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Introduction à lautomatisation -ELE3202- Cours #11: Transformée en z – Bloqueur dordre 0 et transformée inverse Enseignant: Jean-Philippe Roberge Jean-Philippe.

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1 Introduction à lautomatisation -ELE3202- Cours #11: Transformée en z – Bloqueur dordre 0 et transformée inverse Enseignant: Jean-Philippe Roberge Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

2 Cours # 11 Retour sur lexamen intra Exercices tirées des examens finaux des années passées Revue du dernier cours Retour sur la fin du dernier cours: Bloqueur dordre 0 Obtention de la fonction de transfert Obtention de la fonction de transfert pulsée Transformée en z inverse 2 Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

3 Cours # 11 Choix dune période déchantillonnage Fonction de transfert pulsée: Déléments en cascade Déléments en boucle fermée Critère de stabilité Présentation dun intérêt détudiant : la photographie (1) 3 Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

4 Retour sur lexamen intra Question #1 Jean-Philippe Roberge - Mars 20114

5 Retour sur lexamen intra Question #2 Jean-Philippe Roberge - Mars 20115

6 Retour sur lexamen intra Question #3 Jean-Philippe Roberge - Mars 20116

7 Retour sur lexamen intra Question #4 Jean-Philippe Roberge - Mars 20117

8 Retour sur lexamen intra Question #5 Jean-Philippe Roberge - Mars 20118

9 Retour sur lexamen intra Question #6 Jean-Philippe Roberge - Mars 20119

10 Résumé des apprentissages (I) Matière vue depuis lexamen intra Modèle détat En boucle ouverte : En boucle fermée (en fermant la boucle par une rétroaction détats (U = -K*x)): Jean-Philippe Roberge - Mars

11 Jean-Philippe Roberge - Mars Résumé des apprentissages (II) Matière vue depuis lexamen intra Le fait davoir fermée la boucle avec U = -K*x suppose que tous les états sont disponibles (on peut les connaître les mesurer). Cependant, dans bien des cas: Il est impossible de mesurer tous les états On ne souhaite pas acheter tous les capteurs qui seraient nécessaires (qui sont parfois coûteux). Une solution est alors lobservateur détat:

12 Jean-Philippe Roberge - Mars Résumé des apprentissages (III) Matière vue depuis lexamen intra Si les valeurs propres de sont à partie réelle négative, alors nous avions démontré que lerreur destimation de létat tend vers 0 quand le temps tend vers linfini. On peut alors se servir de létat estimé pour faire notre rétroaction détat:

13 Jean-Philippe Roberge - Mars Résumé des apprentissages (IV) Matière vue depuis lexamen intra En ce qui concerne le design de lobservateur détat, nous avions vu le principe de séparation. En effet: Donc; En choisissant le gain K e de sorte à ce que les valeurs propres de (A-K e C) soient toutes à partie réelle négative, on assure la stabilité de lobservateur (lerreur est stable). Non seulement lerreur est-elle stable, elle tend vers 0 (tel que démontré dans le cours). Étant donnée lerreur stable et en choisissant le gain K de sorte à ce que les valeurs propres de (A-BK) soient toutes à partie réelle négative, on assure la stabilité du système (procédé) Nous pouvons donc effectuer le design de lobservateur de manière tout à fait indépendante du procédé:

14 Jean-Philippe Roberge - Mars Résumé des apprentissages (V) Matière vue depuis lexamen intra Dans une foule dapplications, nous souhaitons que le procédé soit apte à suivre des consignes de type échelon (damplitude quelconque) et ce, malgré la présence possible de perturbations constantes. Par exemple; Régulateur de vitesse, lecteur de disque dur, suivi de température dans un four, thermostats électroniques et mécaniques, etc… Nous avions alors démontré quen ajoutant un intégrateur à lentrée du système, il était possible de faire le suivi de consigne de type échelon:

15 Jean-Philippe Roberge - Mars Résumé des apprentissages (VI) Matière vue depuis lexamen intra Rappel de la preuve démontrant la capacité du système à effectuer le suivi de consigne: En effet, soient lerreur « e » et lintégrale de lerreur « e I »: On peut ré-écrire sous forme de modèle détat, tel que: En fermant la boucle (tout en étant conforme avec le diagramme fonctionnel précédent) avec u=-Kx+K I e I, on obtient le modèle détat en boucle fermée:

