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Logique et raisonnement scientifique cours transversal Collège Doctoral Pr. Alain Lecomte.

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1 Logique et raisonnement scientifique cours transversal Collège Doctoral Pr. Alain Lecomte

2 8- La logique et les processus Logique linéaire

3 mathématisation 3 bilan Hilbert méthodes finitistes pour fonder la cohérence des mathématiques, vers les théorèmes dincomplétude (Gödel, 1931) Brouwer une exigence de constructibilité – cf. fameuse question: « existe-t-il deux irrationnels x et y tels que x y soit un rationnel? » Essayons avec x = y = – Si x y est un rationnel, on a répondu positivement – Sinon (x y ) y = 2 et on a répondu positivement

4 La logique et linformatique Modèles de calcul

5 mathématisation 5 Un autre problème posé par Hilbert: lEntscheidungsproblem Le problème de la décision est résolu si lon connaît une procédure qui permette de déterminer, en utilisant un nombre fini dopérations, la validité, respectivement la satisfaisabilité dune expression logique donnée (1928)

6 mathématisation 6 Turing (1936) Machines de Turing Machine de Turing universelle Indécidabilité du problème de larrêt

7 mathématisation 7 Ruban Tête de lecture/écriture

8 mathématisation 8 qiqi Alphabet : = {#, a 0, a 1, a 2, …, a n }, symboles admis sur le ruban # : le blanc, - {#}, symboles dentrée Ensemble détats : Q = {q 0, q 1, …, q m } q 0 : état initial F Q : ensemble détats finaux (peut être vide) a i1 a i2 a i3 a i4 a i5 a i6 a i7 a i8 …… a ik

9 mathématisation 9 Règles de transition Une règle de transition est un quintuplet (q i, a i, q j, a j, Dir) où Dir {G, D} écrit aussi: (q i, a i ) (q j, a j, Dir)

10 mathématisation 10 exemple = {0, 1, X, Y, #} = {0, 1} Q = {q 0, q 1, q 2, q 3, q 4 } F = {q 4 } Transitions (quintuplets) (q 0, 0, q 1, X, D), (q 0, Y, q 3, Y, D), (q 1, 0, q 1, 0, D), (q 1, 1, q 2, Y, G), (q 1, Y, q 1, Y, D), (q 2, 0, q 2, 0, G), (q 2, X, q 0, X, D), (q 2, Y, q 2, Y, G), (q 3, Y, q 3, Y, D), (q 3, #, q 4, #, D)

11 mathématisation 11 diagramme

12 mathématisation 12 q0q (q 0, 0, q 1, X, D) (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)

13 mathématisation 13 q1q1 X00111 (q 1, 0, q 1, 0, D) (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)

14 mathématisation 14 q1q1 X00111 (q 1, 0, q 1, 0, D) (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)

15 mathématisation 15 q1q1 X00111 (q 1, 1, q 2, Y, G) (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)

16 mathématisation 16 q2q2 X00Y11 (q 2, 0, q 2, 0, G) (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)

17 mathématisation 17 q2q2 X00Y11 (q 2, 0, q 2, 0, G) (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)

18 mathématisation 18 q2q2 X00Y11 (q 2, X, q 0, X, D) (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)

19 mathématisation 19 q0q0 X00Y11 (q 0, 0, q 1, X, D) (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)

20 mathématisation 20 q1q1 XX0Y11 (q 1, 0, q 1, 0, D) (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)

21 mathématisation 21 q1q1 XX0Y11 (q 1, Y, q 1, Y, D) (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)

22 mathématisation 22 q1q1 XX0Y11 (q 1, 1, q 2, Y, G) (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)

23 mathématisation 23 q2q2 XX0YY1 (q 2, Y, q 2, Y, G) (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)

24 mathématisation 24 q2q2 XX0YY1 (q 2, 0, q 2, 0, G) (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)

25 mathématisation 25 q2q2 XX0YY1 (q 2, X, q 0, X, D) (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)

26 mathématisation 26 q0q0 XX0YY1 (q 0, 0, q 1, X, D) (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)

