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Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 81 3- Filtrage numérique Généralités sur les filtres numériques et sur le filtrage –Forme générale.

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1 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE Filtrage numérique Généralités sur les filtres numériques et sur le filtrage –Forme générale dun filtre numérique –Réponse en fréquence des systèmes discrets –Spécification et méthodologie de calcul des filtres (numériques et analogiques) –Classification des filtres –Comparaison RIF-RII Structures des filtres numériques –Structures non récursives –Structures récursives –Structures cascade, paralléle... Calcul des filtres RII Calcul des filtres RIF

2 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE Généralités sur les filtres et sur le filtrage Forme générale dun filtre numérique Les coefficients a(i) et b(j) sont réels Fonction de transfert G(z) à P pôles p i et Q zéros z i réels ou en paires complexes conjuguées Réponse impulsionnelle g(k)

3 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 83 Forme générale dun filtre numérique FILTRE RIF: Si P=0, le filtre na que des zéros Les coefficients b(k) forment la réponse impulsionnelle La Réponse Impulsionnelle est de durée Finie FILTRE RIF Filtre à moyenne mobile, ou filtre MA (Moving Average).

4 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 84 Filtre RIF ATTENTION G(z) a Q zéros et Q pôles situés à lorigine z=0 ATTENTION la forme de G(z) peut être trompeuse Exemple: Filtre moyenneur N zéros et 1 pôle N zéros, N-1 pôles en z=0, 1 pôle en z=1 z=1 est à la fois pôle et zéro il reste N-1 zéros et N-1 pôles en z=0

5 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 85 Forme générale des filtres numérique FILTRE RII: Si G(z) a des pôles (différents de z=0) –La Réponse Impulsionnelle est de durée Infinie –Un pôle correspond à une réponse impulsionnelle exponentielle Pôle en z=a Remarque: série convergente pour |a|<1 k g(k)

6 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 86 Filtres RII Si le filtre RII na que des pôles (et des zéros en z=0) –Filtre AR (Auto-Régréssif) –Filtre tout-pôles, (All pole filter) Si le filtre RII a des pôles et des zéros différents de z=0 Modèle ARMA dordre P et Q

7 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 87 Forme générale des filtres numériques En règle générale posséde Q zéros et P pôles et Q-P pôles en z=0 si Q>P P-Q zéros en z=0 si P>Q Exemples 1) Voir filtre moyenneur 2) Filtre AR dordre 1 Pôle en z=a P=1, Q=0 donc 1 zéro en z=0

8 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 88 Forme générale des filtres numériques Filtre stable si les pôles sont à lintérieur du cercle unité dans le plan des z 1 x x x o o 3 pôles z = i, i, zéros z = -1-i, -1+i Si les zéros sont aussi à lintérieur du cercle unité, le filtre est à phase minimale

9 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 89 Réponse en fréquence des filtres numériques Evaluation de G(z) sur le cercle unité Evaluation de G(z)pour z=exp(j2 f) f variant de 0 à 1 Evaluation de G(z) pour z=exp(j2 fT e ) f variant de 0 à F e =1/T e, fréquence déchantillonnage réelle Transformée de Fourier discrète de la réponse impulsionnelle Représentation en module et en phase Périodique en fréquence (période 1 ou F e) Réponse impulsionnelle réelle Module pair, phase impaire

10 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 90 Réponse en fréquence des filtres numériques Exemple TFD

11 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 91 Réponse en fréquence des filtres numériques Exemple (suite) pour a=0,5 Module |H(f)| Pair, période 1 Phase Impaire, période 1

12 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 92 Réponse en fréquence des filtres numériques Exemple Filtre de Butterworth passe-bas ordre 2 Fréquence de coupure 0.25 (c.à.d 0.25 Fe) MATLAB: > [b,a]=butter(2,0.5) (2 = Fe) b = a = Pôles et zéros ( > [z,p,k]=butter(2,0.5) ) z = , p = i, i Réponse en fréquence z = exp(j2 f) f =[0,1]

13 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 93 Réponse en fréquence des filtres numériques Exemple (suite) ModulePhase o (2) x x

14 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 94 Méthodologie de calcul des filtres Spécification (Gabarit) –Module de la réponse en fréquence –Phase, temps de propagation de groupe –Réponse impulsionnelle ou indicielle Entrée Sortie Filtre Application Spécification Calcul Approximation Réalisation Test

15 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 95 Approximation Spécifications H(p), H(z) Trouver une fonction de transfert réalisable dont la réponse (en fréquence, en temps et/ou en phase) respecte la spécification –Fonctions bien connues (tables, abaques) Butterworth, Tchebysheff, Bessel Legendre, Cauer (filtres elliptiques)... –Méthodes directes Manuelles Par ordinateur –Méthodes itératives (par ordinateur!) Approximations optimales au sens dun certain critère Méthodologie de calcul des filtres

16 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 96 Méthodologie de calcul des filtres Synthèse (réalisation) Choisir la structure, calculer les composants, format des calculs et des coefficients (nb de bits)... –Analogique Filtres passifs Filtres actifs (Sallen&Key, NIC...) –Numérique Circuits numériques spécifiques Programmation ( P, DSP...) FIR, IIR, récursif, non récursif, en cascade, en parallèle, en treillis... –Mixte Capacités commutées Approximation et synthèse sont parfois intimement liées.

