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Logique et raisonnement scientifique cours transversal Collège Doctoral Pr. Alain Lecomte.

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1 Logique et raisonnement scientifique cours transversal Collège Doctoral Pr. Alain Lecomte

2 6- Faut-il brûler la logique classique? 6-1. Les logiques modales

3 C. I. Lewis, 1918 : les « paradoxes » de limplication matérielle (1) (2) ad impossibile sequitur quodlibet Ex: si « leau bout à 100° » est vraie, alors il est vrai que « si Charlemagne fut empereur, alors leau bout à 100° » Distinguer une « implication stricte » dune implication matérielle?

4 Implication stricte P implique strictement Q si et seulement sil est impossible que P soit vrai sans que Q le soit Fait intervenir la notion de modalité

5 … une idée pas neuve Aristote, Premiers Analytiques cf. discussion sur laporie de Diodore Kronos (J. Vuillemin, 1984)

6 Aporie de Diodore - 1 A – le passé est irrévocable, B – si q suit nécessairement de p, alors sil nest pas possible que q, il nest pas possible que p C – il y a des possibles qui ne se réaliseront jamais, D – de ce qui se réalise il na jamais été vrai quil ne se réalisera pas, E – de ce qui ne se réalise pas et ne se réalisera jamais, il a été vrai (à quelque moment) quil ne se réalisera jamais

7 Aporie de Diodore - 1 A – le passé est irrévocable, B – si q suit nécessairement de p, alors sil nest pas possible que q, il nest pas possible que p C – il y a des possibles qui ne se réaliseront jamais, D – de ce qui se réalise il na jamais été vrai quil ne se réalisera pas, E – de ce qui ne se réalise pas et ne se réalisera jamais, il a été vrai (à quelque moment) quil ne se réalisera jamais Pp M Pp L(p q) ( Mq Mp) (Mp p Fp) p P Fp p Fp P Fp

8 Aporie de Diodore - 2 toute thèse étant nécessaire (axiome de nécessitation), on a : L(p P Fp)(par D) p Fp P Fp(par E) P Fp M P Fp(par A) p Fp M P Fppar transitivité (syllogisme) L(p P Fp) ( M P Fp Mp) (par B) M P Fp Mp(par modus ponens appliqué à 1 et 5) p Fp Mp(par 4, 6 et transitivité) Mp p Fp(contraposition de 7), autrement dit : C.

9 Intérêt des logiques modales Introduire : le temps dans la logique (logique temporelle) sous laspect dopérateurs tels que P et F (passé et futur), les considérations de contingence et de nécessité (logique aléthique), celles de permission et dobligation (logique déontique) les notions de savoir et de croyance (logiques épistémiques et doxastiques).

10 opérateurs logique aléthique : le nécessaire est le dual du possible logique déontique : lobligatoire est le dual du permis logique de la prouvabilité : le prouvable est le dual du « consistant avec » p

11 Premières approches : Lewis et Langford, 1932 Présentation à la Hilbert

12 Interprétation « naturelle »: p = « il est nécessaire que p » La logique modale (propositionnelle) est une extension du calcul propositionnel : – Toute logique modale doit contenir comme théorèmes au minimum toutes les tautologies du CP, – Comme il existe une procédure pour les déterminer (décidabilité), on peut admettre que chaque tautologie du CP est prise comme axiome Lapproche syntaxique (2)

13 + axiomes « propres », permettant de manipuler « » Axiomes CP : toute formule ayant la forme dune tautologie Axiome K : ( ) ( ) Règles : modus ponens : | | nécessitation : | | Lapproche syntaxique (3)

14 Règles dérivées : Théorème : ( ) Preuve: ( ) - axiome CP - (( ) )- nécessitation - (( ) ) ( ( ) ) - axiome K - ( ) - modus ponens Lapproche syntaxique (4)

15 Règles dérivées : Théorème : ( ) ( ) Preuve: : ( ) - th1- ( ) ( )- règle du CP - : ( ( ))- axiome CP - ( ( ))- - ( ( )) ( ( )) - axiome K - ( ( )) ( ) Lapproche syntaxique (5)

