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Faut-il brûler la logique classique? Les logiques modales.

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1 Faut-il brûler la logique classique? Les logiques modales

2 C. I. Lewis, 1918 : les « paradoxes » de limplication matérielle (1) (2) ad impossibile sequitur quodlibet Ex: si « leau bout à 100° » est vraie, alors il est vrai que « si Charlemagne fut empereur, alors leau bout à 100° » Distinguer une « implication stricte » dune implication matérielle?

3 Implication stricte P implique strictement Q si et seulement sil est impossible que P soit vrai sans que Q le soit Fait intervenir la notion de modalité

4 … une idée pas neuve Aristote, Premiers Analytiques cf. discussion sur laporie de Diodore Kronos (J. Vuillemin, 1984)

5 Aporie de Diodore - 1 A – le passé est irrévocable, B – si q suit nécessairement de p, alors sil nest pas possible que q, il nest pas possible que p C – il y a des possibles qui ne se réaliseront jamais, D – de ce qui se réalise il na jamais été vrai quil ne se réalisera pas, E – de ce qui ne se réalise pas et ne se réalisera jamais, il a été vrai (à quelque moment) quil ne se réalisera jamais

6 Aporie de Diodore - 1 A – le passé est irrévocable, B – si q suit nécessairement de p, alors sil nest pas possible que q, il nest pas possible que p C – il y a des possibles qui ne se réaliseront jamais, D – de ce qui se réalise il na jamais été vrai quil ne se réalisera pas, E – de ce qui ne se réalise pas et ne se réalisera jamais, il a été vrai (à quelque moment) quil ne se réalisera jamais Pp M Pp L(p q) ( Mq Mp) (Mp p Fp) p P Fp p Fp P Fp

7 Intérêt des logiques modales Introduire : le temps dans la logique (logique temporelle) sous laspect dopérateurs tels que P et F (passé et futur), les considérations de contingence et de nécessité (logique aléthique), celles de permission et dobligation (logique déontique) les notions de savoir et de croyance (logiques épistémiques et doxastiques).

8 opérateurs logique aléthique : le nécessaire est le dual du possible logique déontique : lobligatoire est le dual du permis logique de la prouvabilité : le prouvable est le dual du « consistant avec » p

9 Premières approches : Lewis et Langford, 1932 Présentation à la Hilbert

10 Interprétation « naturelle »: p = « il est nécessaire que p » La logique modale (propositionnelle) est une extension du calcul propositionnel : – Toute logique modale doit contenir comme théorèmes au minimum toutes les tautologies du CP, – Comme il existe une procédure pour les déterminer (décidabilité), on peut admettre que chaque tautologie du CP est prise comme axiome Lapproche syntaxique (2)

11 + axiomes « propres », permettant de manipuler « » Axiomes CP : toute formule ayant la forme dune tautologie Axiome K : ( ) ( ) Règles : modus ponens : | | nécessitation : | | Lapproche syntaxique (3)

12 Sémantique de la logique modale Sémantique dite « de Kripke » Deux notions-clés : – Monde possible – Relation daccessibilité

13 La théorie des mondes possibles

14 Semantic frame Un « frame » F est un couple (W, ) où: – W : un ensemble non vide (de « mondes possibles ») – une relation binaire sur W Un modèle (de Kripke) sur F est un couple (F, V) où: – F est un « frame » – V est une application de {p 1, p 2, …, p n } W dans {0,1} (à chaque lettre propositionnelle et chaque monde possible: une valeur de vérité)

15 Sémantique (3) Si dans le modèle M, V(p, w) = 1 (p: une lettre propositionnelle, w: un monde), on écrit: V M,w (p) = 1 ou: |= M,w p ou encore w |= M p On étend V à toute formule au moyen de: – V M,w ( ) = 1 ssi V M,w ( ) = V M,w ( ) = 1 – V M,w ( ) = 0 ssi V M,w ( ) = V M,w ( ) = 0 – V M,w ( ) = 1 ssi V M,w ( ) = 0 – V M,w ( ) = 1 ssi pour tout w tel que w w, V M,w ( ) = 1

16 Liens entre propriétés de et formules vraies dans une logique modale Supposons que nous prenions comme axiome supplémentaire, la formule : Quelle est sa signification en termes de « frame » ou de « relation daccessibilité »?

17 Si est vraie dans tout monde accessible au monde actuel w 0, alors est vraie dans ce monde actuel Autrement dit: w 0 fait partie de ces mondes accessibles à partir de lui-même w 0 w 0 Autrement dit: est réflexive

18 Propriétés de et formules vraies Idem pour: Si est vraie dans tout monde accessible au monde actuel w 0, alors cest le cas également de Pour que soit vraie dans tout monde w accessible à w 0, il faut que soit vraie dans tout monde accessible à tout monde w accessible à w 0. Donc la formule exprime le fait que si est vraie dans tout monde accessible à w 0, alors elle est encore vraie dans tout monde accessible à tout monde accessible à w 0.