17 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 97 Méthodologie de calcul des filtres Test La réalisation ne respecte pas toujours lapproximation et les spécifications –Réglage (analogique, coûteux) –Retour en arrière Modification des spécification (!) Autre approximation Choix de la structure Choix des composants (précision). Les spécifications ne doivent pas être trop rigoureuses, ou contradictoires.

18 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 98 Spécification des filtres Spécification par gabarit Atténuation(dB) Fréquence(kHz Bande passante Bande coupée Bande de transition Module de la réponse en fréquence Atténuation (inverse du gain) Filtre réel, donc module pair Simplification (ex: 60dB entre 10 et 15 kHz) Bande de transition INDISPENSABLE Mais: Ordre du filtre, complexité de la réalisation, temps de calcul...

19 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 99 Classification des filtres Classification fréquentielle –Passe-bas Atténuation des hautes fréquences –Passe-haut Atténuation des basses fréquences –Passe-bande Atténuation des hautes et des basses fréquences –Coupe-bande ou réjecteur Atténuation dune bande de fréquences intermédiaires –Autres : Dérivateur, intégrateur, réseau déphaseur (passe-tout)

20 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 100 Classification des filtres Sélectivité –Passe-bas f fafa fpfp A(dB) –Passe-haut f fafa fpfp A(dB)

21 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 101 Classification des filtres –Passe-bande f a1 f p1 f p2 f a2 –coupe-bande f p1 f a1 f a2 f p2 f0f0 f0f0

22 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 102 Classification des filtres Attention: cas des filtres numériques Le gabarit est implicitement périodisé La bande «intéressante» est [0, Fe/2] Fe > 1 Fe/ > 0,5 f > f/Fe

23 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 103 Classification des filtres pour les filtres numériques Classification daprès la réponse impulsionnelle – RIF (FIR) Réponse Impulsionnelle finie –RII (IIR) Réponse impulsionnelle infinie Classification méthodologique –Implantation non récursive (RIF) y(n)=a 0 x(n)+a 1 x(n-1)+...+a k x(n-k) –Implantation récursive (RIF et RII) y(k)= a 0 x(k)+a 1 x(k-1)+...+a n x(k-n) - b 1 y(k-1)-...-b m y(k-m) –Implantation par Tr. de Fourier

24 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 104 Comparaison des filtres RIF et RII

25 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE Structures de calcul des filtres numériques Fonction de transfert en Z Equations de réalisation Filtre RIF Filtre RII Par transformée en Z inverse, on obtient:

26 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 106 Structure des filtres numériques Calcul des équations précédentes –Par programme (C, Matlab, langage machine sur P, DSP...) –Avec une électronique spécifique Additionneurs, multiplieurs, registres (mémoires). a y(n) x(n)+y(n) x(n) x(n-1) T x(n) a x(n)

27 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 107 Exemple de réalisation programmée «simpliste» dun filtre numérique /* b(0) + b(1) z -1 + b(2) z -2 H(z) = a(1) z -1 + a(2) z -2 */ int x[3],y[2], xin,yout=0; float b[3], a[2]; /* xin contient l'echantillon d'entree */ x[0]=xin /* calcul du numérateur */ for(i=0;i<3;i++)yout=yout+x[i]*b[i]; /* calcul du dénominateur, partie recursive du filtre */ for(i=0;i<2;i++)yout=yout-y[i]*a[i]; /* decalage du tampon d'entrée */ for(i=0;i<2;i++)x[i+1]=x[i]; /* decalage du tampon de sortie */ for(i=0;i<1;i++)y[i+1]=y[i]; y[0]=yout; /* sortie de yout */

28 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 108 Structure des filtres numériques Structure non récursive ou filtre transverse x(n) x(n-1) x(n-Q) b(0)b(1)b(2) b(Q-1) b(Q) y(n) T T T Q mémoires (tampon, tableau à Q) élements) Q multiplieurs Q additionneurs

29 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 109 Structure des filtres numériques Structure récursive forme directe de type 1 x(n) x(n-1) x(n-Q) b(0)b(1)b(2) b(Q-1) b(Q) T T T -a(P) -a(P-1) -a(P-2) -a(1) y(n) T T T Q+P mémoires Q+P multiplieurs Q+P additionneurs

30 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 110 Structure des filtres numériques Structure récursive forme canonique directe de type 2 Max(P,Q) mémoires P+Q multiplieurs P+Q additionneurs Variable intermédiaire mémorisée Variable détat ?

31 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 111 Structure des filtres numériques Structure cascade –Décomposition en pôles et zéros Regroupement par paires de pôles et de zéros Cellule 2 nd ordre Cellule 2 nd ordre Cellule 2 nd ordre

32 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 112 Structure des filtres numériques Structure paralléle –Décomposition en fraction partielle Cellule 2 nd ordre Cellule 2 nd ordre Retard et Multiplication x[n] y[n]


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