16 Théorème de la déduction : Théorème : si 1, 2 … n, | alors 1, 2 … n | Preuve: Supposons 1, 2 … n, |, alors dérivable à partir de 1, 2 … n, et de théorèmes 1, … m en utilisant seulement la règle de modus ponens (cf. restriction sur nécessitation), donc 1, … m, 1, 2 … n, | dans le CP, doù par le théorème de la déduction dans CP: | 1 ( … ( m ( 1 ( 2 … ( n ( ))…)))…). Cette formule est une tautologie de CP, donc un axiome 1 de K. Puisque 1, … m sont des théorèmes dans K, on obtient par MP: | 1 ( 2 … ( n ( ))…). En utilisant encore MP: 1, 2 … n | Lapproche syntaxique (6)

17 Problèmes avec lapproche syntaxique il est « facile » dimaginer toutes sortes de systèmes daxiomes… du genre:,,, etc. mais… quel sens cela a-t-il véritablement? (insuffisance de notre intuition) Besoin dune approche sémantique Lapproche syntaxique (7)

18 Sémantique de la logique modale Sémantique dite « de Kripke » Deux notions-clés : – Monde possible – Relation daccessibilité

19 La théorie des mondes possibles

20 Semantic frame Un « frame » F est un couple (W, ) où: – W : un ensemble non vide (de « mondes possibles ») – une relation binaire sur W Un modèle (de Kripke) sur F est un couple (F, V) où: – F est un « frame » – V est une application de {p 1, p 2, …, p n } W dans {0,1} (à chaque lettre propositionnelle et chaque monde possible: une valeur de vérité)

21 Sémantique (3) Si dans le modèle M, V(p, w) = 1 (p: une lettre propositionnelle, w: un monde), on écrit: V M,w (p) = 1 ou: |= M,w p ou encore w |= M p On étend V à toute formule au moyen de: – V M,w ( ) = 1 ssi V M,w ( ) = V M,w ( ) = 1 – V M,w ( ) = 0 ssi V M,w ( ) = V M,w ( ) = 0 – V M,w ( ) = 1 ssi V M,w ( ) = 0 – V M,w ( ) = 1 ssi pour tout w tel que w w, V M,w ( ) = 1

22 Sémantique (4) |= ? ( découle sémantiquement de lensemble de prémisses ) On définira |= par: « pour tout M et tout w, si w |= pour tout dans, alors w |= » ie: si, quel que soit le modèle M, tout monde possible pour M qui admet toutes les formules de vraies, admet aussi pour vraie, alors on dit que est une conséquence de

23 Si | K, alors |= Dém: par récurrence sur la longueur de la dérivation. Cas de base: est un axiome, alors on vérifie que est bien vraie quel que soit le modèle M. Hyp de récurrence: vrai pour une dérivation de longueur n. Soit une dérivation de longueur n+1, supposons que son dernier pas soit une application de la règle de nécessitation, alors cela signifie que est obtenue par cette règle au moyen dune formule p de longueur de dérivation n et que = p. Supposons que | p. alors il existerait un monde w tel que w | p. Donc il existerait un monde w tel que w w et w | p et on aurait | p, ce qui est contradictoire avec lhypothèse de récurrence. Correction de la sémantique par rapport à K

24 Liens entre propriétés de et formules vraies dans une logique modale Supposons que nous prenions comme axiome supplémentaire, la formule : Quelle est sa signification en termes de « frame » ou de « relation daccessibilité »?

25 Si est vraie dans tout monde accessible au monde actuel w 0, alors est vraie dans ce monde actuel Autrement dit: w 0 fait partie de ces mondes accessibles à partir de lui-même w 0 w 0 Autrement dit: est réflexive

26 w0w0

27 w0w0 w6w6 w5w5 w4w4 w3w3 w2w2 w1w1 w7w7

28 w0w0 w6w6 w5w5 w4w4 w3w3 w2w2 w1w1 w7w7 ?

29 w0w0 w6w6 w5w5 w4w4 w3w3 w2w2 w1w1 w7w7 ?

30 Propriétés de et formules vraies Idem pour: Si est vraie dans tout monde accessible au monde actuel w 0, alors cest le cas également de Pour que soit vraie dans tout monde w accessible à w 0, il faut que soit vraie dans tout monde accessible à tout monde w accessible à w 0. Donc la formule exprime le fait que si est vraie dans tout monde accessible à w 0, alors elle est encore vraie dans tout monde accessible à tout monde accessible à w 0.

