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3. Logique et mathématiques Les paradoxes. Le paradoxe de Burali-Forti lensemble de tous les ordinaux est muni dun bon ordre, donc est un ordinal, cet.

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1 3. Logique et mathématiques Les paradoxes

2 Le paradoxe de Burali-Forti lensemble de tous les ordinaux est muni dun bon ordre, donc est un ordinal, cet ordinal est ainsi à la fois un élément de lensemble des ordinaux et strictement plus grand que tous les ordinaux contenus dans cet ensemble

3 Le paradoxe de Russell La fonction (le concept) pourrait très bien sappliquer à elle-même comme objet, on peut envisager un concept nouveau qui serait le concept « ne pas sappliquer à soi- même » lextension de ce nouveau concept serait ^ = { ; ( )} = { ; ( )} NB : Russell : 1872 – 1970

4 Le paradoxe Est-ce que ce concept sapplique à lui- même?

5 oui? Alors ( ), donc ^, donc : ( ), Donc NON!

6 non? Alors ( ), donc ^, donc : ( ), Donc OUI!

7 Comment sen sortir? ? ….faut-il sen sortir?

8 Lautoréférence En biologie : Maturana (1970), Varéla (années ) Un système autopoiétique est organisé comme un réseau de processus de production de composants qui: a) Régénèrent continuellement par leurs transformations et leurs interactions le réseau qui les a produits, et qui b) Constituent le système en tant quunité concrète dans lespace où il existe, en spécifiant le domaine topologique où il se réalise comme réseau (Maturana, Varéla, 1980)

9 Exemple de la cellule « la cellule vivante émerge de son environnement moléculaire en spécifiant une membrane qui la distingue de son milieu, mais pour ce faire, elle doit produire des molécules dont la fabrication nécessite lexistence dune membrane ou dune frontière »

10 Exemple de la cellule les membranes définissent la frontière qui produit les molécules constitutives de la… notion de « clôture opérationnelle »: Les processus dépendent récursivement les uns des autres pour leur propre génération et définissent ainsi lindividualité du système au sein duquel ils se déroulent. (J. P. Rennard, « Vie Artificielle », p.14)

11 auto référence

12 La théorie des types de Russell « Il est admis que les paradoxes à éviter résultent tous dun certain genre de cercle vicieux. Les cercles vicieux en question proviennent de ce que lon suppose quune collection dobjets peut contenir des membres qui ne peuvent justement être définis quau moyen de la collection, prise dans sa totalité ».

13 La théorie des types de Russell « Plus généralement, donnons-nous un groupe dobjets tels que ce groupe, étant capable par hypothèse dêtre totalisé, doive dautre part contenir des membres qui présupposent cette totalité, alors, ce groupe ne peut pas être totalisé. En disant quun groupe ne peut être totalisé, nous voulons dire surtout quaucune affirmation ayant un sens ne peut être faite concernant « tous ses membres ». […] Dans de tels cas, il est nécessaire de décomposer notre groupe en groupes plus petits dont chacun soit capable dêtre totalisé. Cest ce que la théorie des types sefforce deffectuer ».

14 Exemple des fonctions x est une forme ambiguë ^x nest pas ambiguë : cest la fonction en elle-même cf. notation -calcul : x. (x) quid de ( x. (x))? Soit f telle que: – f( x. (x)) = 1 ssi ( x. (x)) = 0 – quid de f( x. f(x)) ? On ne peut pas appliquer une fonction à une valeur qui suppose la fonction connue On ne peut pas appliquer une fonction à elle-même

15 Autre exemple bien connu quid de. ?

16 Autre exemple bien connu quid de. ? Réponse : cest la fonction « Identité » Ex : [. ](x) x

17 Autre exemple bien connu quid de. ( ) ?

18 Autre exemple bien connu quid de. ( ) ? Réponse : cest la fonction « application à soi-même » (la fonction « réflexive ») Ex : [. ( )](x) x(x) Que se passe-t-il si on lapplique à elle- même?

19 Autre exemple bien connu Réponse: [. ( )]([. ( )])

20 Autre exemple bien connu Réponse: [. ( )]([. ( )])

21 Autre exemple bien connu Réponse: [. ( )]([. ( )])

22 Autre exemple bien connu Réponse: [. ( )]([. ( )]) … [. ( )]([. ( )]) etc. Un « processus divergent »

23 Quantifier sur les propositions Toute proposition est vraie ou fausse ( p) p p Mais cette proposition elle-même peut-elle être une valeur possible de p? Non (pour la raison que donne Russell)

24 Hiérarchie des types Des lettres pour des individus : a, b, c, x, y, z, w Des fonctions qui sappliquent à ces objets et à eux seulement : fonctions du premier ordre x. (x) : fonction du premier ordre (si x un individu) dépend de qui nest pas un individu! donc. x. (x) nest pas une fonction de premier ordre fonction de second ordre … et ainsi de suite

25 Une difficulté: le principe didentité, ou « principe des indiscernables » (Leibniz) si toutes les propriétés possédées par x sont également possédées par y et réciproquement, alors x et y sont identiques À remplacer par: les prédicats du premier ordre possédées par x sont également possédées par y et réciproquement Est-ce suffisant?

