les techniques montrées précédemment pour « placer les pôles » du système en utilisant les relations dangle et damplitude sappliqueront. La région dintérêt sera maintenant lintérieur du cercle unitaire (centré à lorigine) et non la partie gauche du plan complexe. Pour un G(z) avec n m > 0, il y aura toujours au moins une asymptote qui sortira du cercle unitaire et le gain K sera donc donc toujours borné supérieurement.

21 Commande des systèmes échantillonnés (III) Test de stabilité de Jury Jean-Philippe Roberge - Mars Lorsque nous étions dans le domaine de Laplace nous utilisions la table de Routh-Hurwitz afin de déterminé la stabilité ou linstabilité dun système. Le test de Jury vise le même objectif et passe par la création du « tableau de Jury » Il y a une analogie évidente à faire entre Routh-Hurwitz (Laplace – systèmes continus) et Jury (transformé en z – systèmes discontinus) Pour déterminer si tous les pôles dun polynômes en z sont à lintérieur du cercle unitaire, il faudra utiliser le test de stabilité de Jury. Considérons le polynôme caractéristique dun système (boucle fermée):

22 Commande des systèmes échantillonnés (IV) Test de stabilité de Jury Jean-Philippe Roberge - Mars Il faut alors vérifier si tous les pôles du polynôme en z sont à lintérieur du cercle unitaire centré à lorigine. Pour ce faire, on construit le tableau de Jury:

23 Commande des systèmes échantillonnés (V) Test de stabilité de Jury Avec: Jean-Philippe Roberge - Mars

24 Commande des systèmes échantillonnés (VI) Test de stabilité de Jury Finalement: Jean-Philippe Roberge - Mars

25 Commande des systèmes échantillonnés (VII) Erreur en régime permanent La notion de lerreur en régime permanent, tout comme pour les systèmes dans le domaine de Laplace, utilisera évidemment le théorème de la valeur finale. Soit le système suivant: Alors, la fonction de transfert du système est donnée par: Lerreur de suivi, quant à elle est donnée par: Donc, lerreur en régime permanent: Jean-Philippe Roberge - Mars

26 Commande des systèmes échantillonnés (VIII) Erreur en régime permanent – entrée échelon Ainsi, pour une entrée échelon, on a: Donc: Où: Jean-Philippe Roberge - Mars

27 Commande des systèmes échantillonnés (IX) Erreur en régime permanent – entrée rampe Ainsi, pour une entrée rampe, on a: Donc: Propriété des limites: La limite de produit est aussi égal au produit des limites: Où: Jean-Philippe Roberge - Mars

28 Commande des systèmes échantillonnés (X) Erreur en régime permanent – entrée parabole Ainsi, pour une entrée rampe, on a: Donc: Où: Jean-Philippe Roberge - Mars

29 Commande des systèmes échantillonnés (XI) Type dune fonction de transfert pulsée Le « type » dune fonction de transfert pulsée correspond au nombre de pôle situé en z=1. Tout comme dans le domaine de Laplace, il existe un lien direct entre le type dune fonction de transfert pulsée et lerreur en régime permanent pour une entrée connue (e.g.: un échelon, une rampe ou une parabole). Jean-Philippe Roberge - Mars

30 Commande des systèmes échantillonnés (XII) Type dune fonction de transfert pulsée VS E.R.P Jean-Philippe Roberge - Mars

31 Commande des systèmes échantillonnés (XIII) Équivalent discret dun contrôleur continu Le contrôleur PID du domaine continu (Laplace) possède son équivalent dans le domaine discret, et il est en fait assez facile de passer de la forme continue à discret. Il existe en effet plusieurs transformations qui permettent dobtenir léquivalent discret. En effet, soit léquation dun contrôleur PID : Cette équation peut être approximée en remplaçant lintégrale par une règle trapézoïdale et la dérivée par une différence arrière pour obtenir: Rappel & démonstration au tableau … Jean-Philippe Roberge - Mars

32 Commande des systèmes échantillonnés (XIV) Équivalent discret dun contrôleur continu À partir de cette approximation, attardons-nous maintenant à trouver la fonction de transfert pulsée du contrôleur PID. Commençons par trouver la fonction de transfert pulsée de lapproximation trapézoïdale de lintégrale de lerreur: On cherche F(z). En soustrayant des deux côtés, on obtient: Jean-Philippe Roberge - Mars

33 Commande des systèmes échantillonnés (XV) Équivalent discret dun contrôleur continu Donc, la fonction de transfert pulsée du contrôleur PID: Jean-Philippe Roberge - Mars