31 ceci est assuré si: est transitive

32 w0w0

33 w0w0 w6w6 w5w5 w4w4 w3w3 w2w2 w1w1 w7w7

34 w0w0 w6w6 w5w5 ?

35 w0w0 w6w6 w5w5 ?

36 w0w0 w6w6 w5w5 ?

37 w0w0 w6w6 w5w5 ?

38 Quen est-il de: ?

39 Sil existe un monde possible accessible au monde actuel où est vraie, alors est vraie dans le monde actuel Soit w1 ce monde, dire que est vraie dans w1, cest dire que est vraie dans tout monde possible accessible à w1 Si on veut que toujours en ce cas, soit vraie dans w0, il suffit que w0 soit toujours accessible à w1 Et ce, quel que soit le monde w1 accessible à w0 Donc que soit symétrique

40 Caractérisation dun frame caractérise une propriété de si et seulement si tout frame ayant cette propriété admet comme formule vraie une relation est dite euclidienne si et seulement si : x y z x y x z y z

41 Caractérisation (2) (axiome T) caractérise les frames réflexifs (axiome 4) caractérise les frames transitifs (axiome B) caractérise les frames symétriques (axiome 5) caractérise les frames euclidiens

42 Différentes logiques On a vu K (pas de propriété particulière de ) (logique modale minimale) K + : logique T T + : logique S4 S4 + : logique S5 si on ajoute : collapsus (retour à CP)

43 complétude Chacune de ces logiques est complète par rapport à son cadre Propriété du modèle fini : – Un système S possède cette propriété si et seulement sil existe une sémantique pour S telle que, pour toute formule qui peut être rendue fausse sur un certain modèle, elle peut nécessairement lêtre aussi sur un modèle fini. Les systèmes modaux possèdent la propriété du modèle fini

44 Une conséquence : décidabilité K, T, S4, S5 : Axiomatisables on peut énumérer les déductions possibles D 1, D 2, …D n, …. Complètes si non démontrable, alors a un contre-modèle Pté modèle fini se contenter de contre-modèles finis on peut énumérer les modèles finis M 1, M 2, …, M k, … faire : suite alternée D 1, M 1, D 2, M 2, …. D n, M n, …. tôt ou tard: soit une preuve de, soit un contre- modèle de

45 discussion (1) : modalités ontiques : – sil est nécessaire que, alors modalités épistémiques : – sil est su que, alors mais : – sil est cru que, alors modalités déontiques : – sil est obligatoire que, alors

46 discussion (2) modalités ontiques : – la nécessité de la nécessité =la nécessité (clôture) modalités épistémiques : – sil est su que, alors il est su quil est su que ? (conscience du savoir) – si je crois que, alors je crois que je le crois? – plutôt: je sais que je le crois modalités déontiques : – sil est obligatoire que, alors il est obligatoire que cela soit obligatoire

47 discussion (3) modalités ontiques : – la possibilité est toujours nécessaire modalités épistémiques : – si jignore que non-, alors je sais que je lignore modalités déontiques : – sil est permis que, alors il est obligatoire que cela soit permis

48 Problèmes de la logique déontique O O( ) Est-ce que, si je dois payer mes impôts avant le 15 mars, je dois payer mes impôts ou regarder passer lIsère ? Pb avec K : O ( ) ( O O ): Sil est obligatoire dacheter son billet pour aller à Nantes, si je dois aller à Nantes, je dois acheter mon billet mais… si je ny vais pas?

49 Logique épistémique (1) | | K toute vérité (logique) est connue…! (omniscience) Axiome K : si x sait que A B alors sil sait A, il sait B (« distribution ») Connaissance : x sait que Modus ponens

50 Logique épistémique (2) 4 : K i K i K i Axiome de lintrospection positive 5 : K i K i K i Axiome de lintrospection négative B : K i K i ???

51 Logique épistémique (3) Mondes possibles : un agent i sait une chose dans un monde actuel w 0 si et seulement si cette chose est vraie dans tous les mondes que i peut se représenter à partir de ce monde actuel, autrement dit les mondes alternatifs quil peut concevoir en laissant fixes par ailleurs toutes les autres connaissances quil possède, y compris bien sûr celle des lois de la logique.

