3. Logique et mathématiques De la logique aux mathématiques.

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1 3. Logique et mathématiques De la logique aux mathématiques

2 Le nombre de satellites de Jupiter est lextension du concept « équinumérique au concept « satellite de Jupiter » » Puisque rien ne tombe sous le concept : « non identique à soi- même », je pose par définition : 0 est le nombre cardinal qui appartient au concept « non identique à soi-même. « il existe un concept F et un objet x qui tombe sous ce concept tels que le nombre cardinal qui appartient à ce concept est n et que le nombre cardinal qui appartient au concept 'qui tombe sous F mais n'est pas identique à x' est m ». veut dire la même chose que « n suit immédiatement m dans la suite naturelle des nombres. » Théorie des cardinaux finis

3 Linfini? le nombre cardinal infini est le nombre qui appartient au concept « nombre cardinal fini » Infini actuel

4 Les ordinaux un ensemble est un ordinal sil a les deux propriétés suivantes : La relation est sur une relation dordre total strict qui est un bon ordre ; Si alors, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}, {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} etc.

5 Loi dengendrement

6 Loi dengendrement { }

7 Loi dengendrement { } {, { }},

8 Loi dengendrement { } {, { }}, {, { }, {, { }}},

9 Loi dengendrement { } {, { }}, {, { }, {, { }}}, {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} etc.

10 ordinaux si est un ordinal, alors { } est un ordinal. On note alors ce nouvel ordinal : +, cest le successeur de. Un ordinal est dit fini si lui-même et chacun de ses éléments est successeur dun ordinal. Dans le cas contraire, on parle dordinal limite

11 Ordinaux limites lensemble de tous les ordinaux finis est un ordinal on ne peut pas trouver dordinal dont il soit le successeur ! autrement dit cest un ordinal limite. notons- le : cest le plus petit ordinal infini

12 ordinaux Mais + 1 = { } est aussi un ordinal limite, + 1, + 2, + 3, …. + = 2, puis 3, 4 … = 2, puis 3, …,

13 Les ordinaux et les cardinaux = ( est le plus petit ordinal équipotent à N) On pose: ( est un ordinal, le successeur dun cardinal k est le plus petit cardinal qui lui est supérieur) Card(R) = Card (N) = Question: est-ce que = ?