34 Commande des systèmes échantillonnés (XVI) Équivalent discret dun contrôleur continu Une autre approximation du contrôleur PID se base uniquement sur la différence arrière. En effet, puisquen approximant la dérivée par une différence arrière, nous avons approximé « s » par: En utilisant cette approximation pour « s », lintégrale peut par conséquent être approximée par: Ce qui donne lapproximation par différence arrière du contrôleur PID: Jean-Philippe Roberge - Mars

35 Commande des systèmes échantillonnés (XVII) Équivalent discret dun contrôleur continu Une autre approximation du contrôleur PID se base uniquement sur la transformation bilinéaire où lon approxime lintégrale par une règle trapézoïdale. En effet; Ce qui donne lapproximation par transformation bilinéaire du contrôleur PID: Cette approximation est habituellement plus précise que celle uniquement par différence arrière… Jean-Philippe Roberge - Mars

36 Commande des systèmes échantillonnés (XVIII) Réponse invariante à léchelon Une dernière façon dapproximer la fonction de transfert dun contrôleur se base sur une méthode par laquelle on souhaite obtenir la même réponse temporelle à un échelon dans le domaine discret et dans le domaine continu. Plus précisément, soit G(s) une fonction de transfert dun compensateur et G d (z) son approximation en discret, on souhaite: Jean-Philippe Roberge - Mars

37 Commande des systèmes échantillonnés (XIX) Réponse invariante à léchelon Jean-Philippe Roberge - Mars

38 Commande des systèmes échantillonnés (XIX) Résumé – Fonction de transfert du premier ordre En résumé: Jean-Philippe Roberge - Mars

39 Commande des systèmes échantillonnés (XX) Réponse basée sur le système de 2 ième ordre Jean-Philippe Roberge - Mars

40 Commande des systèmes échantillonnés (XXI) Réponse basée sur le système de 2 ième ordre Jean-Philippe Roberge - Mars

41 Commande des systèmes échantillonnés (XXII) Réponse basée sur le système de 2 ième ordre Jean-Philippe Roberge - Mars

42 Jean-Philippe Roberge - Mars Commande des systèmes échantillonnés (XXIII) Réponse basée sur le système de 2 ième ordre

43 Commande des systèmes échantillonnés (XXIV) Réponse basée sur le système de 2 ième ordre Jean-Philippe Roberge - Mars

44 Commande des systèmes échantillonnés (XXV) Exemple Jean-Philippe Roberge - Mars

45 Commande des systèmes échantillonnés (XXVI) Exemple Jean-Philippe Roberge - Mars

46 Commande des systèmes échantillonnés (XXVII) Exemple Jean-Philippe Roberge - Mars

47 Commande des systèmes échantillonnés (XXVII) Exemple Jean-Philippe Roberge - Mars

48 Commande des systèmes échantillonnés (XXVII) Exemple Jean-Philippe Roberge - Mars

49 Commande des systèmes échantillonnés (XXVIII) Exemple Jean-Philippe Roberge - Mars

50 Intérêt #1 : Photographie Jean-Philippe Roberge - Mars

51 Présentation dintérêts détudiants (I) Photographie - Références Jean-Philippe Roberge - Mars [1] A Control System for Superimposed High Speed Photographic Records – F.L. Curzon 1970 [2] Automatically Available Photographer Robot for controlling Composition and taking pictures – Myung-Jin Kim, Tae-Hoon Song, Seung-Hun Jin, Soon-Mook Jung, Gi-Hoon Go, Key-Ho Kwon and Jae-Wook Jeon, [3] ENTROPY BASED CAMERA CONTROL FOR VISUAL OBJECT TRACKING - Matthias Zobel, Joachim Denzler; Heinrich Niemann – [4] Exposure Control in a Multi-Stage Photographic System - J. W. Boone [5] Image-based visual PID control of a micro helicopter using a stationary camera, Kei Watanabe, Yuta Yoshihata, Yasushi Iwatani and Koichi Hashimoto, [6] Optical Image Stabilizing System using Multirate Fuzzy PID Controller for Mobile Device Camera, Hyung Jin Chang, Pyo Jae Kim, Dong Sung Song, and Jin Young Choi, 2009.

52 Présentation dintérêts détudiants (II) Photographie Jean-Philippe Roberge - Mars Application #1 : le robot photographe (tiré de [2]) Utile lors de sinistres ou de situations critiques (e.g. Centrales nucléaires au Japon) a) Plateforme mobile b) Système de vision c) Contrôleur

53 Présentation dintérêts détudiants (III) Photographie Jean-Philippe Roberge - Mars

54 Présentation dintérêts détudiants (IV) Photographie 2 ième application (tiré de [6]): Stabilisateur dimage pour caméra digitale portable. Basé sur la lecture de gyroscopes et de capteur daccélération linéaire, lalgorithme de contrôle évalue les vibrations subies par lappareil et minimise leur impact en corrigeant la position du capteur photographique (CCD : Charged Coupled Device) à laide dun moteur de type « voice coil ». Jean-Philippe Roberge - Mars

