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La voie intuitionniste de Heyting à Kripke. Système déductif (déduction naturelle) : de, A |-- B on peut déduire : |-- A B A, B |-- A B A |-- A B B |--

Copies: 1
Logique et raisonnement scientifique cours transversal Collège Doctoral Pr. Alain Lecomte.

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1 La voie intuitionniste de Heyting à Kripke

2 Système déductif (déduction naturelle) : de, A |-- B on peut déduire : |-- A B A, B |-- A B A |-- A B B |-- A B A, A B |-- B (modus ponens) A B |-- A A B |-- B de, A |-- C et, B |-- C on peut déduire :, A B |-- C

3 Système déductif (déduction naturelle) de, A |-- B et, A |-- B on peut déduire : |-- A (red. à labsurde) de |-- (x), où x est libre et napparaît pas dans, on peut déduire : |-- x (x) (t) |-- x (x) A, A |-- B x (x) |-- (t) de, (x) |-- C, où x est libre et napparaît pas dans, on peut déduire, x (x) |-- C

4 Modèle de Kripke On définit une structure comme un triplet (e 0, K, ) où K est un ensemble, e 0 un élément de K et une relation réflexive et transitive (un préordre) sur K Soit P un ensemble de variables propositionnelles, un modèle intuitionniste sur (e 0, K, ) est une fonction : : P K {V, F} telle que: – Si (p, h) = V et si h h, alors (p, h) = V

5 interprétation Linterprétation quon peut donner est celle dun mathématicien idéalisé dont on modélise lactivité mentale. Celle-ci se structure sous la forme de suites détats, pouvant se représenter a priori comme un arbre. K est donc lensemble des états de la connaissance et e 0 est létat initial. La relation est simplement un ordonnancement des états. On fait lhypothèse dune croissance monotone des connaissances, de sorte que si deux états h et h sont tels que h h et si S h et S h désignent les ensembles de propositions connues dans les états respectifs h et h, alors S h S h

6 Valeur de vérité dune formule Comme dans le cas de la logique propositionnelle classique, on peut étendre la définition de, initialement définie seulement sur les propositions atomiques, à toute formule propositionnelle, au moyen de la définition récursive suivante: – a) (A B,h) = V ssi (A,h) = (B,h) = V – b) (A B,h) = V ssi (A,h) = V ou (B,h) = V – c) (A B,h) = V ssi pour tout h tel que h h, (A,h) = F ou (B,h) = V – d) ( A,h) = V ssi pour tout h tel que h h, (A,h)= F

7 commentaires (a) et (b) ne sont pas étonnants : je connais A B dans un état h si et seulement si, dans cet état, je connais à la fois A et B, idem pour A B (c) signifie que A B est connu dans un certain état si et seulement si dans cet état et dans tout état futur, on ne pourra pas connaître A sans connaître B (d) signifie que la négation de A est vraie dans un état si dans cet état et tous les états futurs, A est faux On peut vérifier facilement que la propriété de monotonie vraie pour les atomes lest encore pour les formules quelconques: – Si (A, h) = V alors pour tout h tel que h h, (A, h) = V

8 remarque Les états peuvent aussi sinterpréter comme des mondes possibles et la relation comme relation daccessibilité sur ces mondes : on obtient alors un plongement dans une logique modale. Nous reviendrons plus loin sur ce point : il sagira de la logique modale S4.

9 Lensemble K (la formule est vraie à e 0 ) e0e0 e1e1 e3e3 e4e4 e2e2 e 10 e8e8 e9e9 e6e6 e5e5 e7e7 (Le fait quune variable propositionnelle figure à côté du nom dun état signifie que dans cet état, est vraie. Par défaut, est fausse).

10 commentaires Selon Kripke (1963), les états sont des instants auxquels on dispose de plus ou moins dinformation. Si à un instant h, on dispose dassez dinformation pour prouver A, alors on dit que (A, h) = V, si nous navons pas assez dinformation, on dit que (A, h) = F. Si (A, h) = V, on dit que A a été vérifié au temps h, si (A, h) = F, que A na pas été vérifié au temps h. Bien noter que (A, h) = F ne signifie pas que A a été prouvé faux au temps h, mais seulement que A na pas (encore) été prouvé au temps h.

11 Commentaires (suite) Dans ce modèle, le passage de e 0 à e 2 indique que nous avons gagné assez dinformation pour pouvoir affirmer R, en plus de P, Apparemment, le passage de e 1 à e 4 ne fait gagner aucune information (même ensemble de propositions vraies P et Q), il y a cependant un gain dinformation qui réside en ceci que de e 1 on peut passer à e 3, alors que de e 4, on ne le peut plus, donc linformation acquise est celle qui exclut R. e0e0 e1e1 e2e2 e3e3 e4e4 P P,Q P,Q,R P,R

12 Commentaires -3 Il est préférable de ne pas interpréter V et F comme « vrai » et « faux », par exemple asserter « intuitionnistiquement » A à h ne signifie pas que A « est faux à linstant h », mais que nous naurons jamais aucune preuve de A à partir de linstant h De même, asserter«intuitionnistiquement» que A B à h ne signifie pas que A est faux ou B est vrai à h, mais que dans toute situation future (après h), chaque fois que nous aurons une preuve de A, alors nous aurons aussi une preuve de B.

13 Formule valide Une formule A est dite valide si et seulement si (A, e 0 ) = V pour tout modèle sur une structure (e 0, K, ) Un modèle sur une structure (e 0, K, ) tel que (A, e 0 ) = F est appelé un contre-modèle de A

14 Exemples de contre-modèles Dans ce modèle, on a: – (P,e 1 ) = V et (P,e 0 ) = F, – Puisque (P,e 1 ) = V, ( P,e 0 ) = F, – Donc (P P,e 0 ) = F e0 e1 P Ceci est donc un contre-modèle de P P (le tiers-exclu)

15 Commentaire 1 Nous trouvons ainsi immédiatement un contre-modèle du tiers-exclu, ce qui signifie que celui-ci nest pas valide en logique intuitionniste Nous ne sommes pas surpris vu que nous savons que la perspective initiale de Brouwer (fondateur de lintuitionnisme) était justement de bannir une telle loi du raisonnement mathématique Intuitivement : à linstant e 0, nous navons pas encore prouvé P, nous ne pouvons pas non plus asserter P puisquil reste la possibilité que nous gagnions plus tard assez dinformation pour aller vers e 1 et ainsi pouvoir asserter P.

16 Commentaire 2 Cette même structure permet de réfuter: P P – En effet ( P P,e 0 ) = F pour les raisons suivantes: – ( P,e 0 ) = V puisque ( P,e 0 ) = ( P,e 1 ) = F – Mais (P,e 0 ) = F, – donc ( P P,e 0 ) = F

17 Exercices Prouver que la structure suivante réfute: (P Q) P Q (P Q) (Q P) P Q

18 Trouver une structure permettant de réfuter ( P Q) (Q P) Trouver une structure permettant de réfuter (P Q) ( P Q) Trouver une structure permettant de réfuter P P


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