27 mathématisation 27 q1q1 XXXYY1 (q 1, Y, q 1, Y, D) (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)

28 mathématisation 28 q1q1 XXXYY1 (q 1, Y, q 1, Y, D) (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)

29 mathématisation 29 q1q1 XXXYY1 (q 1, 1, q 2, Y, G) (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)

30 mathématisation 30 q2q2 XXXYYY (q 2, Y, q 2, Y, G) (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)

31 mathématisation 31 q2q2 XXXYYY (q 2, Y, q 2, Y, G) (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)

32 mathématisation 32 q2q2 XXXYYY (q 2, X, q 0, X, D) (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)

33 mathématisation 33 q0q0 XXXYYY (q 0, Y, q 3, Y, D) (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)

34 mathématisation 34 q3q3 XXXYYY (q 3, Y, q 3, Y, D) (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)

35 mathématisation 35 q3q3 XXXYYY (q 3, Y, q 3, Y, D) (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)

36 mathématisation 36 q3q3 XXXYYY (q 3, #, q 4, #, D) (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)

37 mathématisation 37 q4q4 XXXYYY (q 3, #, q 4, #, D) (q0, 0, q1, X, D), (q0, Y, q3, Y, D), (q1, 0, q1, 0, D), (q1, 1, q2, Y, G), (q1, Y, q1, Y, D), (q2, 0, q2, 0, G), (q2, X, q0, X, D), (q2, Y, q2, Y, G), (q3, Y, q3, Y, D), (q3, #, q4, #, D)

38 mathématisation 38 Le -calcul de Church formuler avec précision le problème de la substitution des variables dans une expression qui représente une fonction – Application – Abstraction Équivalence avec MdT Théorème de Church-Rosser Une condition pour la normalisation : termes « typés »

39 mathématisation 39 Le calcul des séquents (Gentzen, 1934) comme méthode de décision pour la logique classique et la logique intuitionniste Prouver: (A B) ((B C) (A C))

40 mathématisation 40 démonstration A B, B C, A, B | B, C A B, B C, A, B, C | C A B, B C, A | A, CA B, B C, A, B | C A B, B C, A | C A B, B C | A C A B | (B C) (A C) | (A B) ((B C) (A C))

41 mathématisation 41 axiome : [ D] : A, |-, B[ G] : |-, AB, |- |-, A B A B, |- [ D] : A, |- [ G] : |-, A |-, A A, |- Règles logiques A, |-, A coupure : |-, AA, |-, |-,

42 mathématisation 42 Règles structurelles Affaiblissement : à gauche : |- à droite : |-, A |- |- A, Contraction : à gauche :, A, A |- à droite : |- A, A,, A |- |- A, Permutation à gauche :, A, B, |- à droite : |-, A, B,, B, A, |- |-, B, A,

43 mathématisation 43 Gentzen - suite Hauptsatz : Le système sans coupure permet de prouver les mêmes séquents que le système avec coupure ! Alors… La règle de coupure ne sert à rien? Si!

44 mathématisation 44 Calcul intuitionniste dissymétriser le calcul: les séquents ont au plus une formule en partie droite empêche tiers exclu et double négation Isomorphisme de Curry-Howard – types = formules – -termes = preuves – réduction = élimination de la coupure

45 mathématisation 45 Pourquoi casser les symétries? En logique classique, |- A, |- B,, |- A B,, et |- A, |- B, |- A B, sont équivalentes (à cause des règles de contraction et daffaiblissement)

46 mathématisation 46 Pourquoi casser les symétries? Mais si on supprime ces règles?