55 Présentation dintérêts détudiants (V) Photographie Jean-Philippe Roberge - Mars

56 Présentation dintérêts détudiants (VI) Photographie Jean-Philippe Roberge - Mars

57 Présentation dintérêts détudiants (VII) Photographie - Résultats Jean-Philippe Roberge - Mars

58 Présentation dintérêts détudiants (VIII) Photographie - Résultats Jean-Philippe Roberge - Mars

59 Jean-Philippe Roberge - Mars Présentation dintérêts détudiants (IX) Photographie - Résultats

60 Intérêt #2 : Aéronautique Jean-Philippe Roberge - Mars

61 Références 61 [1]Lateral and Longitudinal Guidance and Control Design of a UAV in Auto Landing Phase– Muhammad Ilyas Salfi, Umair Ahsun and Haider Ali Bhatti, [2] Research and Applications of Immune PID Adaptive Controller in Anti-skid Braking System for Aircraft – Haibin Song, Bin Fang, Pu Wang, [3] NASA - Control of a Human-Powered Helicopter in Hover– Joseph J. Totah and William Patterson, 1988 [4] Autonomous Path Tracking and Disturbance Force Rejection of UAV Using Fuzzy Based Auto-Tuning PID Controller – Theerasak Sangyam, Pined Laohapiengsak, Wonlop Chongcharoen, and Itthisek Nilkhamhang, [5] Design and Simulation of the Longitudinal Autopilot of UAV Based on Self-Adaptive Fuzzy PID Control, Yang Shengyi, Li Kunqin, Shi Jiao, Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

62 2 ième application (I) Système anti-dérapage (tiré de [2]) 62 Des systèmes anti-dérapage équipent aujourdhui la plupart des avions de lignes modernes. Ceux-ci revêtent une importance primordiale lors du décollage et surtout lors de latterrissage: Jean-Philippe Roberge - Mars 2011 Analyse des forces de lavion lorsque celui-ci se meut à laide de ses roues (tiré de [2]) Analyse des forces affectant une roue

63 2 ième application (II) Système anti-dérapage (tiré de [2]) 63 Coefficient de glissement dépendamment de la condition du tarmac: Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

64 2 ième application (III) Système anti-dérapage (tiré de [2]) 64 Architecture du système de contrôle: Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

65 2 ième application (IV) Système anti-dérapage (tiré de [2]) 65Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

66 2 ième application (V) Système anti-dérapage (tiré de [2]) 66Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

67 2 ième application (VI): Suivi de trajectoire et rejet des perturbations pour un UAV (tiré de [4]) Quest-ce quun UAV? UAV = « Unmaned Air Vehicle ». Ici, il sagira dun hélicoptère téléguidé à quatre rotors modélisé de cette façon: Jean-Philippe Roberge - Mars

68 2 ième application (VII): Suivi de trajectoire et rejet des perturbations pour un UAV (tiré de [4]) Le UAV a ici quatre rotors (actuateurs) et 6 variables détats qui décrivent complètement la dynamique du véhicule: Le but de la recherche est de comparer la performance dun contrôleur PID classique VS un contrôleur PID à gains ajustables pour commander le système de manière à ce quil soit apte a suivre un ensemble détats désirés. Jean-Philippe Roberge - Mars

69 2 ième application (VIII): Suivi de trajectoire et rejet des perturbations pour un UAV (tiré de [4]) Contrôleur PID classique: Jean-Philippe Roberge - Mars

70 2 ième application (IX): Suivi de trajectoire et rejet des perturbations pour un UAV (tiré de [4]) Contrôleur PID à gains ajustables: Jean-Philippe Roberge - Mars

71 2 ième application (X): Suivi de trajectoire et rejet des perturbations pour un UAV (tiré de [4]) Résultats: Jean-Philippe Roberge - Mars

72 2 ième application (XI): Suivi de trajectoire et rejet des perturbations pour un UAV (tiré de [4]) Résultats (suite): Jean-Philippe Roberge - Mars

73 Jean-Philippe Roberge - Mars [1]Modern Control Systems – Richard C. Dorf & Robert H. Bishop [2]Control Systems Engineering – Norman S. Nise [3]Notes de cours (ELE3202) – Richard Gourdeau & John Thistle [4]Linear System Theory – Wilson J. Rugh [5] R.C. Dorf and A. Kusiak, Handbook of Manufacturing and Automation, John Wiley & Sons, New York, [6] Jean-Philippe Roberge, Étude et commande dun système mécanique avec liens flexible, [7]Pascal Bigras, Asservissement numérique en temps réel, notes de cours, cours # [8] Groupe de Recherche en Informatique, Image, Automatique et Instrumentation de Caen : Références


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