52 Problèmes de la logique épistémique Le paradoxe de la connaissabilité (Fitch, 1963) Sil existe une vérité inconnue, alors le fait que ce soit une vérité inconnue est lui- même… inconnaissable! donc : si on admet que toute vérité peut-être connue,… il nexiste pas de vérité inconnue! ou : si toutes les vérités sont connaissables… elles sont toutes connues!

53 La preuve 1)admettons (KP) : p (p Kp) (toute vérité peut être connue) supposons que nous soyons non omniscient : (NonO) : p (p Kp) (il y a une vérité non connue) donc, soit p telle que p Kp (KP) (p Kp) K(p Kp) (MP) K(p Kp)

54 La preuve mais… 2) on a prouvé : (A) K(p q) Kp Kq on a laxiome K : (B) Kp p supposons : K(p Kp), (hyp. abs.) alors : par (A) : Kp K Kp par (B) : Kp Kp – contradiction – donc K(p Kp) donc K(p Kp) – nécessitation – donc K(p Kp)

55 La preuve donc une contradiction découle de (KP) + (NonO) Si on veut que toute vérité soit connaissable, il faut nier que lon soit non omniscient : p (p Kp) doù il découle : p (p Kp) cest-à- dire : p (p Kp) doù : p (p Kp) (toute vérité est connue)

56 Solution « intuitionniste » en logique intuitionniste, lélimination de la double-négation nest pas valide, (p Kp) =/=> (p Kp) nous avons : p (p Kp) nous navons pas de moyen de trouver une vérité p que nous ne connaissons pas ! (car alors, on la connaîtrait !)

57 Deux conceptions du savoir Une conception « réaliste » : – Les « vérités » sont dans le monde et elles sont à connaître. A un certain moment, certaines sont connues et dautres non (paradigme de la « découverte ») – Le réaliste est classique Une conception « anti-réaliste » ou « constructiviste » : – Il ny a pas de vérité en dehors du sujet connaissant. Toute vérité est une construction, donc par définition, on les connaît toutes ! – Lanti-réaliste est intuitionniste

58 Les problèmes de la connaissance partagée: paradoxe de Conway 5 enfants jouent, à qui on a demandé de surtout ne pas se salir, mais 3 dentre eux ont reçu sans sen rendre compte de la boue sur le front. On suppose quils sont très intelligents (!) et ne répondent que quand on leur pose une question. Le père arrive et dit une première fois : « au moins lun de vous a de la boue sur le front, est-ce que chacun de vous peut me dire sil a de la boue sur le front? » Ils répondent tous « non », évidemment… Le père redit exactement la même chose… même réponse Puis le père redit encore une fois la même chose… et là, chaque enfant sali est capable de donner la bonne réponse Pourquoi?

59 paradoxe de Conway (solution) Par récurrence sur le nombre k denfants ayant de la boue sur le front k = 1 : lenfant qui a de la boue voit bien que les autres nen ont pas, il en déduit que cest lui qui sest sali Hypothèse de récurrence : sil y a k enfants salis, alors chaque enfant sali donne la bonne réponse à la kème formulation de la question Induction: imaginons quil y ait k+1 enfants avec de la boue sur le front, si à la kème formulation de la question, tout le monde répond toujours « non », cest, daprès lhypothèse de récurrence que le nombre denfants ayant de la boue sur le front est supérieur à k. Comme chaque enfant sale voit bien quil y en a exactement k autres que lui qui ont également de la boue sur le front, il en déduit que lui aussi a de la boue sur le front.

60 Pourquoi ce paradoxe a-t-il un lien avec la circularité? Ce qui est bizarre : – Le fait que répéter plusieurs fois de suite la même information… change la situation! – Imaginons k>1 : en ce cas, chaque enfant sait quau moins un enfant a de la boue sur le front, on pourrait dire : « inutile donc de le leur dire », or le fait de dire cette information change les choses… – Quel est donc le statut de cette information qui est dite ?