47 mathématisation 47 Pourquoi casser les symétries? La logique linéaire (1985) : 1- partie conjonctive [ G], A, B |- [ D] |- A, |- B,, A B |-, |- A B,, [& G]1, A |- [& D] |- A, |- B,, A & B |- |- A & B, [& G]2, B |-, A & B |-

48 mathématisation 48 Logique linéaire – 2 partie disjonctive [ G] |- A, B, [ D], A |-, B |- |- A B,,, A B |-, [ D]1 |- A, [ G], A |-, B|- |- A B,, A B |- [ D]2 |- B, |- A B, [ D] : A, |- [ G] : |-, A |-, A A, |- NB : A –o B A B

49 mathématisation 49 Logique linéaire - 3 Retrouver la logique classique? A B !A –o B Le rôle des exponentielles : réintroduire localement les règles structurelles, A |- [intro !], !A, !A |- [contraction], !A |-, !A |- |- [affaiblissement], !A |-

50 mathématisation 50 Le menu…. Prix : 16 Entrée : au choix jambon ou salade Plat de résistance : entrecôte Accompagnement : frites à volonté Déssert : au choix fromage ou fruit de saison selon arrivage (pêche ou pomme)

51 mathématisation 51 Le menu…. Prix : 16 Entrée : au choix jambon ou salade Plat de résistance : entrecôte Accompagnement : frites à volonté Déssert : au choix fromage ou fruit de saison selon arrivage (pêche ou pomme)

52 mathématisation 52 La formule… 16 --o (jambon & salade) (entrecôte !frites) (fromage & (pomme pêche))

53 mathématisation 53 Autre exemple Il y a un siège disponible sur Londres – Bruxelles Marie est à Londres John est à Londres En principe: Marie peut prendre lavion pour Bruxelles John peut prendre lavion pour Bruxelles Donc : Marie et John peuvent prendre lavion pour Bruxelles

54 mathématisation 54 En réalité… Soit les prémisses : x (Londres(x) –o Brux(x)) pour tout individu x, sil est à Londres, il peut aller à Bruxelles mais cette formule est utilisable une seule fois Londres(Marie) Londres(John) Elles ne permettent pas de déduire Brux(Marie) et Brux(John)

55 mathématisation 55 déduction x (Londres(x) –o Brux(x)) Londres(Marie) –o Brux(Marie) Londres(Marie) Brux(Marie) Donc : x (Londres(x) –o Brux(x)), Londres(Marie) Brux(Marie) Londres(John) Donc : x (Londres(x) –o Brux(x)), Londres(Marie), Londres(John) Brux(Marie) Londres(John) Ou bien : x (Londres(x) –o Brux(x)), Londres(Marie), Londres(John) Brux(John) Londres(Marie)

56 mathématisation 56 Plus sérieux… !( e (electron(e) –o z position(e, z))) !( e (electron(e) –o z vitesse(e, z))) Impossible de prouver : !( e (electron(e) –o z position(e, z) z vitesse(e, z)))

57 mathématisation 57 déduction !( e (electron(e) –o z position(e, z))) electron(i) electron(i) –o z position(i, z) z position(i, z) Mais electron(i) a été consommé, on ne peut pas le réutiliser pour prouver z vitesse(e, z)

58 mathématisation 58 Réseaux de preuves Cest ce qui remplace les -termes Soit à démontrer le séquent suivant:

59 mathématisation 59

60 mathématisation 60

61 mathématisation 61

62 mathématisation 62

63 mathématisation 63

64 mathématisation 64 mais on aurait pu faire autrement

65 mathématisation 65

66 mathématisation 66

67 mathématisation 67

68 mathématisation 68

69 mathématisation 69 CBCABA CBCAB A CBCB CCBB AA,,,, CBCABA CBCABA BBCCAA CCAA,,,, i

70 mathématisation 70 BA CABA CBC CB A BA CBBA BCCA CA i

71 mathématisation 71 BA CABA CBC CB A BA CBBA BCCA CA i

72 mathématisation 72 BA CABA CBC CB A BA CBBA BCCA CA

73 mathématisation 73 BACCBA BA CA CB

74 mathématisation 74 BACCBA BA CA CB : a « right » conjunction : a « left » conjunction : a « left » disjunction A B ooioii i i o

75 mathématisation 75 symmetries left conjunction = right disjunction right conjunction = left disjunction right formula = negation of left formula left formula = negation of right formula