16 Contrôle intégral pour suivi de consigne (VII) Le système et lerreur à la sortie de lintégrateur seront stables si la matrice A e à toute ses valeurs propres à partie réelle négative. Maintenant, si le système est stable, cela implique que lorsque le temps tend vers linfini: Si, alors on a (de léquation du haut): Jean-Philippe Roberge - Mars

17 Jean-Philippe Roberge - Mars Résumé des apprentissages (VIII) Matière vue depuis lexamen intra Évidemment, il est possible de pousser plus loin la théorie et de combiner toutes ces notions sous forme générale: Nous pouvons faire la conception dun système qui doit suivre des consignes de type échelon avec un observateur pour estimer létat: Nous avions vu lexemple des locomotives qui appliquait cette forme complète.

18 Résumé des apprentissages (IX) Bloqueur dordre zéro Un bloqueur dordre 0 est un système qui permet de garder constante (le temps dune période déchantillonnage) la valeur dun échantillon: À lentré du bloqueur, on a: En intégrant, on obtient : Finalement on obtient la sortie du bloqueur en soustrayant:, cest-à-dire lintégrale décalée de: Jean-Philippe Roberge - Mars

19 Fin du dernier cours (X) Bloqueur dordre zéro Jean-Philippe Roberge - Mars Donc, la fonction de transfert du bloqueur dordre 0 est: Exemple de système en boucle ouverte avec un bloqueur dordre 0 à lentrée:

20 Fin du dernier cours (XI) Bloqueur dordre zéro Jean-Philippe Roberge - Mars

21 Exercices Jean-Philippe Roberge - Mars

22 Exercices (I) Modèle détat Jean-Philippe Roberge - Mars Examen final 2008:

23 Exercices (II) Modèle détat Jean-Philippe Roberge - Mars Examen final 2009:

24 Cours #11

25 Transformée en z inverse (I) Lorsque nous nous intéressons à « convertir » une fonction du domaine z au domaine temporel, il est nécessaire de faire appel à la notion de transformée de z inverse. Dans le cadre du cours, trois différentes méthodes seront présentées pour obtenir la transformée en z inverse. Il sagit de: 1) La division directe 2) Lexpansion en fractions partielles 3) Le calcul par récursion Jean-Philippe Roberge - Mars

26 Transformée en z inverse (II) La division directe Le principe de la méthode par division directe est dobtenir une série infinie en. Ensuite, en se rappelant la définition même dune transformée en z, i.e.: Il est possible de retrouver la valeur de chaque x(k*T). Considérons cet exemple: Que lon peut ré-écrire sous cette forme: Jean-Philippe Roberge - Mars

27 Transformée en z inverse (III) La division directe Jean-Philippe Roberge - Mars

28 Transformée en z inverse (IV) La division directe Jean-Philippe Roberge - Mars

29 Transformée en z inverse (V) Lexpansion en fractions partielles Jean-Philippe Roberge - Mars

30 Transformée en z inverse (VI) Lexpansion en fractions partielles Jean-Philippe Roberge - Mars

31 Transformée en z inverse (VII) Lexpansion en fractions partielles Jean-Philippe Roberge - Mars

32 Transformée en z inverse (VIII) Calcul par récursion Jean-Philippe Roberge - Mars

33 Transformée en z inverse (IX) Calcul par récursion Jean-Philippe Roberge - Mars

34 Transformée en z inverse (IX) Calcul par récursion Jean-Philippe Roberge - Mars

35 Choix dune fréquence déchantillonnage (I) Théorème déchantillonnage de Nyquist-Shannon Le théorème de Nyquist-Shannon (aussi parfois nommé « le théorème déchantillonnage) énonce que la fréquence à laquelle on échantillonne un certain signal doit être au moins supérieure au double de la fréquence maximale qui compose ce signal, cest-à-dire: Où w s est la fréquence déchantillonnage et w 1 est la fréquence maximale qui compose le signal à échantillonner. Jean-Philippe Roberge - Mars

36 Choix dune fréquence déchantillonnage (II) Théorème déchantillonnage de Nyquist-Shannon Tiré de [7] Jean-Philippe Roberge - Mars

37 Choix dune fréquence déchantillonnage (III) Théorème déchantillonnage de Nyquist-Shannon À la limite, si un signal est échantillonné à exactement 2 fois sa fréquence maximale (source - wikipédia) : Plusieurs signaux différents peuvent interpoler le signal véritable, cest donc la raison pourquoi il faut que la fréquence déchantillonnage soit plus de deux fois plus grande et non « plus grande ou égale » à la fréquence maximale qui compose le signal véritable. Jean-Philippe Roberge - Mars