19 ceci est assuré si: est transitive

20 Quen est-il de: ?

21 Sil existe un monde possible accessible au monde actuel où est vraie, alors est vraie dans le monde actuel Soit w1 ce monde, dire que est vraie dans w1, cest dire que est vraie dans tout monde possible accessible à w1 Si on veut que toujours en ce cas, soit vraie dans w0, il suffit que w0 soit toujours accessible à w1 Et ce, quel que soit le monde w1 accessible à w0 Donc que soit symétrique

22 Caractérisation (2) (axiome T) caractérise les frames réflexifs (axiome 4) caractérise les frames transitifs (axiome B) caractérise les frames symétriques (axiome 5) caractérise les frames euclidiens

23 Différentes logiques On a vu K (pas de propriété particulière de ) (logique modale minimale) K + : logique T T + : logique S4 S4 + : logique S5 si on ajoute : collapsus (retour à CP)

24 Logique épistémique (1) | | K toute vérité (logique) est connue…! (omniscience) Axiome K : si x sait que A B alors sil sait A, il sait B (« distribution ») Connaissance : x sait que Modus ponens

25 Logique épistémique (2) 4 : K i K i K i Axiome de lintrospection positive 5 : K i K i K i Axiome de lintrospection négative B : K i K i ???

26 8- La logique et les processus Logique linéaire

27 Le calcul des séquents (Gentzen, 1934) comme méthode de décision pour la logique classique et la logique intuitionniste Prouver: (A B) ((B C) (A C))

28 démonstration A B, B C, A, B | B, C A B, B C, A, B, C | C A B, B C, A | A, CA B, B C, A, B | C A B, B C, A | C A B, B C | A C A B | (B C) (A C) | (A B) ((B C) (A C))

29 axiome : [ D] : A, |-, B[ G] : |-, AB, |- |-, A B A B, |- [ D] : A, |- [ G] : |-, A |-, A A, |- Règles logiques A, |-, A coupure : |-, AA, |-, |-,

30 Règles structurelles Affaiblissement : à gauche : |- à droite : |-, A |- |- A, Contraction : à gauche :, A, A |- à droite : |- A, A,, A |- |- A, Permutation à gauche :, A, B, |- à droite : |-, A, B,, B, A, |- |-, B, A,

31 Gentzen - suite Hauptsatz : Le système sans coupure permet de prouver les mêmes séquents que le système avec coupure ! Alors… La règle de coupure ne sert à rien? Si!

32 Calcul intuitionniste dissymétriser le calcul: les séquents ont au plus une formule en partie droite empêche tiers exclu et double négation Isomorphisme de Curry-Howard – types = formules – -termes = preuves – réduction = élimination de la coupure

33 Pourquoi casser les symétries? En logique classique, |- A, |- B,, |- A B,, et |- A, |- B, |- A B, sont équivalentes (à cause des règles de contraction et daffaiblissement)

34 Pourquoi casser les symétries? Mais si on supprime ces règles?

35 Pourquoi casser les symétries? La logique linéaire (1985) : 1- partie conjonctive [ G], A, B |- [ D] |- A, |- B,, A B |-, |- A B,, [& G]1, A |- [& D] |- A, |- B,, A & B |- |- A & B, [& G]2, B |-, A & B |-

36 Logique linéaire – 2 partie disjonctive [ G] |- A, B, [ D], A |-, B |- |- A B,,, A B |-, [ D]1 |- A, [ G], A |-, B|- |- A B,, A B |- [ D]2 |- B, |- A B, [ D] : A, |- [ G] : |-, A |-, A A, |- NB : A –o B A B

37 Logique linéaire - 3 Retrouver la logique classique? A B !A –o B Le rôle des exponentielles : réintroduire localement les règles structurelles, A |- [intro !], !A, !A |- [contraction], !A |-, !A |- |- [affaiblissement], !A |-

38 Le menu…. Prix : 16 Entrée : au choix jambon ou salade Plat de résistance : entrecôte Accompagnement : frites à volonté Déssert : au choix fromage ou fruit de saison selon arrivage (pêche ou pomme)

39 Le menu…. Prix : 16 Entrée : au choix jambon ou salade Plat de résistance : entrecôte Accompagnement : frites à volonté Déssert : au choix fromage ou fruit de saison selon arrivage (pêche ou pomme)