76 mathématisation 76 BACCBA BA CA CB : a « right » conjunction : a « right » disjunction (between neg.) : a « right » conjunction

77 mathématisation 77 B A C CBA B A C A CB

78 mathématisation 78 B A C CBA B A C A CB

79 mathématisation 79 correctness criterion connectivity switches : no cycle in any graph obtained by removing one edge to each par link Une « géométrisation » de la logique

80 mathématisation 80 Prouver cest aussi planifier cf. une action produit un changement dans le monde utilise des ressources se réalise par combinaison dactions plus élémentaires

81 mathématisation 81 a c poser c sur la table

82 mathématisation 82 a c poser c sur la table

83 mathématisation 83 a c poser c sur la table

84 mathématisation 84 a c poser c sur la table

85 mathématisation 85 a c poser c sur la table

86 mathématisation 86 c a poser c sur la table

87 mathématisation 87 Passer de létat du monde: main vide (V) c en haut de pile (donc accessible) (H(c)) c sur a (S(c, a)) à main vide c en haut de pile c en bas de pile (B(c)) a en haut de pile

88 mathématisation 88 décrit par le séquent : V, H(c), S(c, a) V H(c) B(c) H(a)

89 mathématisation 89 Actions élémentaires prendre(x) :V, H(x), B(x) T(x) poser(x) :T(x) V H(x) B(x) oter(x, y) :V, H(x), S(x, y) T(x) H(y) mettre(x, y) :T(x), H(y) V H(x) S(x, y)

90 mathématisation 90 preuve T(c) V H(c) B(c) H(a) H(a) droite T(c), H(a) V H(c) B(c) H(a) gauche V, H(c), S(c, a) T(c) H(a) T(c) H(a) V H(c) B(c) H(a) coupure V, H(c), S(c, a) V H(c) B(c) H(a)

91 mathématisation 91 preuve poser(c)H(a) H(a) droite T(c), H(a) V H(c) B(c) H(a) gauche oter(c, a)T(c) H(a) V H(c) B(c) H(a) coupure V, H(c), S(c, a) V H(c) B(c) H(a)

92 mathématisation 92 preuve action? On peut extraire une composition dactions dune preuve comme on peut extraire un programme dune preuve (informatique théorique)

93 mathématisation 93 interaction &: choix « actif » (vous avez le choix entre … et …) : choix « passif » (lun ou lautre, vous ne décidez pas) : les deux, dans un ordre séquentiel non déterminé : les deux, en parallèle, par exemple léchange (lun contre lautre) : le changement de point de vue

94 mathématisation 94 interprétation Interaction la logique nest plus seulement interprétable comme « décrivant un extérieur », elle sinterprète « par rapport à elle-même », autrement dit elle réfère à ses propres procédures : linterprétation des règles se fait dans un dialogue interne et le système se voit ainsi doté dune dynamique des preuves

95 mathématisation 95 La logique et les processus une science formelle des processus informationnels convergents Applications: –L–Linguistique –B–Biologie –S–Sciences cognitives (Krivine)

96 mathématisation 96 biologie Antoine Danchin: « la cellule est un ordinateur vivant » – Physique : matière, énergie, temps… – Biologie : Physique + information, codage, contrôle… – Arithmétique : chaînes dentiers, récursivité, codage… – Informatique : arithmétique + programme + machine… » – « comme dans le cas de la construction dune machine, dans celui de la construction dune cellule, on a besoin dun livre de recettes… cela demande ensuite quon soit capable de changer le texte de la recette en quelque chose de concret : ceci consiste dans le « transfert dinformation ». Dans une cellule, ce transfert dinformation est assuré par le programme génétique »

97 mathématisation 97 conclusion au cœur dun processus contemporain de mathématisation à propos dobjets qui nont pas pu jusquà présent être lobjet dun tel processus, faute doutils mathématiques adéquats il était assez imprévisible et il reste curieux que ce soit la logique, dans son propre développement interne, qui donne aujourdhui de tels outils, via lintégration quelle opère des lois de fonctionnement de machines abstraites.


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