38 Fonction de transfert pulsée (I) Éléments en cascade Jean-Philippe Roberge - Mars

39 Fonction de transfert pulsée (II) Éléments en boucle fermée Jean-Philippe Roberge - Mars

40 Fonction de transfert pulsée (III) Éléments en boucle fermée Jean-Philippe Roberge - Mars

41 Fonction de transfert pulsée (IV) Exemple I Jean-Philippe Roberge - Mars

42 Jean-Philippe Roberge - Mars Fonction de transfert pulsée (V) Exemple I

43 Fonction de transfert pulsée (VI) Exemple I Jean-Philippe Roberge - Mars

44 Fonction de transfert pulsée (VII) Stabilité Jean-Philippe Roberge - Mars

45 Fonction de transfert pulsée (VIII) Stabilité Jean-Philippe Roberge - Mars

46 Présentation dintérêts détudiants (I) Photographie - Références Jean-Philippe Roberge - Mars [1] A Control System for Superimposed High Speed Photographic Records – F.L. Curzon 1970 [2] Automatically Available Photographer Robot for controlling Composition and taking pictures – Myung-Jin Kim, Tae-Hoon Song, Seung-Hun Jin, Soon-Mook Jung, Gi-Hoon Go, Key-Ho Kwon and Jae-Wook Jeon, [3] ENTROPY BASED CAMERA CONTROL FOR VISUAL OBJECT TRACKING - Matthias Zobel, Joachim Denzler; Heinrich Niemann – [4] Exposure Control in a Multi-Stage Photographic System - J. W. Boone [5] Image-based visual PID control of a micro helicopter using a stationary camera, Kei Watanabe, Yuta Yoshihata, Yasushi Iwatani and Koichi Hashimoto, [6] Optical Image Stabilizing System using Multirate Fuzzy PID Controller for Mobile Device Camera, Hyung Jin Chang, Pyo Jae Kim, Dong Sung Song, and Jin Young Choi, 2009.

47 Présentation dintérêts détudiants (II) Photographie Jean-Philippe Roberge - Mars Application #1 : le robot photographe (tiré de [2]) Utile lors de sinistres ou de situations critiques (e.g. Centrales nucléaires au Japon) a) Plateforme mobile b) Système de vision c) Contrôleur

48 Présentation dintérêts détudiants (III) Photographie Jean-Philippe Roberge - Mars

49 Présentation dintérêts détudiants (IV) Photographie 2 ième application (tiré de [6]): Stabilisateur dimage pour caméra digitale portable. Basé sur la lecture de gyroscopes et de capteur daccélération linéaire, lalgorithme de contrôle évalue les vibrations subies par lappareil et minimise leur impact en corrigeant la position du capteur photographique (CCD : Charged Coupled Device) à laide dun moteur de type « voice coil ». Jean-Philippe Roberge - Mars

50 Présentation dintérêts détudiants (V) Photographie Jean-Philippe Roberge - Mars

51 Présentation dintérêts détudiants (VI) Photographie Jean-Philippe Roberge - Mars

52 Présentation dintérêts détudiants (VII) Photographie - Résultats Jean-Philippe Roberge - Mars

53 Présentation dintérêts détudiants (VIII) Photographie - Résultats Jean-Philippe Roberge - Mars

54 Jean-Philippe Roberge - Mars Présentation dintérêts détudiants (IX) Photographie - Résultats

55 Prochain cours Jean-Philippe Roberge - Mars Commande des systèmes échantillonnés: Lieux des racines Critère de Jury Erreur en régime permanent Équivalent discret dun contrôleur continu Réponses basées sur le système de deuxième ordre

56 Références 56 [1]Modern Control Systems – Richard C. Dorf & Robert H. Bishop [2]Control Systems Engineering – Norman S. Nise [3]Notes de cours (ELE3202) – Richard Gourdeau & John Thistle [4]Linear System Theory – Wilson J. Rugh [5] R.C. Dorf and A. Kusiak, Handbook of Manufacturing and Automation, John Wiley & Sons, New York, [6] Jean-Philippe Roberge, Étude et commande dun système mécanique avec liens flexible, [7]Pascal Bigras, Asservissement numérique en temps réel, notes de cours, cours # Jean-Philippe Roberge - Mars 2011


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