26 Napoléon et les grands généraux Napoléon avait toutes les propriétés dun grand général « avoir toutes les propriétés dun grand général » est une propriété de Napoléon, mais ce nest pas une propriété du premier ordre! x (x est général (x)) (N

27 Linfluence de la théorie des types au XXème siècle Une théorie « des catégories » Notion « derreur de catégorie » Philosophie analytique – G. Ryle : The Concept of Mind, 1949 L. Wittgenstein : vers une grammaire de la pensée

28 Retour à Wittgenstein… pourquoi un chien ne peut-il simuler la douleur ? est-il trop honnête ? pourquoi ma main droite ne peut-elle donner de largent à ma main gauche ? est-elle trop avare ? (Recherches philosophiques, §268) puis-je avoir le mal de dent dautrui ? puis-je avoir mal à la dent dautrui ? (Puis-je avoir mal à ma dent en or ?) puis-je observer ce qui se passe dans lesprit dautrui ? puis-je observer ce qui se passe dans lestomac dautrui ? pourquoi une machine ne peut-elle calculer de tête ? Est-ce parce quelle na pas de tête ?

29 Le programme de Hilbert les problèmes viennent de linfini

30 Le programme de Hilbert « Certes Weierstrass a éliminé de lAnalyse linfiniment petit et linfiniment grand puisque les propositions portant sur ces objets ont été réduites par lui à lénoncé de rapports entre des grandeurs finies. Mais linfini continue dêtre présent : il prend la forme de suites infinies de nombres qui définissent les nombres réels, ou bien il est sous-jacent à la notion de système des nombres réels conçue comme une totalité achevée et fermée.

31 Le programme de Hilbert Or dans la reconstruction même de lanalyse de Weierstrass, on se donne le droit dutiliser à fond et ditérer à volonté les formes dinférence logique dans lesquelles sexprime cette conception des totalités : cest le cas, par exemple, lorsquon parle de tous les nombres réels qui ont une certaine propriété, ou bien encore lorsquon dit quil existe des nombres réels ayant une certaine propriété.

32 Le programme de Hilbert Dans les processus de passage à la limité du calcul infinitésimal, linfini au sens de linfiniment grand ou de linfiniment petit sest révélé constituer une simple manière de parler : de même nous devrons reconnaître dans linfini au sens de totalité infinie, partout où il joue encore un rôle dans les inférences, quelque chose de purement fictif. De même que les opérations portant sur linfiniment petit ont été remplacées par des processus qui accomplissent la même fin et conduisent à des rapports formels aussi élégants tout en se situant à lintérieur de la sphère du fini, les inférences qui utilisent linfini sont à remplacer par des processus finis qui accompliront exactement la même fin cest-à-dire permettront les mêmes démarches dans les démonstrations et les mêmes méthodes dobtention des formules et des théorèmes.

33 Le programme de Hilbert Tel est lobjet de ma théorie. Elle a pour dessein dassurer la sécurité définitive de la méthode mathématique, sécurité à laquelle na pas atteint la période de la critique du calcul infinitésimal. » (« Über das Unendliche », 1925, Math. Annal. 95, 1926, trad. J. Largeault, 1972)

34 Le programme de Hilbert la condition préalable de lapplication des inférences logiques et de leffectuation dopérations logiques est lexistence dun donné dans la perception : à savoir lexistence de certains objets concrets extra-logiques qui en tant que sensations immédiates précèdent toute pensée. Pour les mathématiques, selon Hilbert, ces objets sont les signes concrets, ceux dont nous savons « distinguer et reconnaître la forme les objets mathématiques, en particulier les nombres, sont des signes vides de sens, et les formules sont également des suites de signes vides de sens

35 Le programme de Hilbert Des propositions « concrètes » (finitistes) : avec des objets « réels »: – |, ||, |||, ||||, …. dautres symboles « pour la communication » : 1, 2, 3, …, a, b, c, … et des « propositions idéales »… comme les nombres imaginaires vis-à-vis des nombres réels!

36 Le programme de Hilbert Encore faut-il savoir maîtriser des « objets idéaux »

37 Le programme de Hilbert Règle : le modus ponens + axiomes

38 Le programme de Hilbert 1. Axiomes de limplication : adjonction dune prémisse : élimination dune proposition 2. Axiomes de la négation : principe de contradiction : principe de la double négation

39 Le programme de Hilbert 3. Axiomes « transfinis » : inférence du général au particulier (axiome dAristote) : si un prédicat nest pas vrai de tous, alors il a un contre-exemple : sil nexiste pas dexemple pour une proposition, alors cette proposition est fausse pour tous les a

40 Le programme de Hilbert 4. Axiomes de légalité

41 Le programme de Hilbert 5. Axiomes du nombre Axiome de linduction mathématique :

42 Le programme de Hilbert Une démonstration formelle constitue un objet concret et visualisable, exactement comme un chiffre. Cest quelque chose de communicable du début à la fin Rôle des démonstrations de non- contradiction Hypothèse de la récursivité des mathématiques

43 objections Une objection majeure et définitive : Gödel


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