61 Information partagée En la disant, linformation est rendue publique, elle devient partagée… Autre exemple : jouer aux cartes avec jeu à découvert et jouer aux cartes avec jeu caché mais en trichant et en regardant le jeu de son voisin… Premier cas: le joueur A connaît le jeu du joueur B mais le joueur B le sait et le joueur A sait que le joueur B sait quil le connaît, et ainsi de suite! – Linformation est publique, ou partagée (le joueur A sait que le joueur B sait que le joueur A connaît son jeu etc.) Deuxième cas: le joueur B ne sait pas que le joueur A connaît son jeu et le joueur A sait que le joueur B ne sait pas quil connaît son jeu – Linformation est privée

62 Formaliser la connaissance partagée Que signifie le fait quun groupe dagents connaît ? - D G : le groupe G a la connaissance « distribuée » de. Si quelquun connaissait tout ce que les membres de G connaissent, alors il connaîtrait. - S G : quelquun dans G connaît. - E G : tout le monde dans G connaît. - E G k : E G 1 = E G ; E G k+1 = E G E G k. - C G : est « connaissance partagée » dans G : C G = E G E G 2 … E G k …

63 Alice et Bob Considérons par exemple le cas où k = 2, Considérons létat de connaissance dun enfant. Prouvons que, avant que le père parle, E G k-1 est le cas, mais pas E G k. Alice et Bob sont les deux seuls enfants qui ont de la boue sur le front. – Chaque enfant voit au moins un enfant qui a de la boue sur le front, donc : E G. – Toutefois, Alice voit un seul enfant ayant de la boue sur le front. Elle peut très bien supposer quil est le seul à avoir de la boue sur le front, auquel cas, elle pense que Bob ne sait pas quun enfant a de la boue sur le front. – Autrement dit, elle ne sait pas que Bob sait quau moins un enfant a de la boue sur le front, – ce qui signifie quon na pas E G 2.

64 suite Or, dans le cas présent, il faut quelle sache que Bob sache aussi quil y a au moins un enfant qui a de la boue sur le front pour quelle puisse déduire quelle en a nécessairement. Autrement dit, E G ne suffit pas, mais E G 2 suffirait. Or pour être sûr que tout le monde (même Bob, du point de vue dAlice) sait quau moins un enfant a de la boue sur le front, il suffit quune personne extérieure le dise. Autrement dit, lénoncé du père a cette fonction. Dès que le père a parlé, les enfants ont une connaissance partagée de ce fait : quand le père énonce, les enfants savent que (autrement dit : E G ) et que le père a énoncé : donc chaque enfant sait aussi que les enfants savent que (E G 2 ). Donc, quand le père énonce, chaque enfant sait que, que E G et que E G 2, donc on a E G 3. Et ainsi de suite…

65 Un énoncé « point fixe » Si on identifie « le père énonce » et E G ( « le père énonce »), on a : « le père énonce » = E G ( « le père énonce ») = E G ( E G ( « le père énonce »)) = E G ( E G ( E G ( « le père énonce »))) = etc. une solution de léquation : = E G ( ) ou encore : « le père énonce » = E G ( ) E G 2 E G 3 … E G k …. Or, il sagit là exactement de lopérateur de connaissance partagée.

66 Information partagée (2) Comment représenter linformation partagée? Supposons que A, B et C acquièrent à partir dun évènement e la connaissance partagée dun fait, alors on a simultanément: – e |= (lévènement e est tel que soit vrai) – e |= A sait e (lévènement e est tel que A sait que e ) – e |= B sait e id – e |= C sait e id

67 On peut donc caractériser un évènement minimal e comme le plus petit supportant tous ces faits, dun point de vue ensembliste: e = {, A sait e, B sait e, C sait e } Ce qui donne une structure circulaire Information partagée (3)

68 e = {, A sait e, B sait e, C sait e } e = {, A sait {, A sait e, B sait e, C sait e }, B sait e, C sait e } e = {, A sait {, A sait e, B sait e, C sait e }, B sait {, A sait e, B sait e, C sait e }, C sait {, A sait e, B sait e, C sait e } } etc. Information partagée (4)

69 e A sait B saitC sait

70 Les tableaux Chaque monde est représenté par un tableau à deux colonnes – Dans lune on met ce qui est vrai en ce monde – Dans lautre on met ce qui est faux en ce monde Dès quune proposition vient sinscrire dans les deux colonnes dun même tableau : on a une contradiction