40 La formule… 16 --o (jambon & salade) (entrecôte !frites) (fromage & (pomme pêche))

41 Autre exemple Il y a un siège disponible sur Londres – Bruxelles Marie est à Londres John est à Londres En principe: Marie peut prendre lavion pour Bruxelles John peut prendre lavion pour Bruxelles Donc : Marie et John peuvent prendre lavion pour Bruxelles

42 En réalité… Soit les prémisses : x (Londres(x) –o Brux(x)) pour tout individu x, sil est à Londres, il peut aller à Bruxelles mais cette formule est utilisable une seule fois Londres(Marie) Londres(John) Elles ne permettent pas de déduire Brux(Marie) et Brux(John)

43 déduction x (Londres(x) –o Brux(x)) Londres(Marie) –o Brux(Marie) Londres(Marie) Brux(Marie) Donc : x (Londres(x) –o Brux(x)), Londres(Marie) Brux(Marie) Londres(John) Donc : x (Londres(x) –o Brux(x)), Londres(Marie), Londres(John) Brux(Marie) Londres(John) Ou bien : x (Londres(x) –o Brux(x)), Londres(Marie), Londres(John) Brux(John) Londres(Marie)

44 Plus sérieux… !( e (electron(e) –o z position(e, z))) !( e (electron(e) –o z vitesse(e, z))) Impossible de prouver : !( e (electron(e) –o z position(e, z) z vitesse(e, z)))

45 déduction !( e (electron(e) –o z position(e, z))) electron(i) electron(i) –o z position(i, z) z position(i, z) Mais electron(i) a été consommé, on ne peut pas le réutiliser pour prouver z vitesse(e, z)

46 Prouver cest aussi planifier cf. une action produit un changement dans le monde utilise des ressources se réalise par combinaison dactions plus élémentaires

47 a c poser c sur la table

48 a c

49 a c

50 a c

51 a c

52 c a

53 Passer de létat du monde: main vide (V) c en haut de pile (donc accessible) (H(c)) c sur a (S(c, a)) à main vide c en haut de pile c en bas de pile (B(c)) a en haut de pile

54 décrit par le séquent : V, H(c), S(c, a) V H(c) B(c) H(a)

55 Actions élémentaires prendre(x) :V, H(x), B(x) T(x) poser(x) :T(x) V H(x) B(x) oter(x, y) :V, H(x), S(x, y) T(x) H(y) mettre(x, y) :T(x), H(y) V H(x) S(x, y)

56 preuve T(c) V H(c) B(c) H(a) H(a) droite T(c), H(a) V H(c) B(c) H(a) gauche V, H(c), S(c, a) T(c) H(a) T(c) H(a) V H(c) B(c) H(a) coupure V, H(c), S(c, a) V H(c) B(c) H(a)

57 preuve poser(c)H(a) H(a) droite T(c), H(a) V H(c) B(c) H(a) gauche oter(c, a)T(c) H(a) V H(c) B(c) H(a) coupure V, H(c), S(c, a) V H(c) B(c) H(a)

58 preuve action? On peut extraire une composition dactions dune preuve comme on peut extraire un programme dune preuve (informatique théorique)

59 interaction &: choix « actif » (vous avez le choix entre … et …) : choix « passif » (lun ou lautre, vous ne décidez pas) : les deux, dans un ordre séquentiel non déterminé : les deux, en parallèle, par exemple léchange (lun contre lautre) : le changement de point de vue

60 interprétation Interaction la logique nest plus seulement interprétable comme « décrivant un extérieur », elle sinterprète « par rapport à elle-même », autrement dit elle réfère à ses propres procédures : linterprétation des règles se fait dans un dialogue interne et le système se voit ainsi doté dune dynamique des preuves

61 La logique et les processus une science formelle des processus informationnels convergents Applications: –L–Linguistique –B–Biologie –S–Sciences cognitives (Krivine)

62 biologie Antoine Danchin: « la cellule est un ordinateur vivant » – Physique : matière, énergie, temps… – Biologie : Physique + information, codage, contrôle… – Arithmétique : chaînes dentiers, récursivité, codage… – Informatique : arithmétique + programme + machine… » – « comme dans le cas de la construction dune machine, dans celui de la construction dune cellule, on a besoin dun livre de recettes… cela demande ensuite quon soit capable de changer le texte de la recette en quelque chose de concret : ceci consiste dans le « transfert dinformation ». Dans une cellule, ce transfert dinformation est assuré par le programme génétique »

63 conclusion au cœur dun processus contemporain de mathématisation à propos dobjets qui nont pas pu jusquà présent être lobjet dun tel processus, faute doutils mathématiques adéquats il était assez imprévisible et il reste curieux que ce soit la logique, dans son propre développement interne, qui donne aujourdhui de tels outils, via lintégration quelle opère des lois de fonctionnement de machines abstraites.


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