71 S4 : (p q) ( p q) Supposons que cela soit faux Alors il existe un monde w où elle est fausse, cest-à-dire où (p q) est vrai mais ( p q) faux, Si ( p q) est faux dans w, alors il existe un monde w accessible à w où p q est faux, cest-à-dire où p est vrai mais q faux, Si q est faux dans w alors il existe un monde w accessible à w où q est faux, Comme laccessibilité est transitive, w est accessible à w, donc p q y est vrai, de même que p puisque w est accessible à w, doù q devrait y être vrai, or il est faux

72 w VF (1) (p q) ( p q) (2) (p q) w (3) p q VF (4) p (4) q VF w (5) q (6) p (7) p q (8) q S4 : (p q) (p q)

73 Logiques temporelles A. N. Prior, 1967 Past, Tense and Future G se traduit par : « il sera toujours le cas » H : « il a été toujours le cas » F : « il sera au moins une fois le cas » P : « il a été au moins une fois le cas »

74 Sémantique des logiques temporelles un couple (T, <) (au lieu de (W, )) où T est un ensemble non vide dinstants et où « < » est la relation dantériorité entre instants

75 Axiomes courants CP : toutes les tautologies du CP K1 : G( ) (G G ) K2 : H( ) (H H ) Axiome 3 : PG, FH

76 Sémantique - 2 T: une suite totalement ordonnée, sans origine ni fin? Au minimum : un « ordre linéaire strict »: – R est transitive – R est irréflexive – R est faiblement connexe:

77 Sémantique - 2 Au minimum : un « ordre linéaire strict »: – R est transitive : G GG, et H HH – R est irréflexive : ??? – R est faiblement connexe: ???

78 Sémantique - 3 Des propriétés plus faibles: Une relation R est dite non branchante vers le futur si et seulement si : Une relation R est dite non branchante vers le passé si et seulement si :

79 Sémantique - 3 Des propriétés plus faibles: Une relation R est dite non branchante vers le futur si et seulement si : – Fp G(p Pp Fp), Une relation R est dite non branchante vers le passé si et seulement si : – Pp H(p Pp Fp) Densité du temps – GG G, et HH H. :

80 le temps branchant On peut combiner des modalités Par exemple, et G, H (il sera toujours le cas que, il a été toujours le cas que, avec leurs duales F - il sera au moins une fois que - et P – il a été au moins une fois que -) Admettons que les mondes possibles aient un axe temporel commun V M,w,t ( ) = 1 ssi pour tout w tel que wRw: V M,w,t ( ) = 1 V M,w,t (G ) = 1 ssi pour tout t tel que t

81 représentation du temps branchant Idée: wR t w ssi w et w ont eu la même « histoire » jusquà t t 0 t 1 t 2 t 3 t 4

82 formalisation des contrefactuels Si Pierre était venu, il aurait rencontré Marie p = Pierre vient q = Pierre rencontre Marie P( p (p Fq)) = Il a été une fois dans le passé un monde où p était faux et où dans tous les mondes alternatifs possibles à ce monde où p était vrai, il allait être le cas au moins une fois dans le futur que q

83 Pas si simple… P( p (p Fq)) | P( p ((p r) Fq)) Alors sil est vrai que: Si Pierre était venu il aurait rencontré Marie est-il vrai que: Si Pierre était venu et en venant sétait tué sur la route, il aurait rencontré Marie ?

84 Pas si simple… Si Pierre était venu, toutes choses étant égales par ailleurs, il aurait rencontré Marie (p q) « q est vrai dans tous les mondes alternatifs où p est vrai », (p q) = « q est vrai dans tous les mondes alternatifs où p est vrai, tout autre état de choses demeurant constant » --> introduction dune relation de similarité entre les mondes

85 Temps branchant – suite - Une représentation très « réaliste » du temps : les mondes existeraient indépendamment des histoires parallèles… cf. Many-Worlds Interpretation of Quantum Mechanics, Everett, 1957 : chaque fois quune expérience quantique a lieu, avec différents résultats (cf. fentes de Young), tous les résultats sont obtenus, chacun dans un monde différent, même si nous ne sommes avertis que du monde comportant le résultat que nous avons vu !!!

86 Autres conceptions du temps Clausewitz : « en raison de leurs conséquences, les évènements possibles doivent être jugés comme réels » tout possible se réalise, soit dans le présent, soit dans le futur – un changement dans la conception de la liberté? – lavenir : un point fixe à déterminer?

87 L'irréel n'a pas d'être, le réel ne cesse jamais d'être


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